浙江省绍兴市绍兴一中2022学年第一学期高三期中考试试卷数学

20222022学年第一学期绍兴一中高三数学期中考试试题卷命题、校对：郦章华蒋卫江一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知全集U=R，集合A＝，则集合等于（）A.B.C.D.2．已知函数是定义在R上的奇函数，当时，，则等于（）A．B．C．D．3．已知（为虚数单位），则复数在复平面上所对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限4．关于直线a、b、l及平面、，下列命题中正确的是（）A．若a∥，b∥，则a∥bB．若a∥，b⊥a，则b⊥C．若a，b，且l⊥a，l⊥b，则l⊥D．若a⊥，a∥，则⊥5.已知,则它们的大小关系为（）121正视图俯视图121正视图俯视图121侧视图C.D.6．已知一个空间几何体的三视图如图1所示，其中正视图、侧视图都是由半圆和矩形组成，根据图中标出的尺寸(单位:cm)，可得这个几何体的体积是（）A．πcm3B．cm3图1C．cm3D．2πcm3图17.在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为若，则-的取值范围是（）A．B．C．D．8．有两盒写有数字的卡片，其中一个盒子装有数字，，，，各一张，另一个盒子装有数字，，，各一张，从两个盒子中各摸出一张卡片，则摸出两张数字为相邻整数卡片的概率是（）A．B．C．D．9.已知抛物线的焦点与椭圆的一个焦点重合，它们在第一象限内的交点为，且与轴垂直，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．10．已知定义在上的函数是奇函数且满足，，数列满足，且，（其中为的前项和）。则（） A． B． C． D．二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分）11.已知直线：，：，若∥，则实数a的值是．图212在某次法律知识竞赛中，将来自不同学校的学生的成绩绘制成如图2所示的频率分布直方图．已知成绩在[60,70）的学生有40人,则成绩在[70,90）的有_________人.图2开始开始结束是否输出图图313．阅读如图3所示的程序框图，输出的结果的值为．14已知函数的定义域为,则k的取值范围是．15.点在内部且满足，则的面积与凹四边形.的面积之比为________.16.已知函数（且）有两个零点，其中一个零点在区间内，则的取值范围为．17．已知函数，函数(a>0)，若存在，使得成立，则实数的取值范围是________.三、解答题（本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）18．（本小题满分14分）在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且b2+c2-a2=bc．向量（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）设函数，当取最大值时，判断△ABC的形状．19．（本小题满分14分）已知等比数列的各项均为正数，且．（I）求数列的通项公式；（Ⅱ）设，求使恒成立，求实数k范围。20.（本小题满分14分）如图，已知平面，平面，△为等边三角形，ABCDEABCDEF(1)求证：平面；(2)求证：平面平面；(3)求直线和平面所成角的正弦值.21．（本小题满分15分）已知函数（1）求的单调区间；（2）对任意的，不等式恒成立，求的取值范围；（3）求证：当，时，关于的方程在区间上总有两个不同的解.22．（本小题满分15分）已知抛物线L的方程为，直线截抛物线L所得弦长为．（Ⅰ）求p的值；（Ⅱ）若直角三角形的三个顶点在抛物线L上，且直角顶点的横坐标为1，过点分别作抛物线L的切线，两切线相交于点，直线与轴交于点，当直线的斜率在上变化时，直线斜率是否存在最大值，若存在，求其最大值和直线的方程；若不存在，请说明理由．20222022学年第一学期绍兴一中高三数学期中考试试题卷命题、校对：郦章华蒋卫江一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知全集U=R，集合A＝，则集合等于（C）A.B.C.D.2．已知函数是定义在R上的奇函数，当时，，则等于（B）A．B．C．D．3．已知（为虚数单位），则复数在复平面上所对应的点位于（D）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限4．.关于直线a、b、l及平面、，下列命题中正确的是（D）A．若a∥，b∥，则a∥bB．若a∥，b⊥a，则b⊥C．若a，b，且l⊥a，l⊥b，则l⊥D．若a⊥，a∥，则⊥5.已知,则它们的大小关系为（A）121正视图俯视图121正视图俯视图121侧视图C.D.6．已知一个空间几何体的三视图如图所示，其中正视图、侧视图都是由半圆和矩形组成，根据图中标出的尺寸(单位:cm)，可得这个几何体的体积是（C）A．πcm3B．cm3C．cm3D．2πcm37.在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为若，则-的取值范围是（C）A．B．C．D．8．有两盒写有数字的卡片，其中一个盒子装有数字，，，，各一张，另一个盒子装有数字，，，各一张，从两个盒子中各摸出一张卡片，则摸出两张数字为相邻整数卡片的概率是（A）A．B．C．D．9.已知抛物线的焦点与椭圆的一个焦点重合，它们在第一象限内的交点为，且与轴垂直，则椭圆的离心率为（D）A．B．C．D．10．已知定义在上的函数是奇函数且满足，，数列满足，且，（其中为的前项和）。则（C） A． B． C． D．二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分）11.已知直线：，：，若∥，则实数a的值是-3．图212在某次法律知识竞赛中，将来自不同学校的学生的成绩绘制成如图2所示的频率分布直方图．已知成绩在[60,70）的学生有40人,则成绩在[70,90）的有___25______人.图2开始开始结束是否输出图图313．阅读如图3所示的程序框图，输出的结果的值为0．14已知函数的定义域为,则k的取值范围是．15.点在内部且满足，则的面积与凹四边形.的面积之比为________.16.已知函数（且）有两个零点，其中一个零点在区间内，则的取值范围为．17．已知函数，函数(a>0)，若存在，使得成立，则实数的取值范围是________.三、解答题（本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）18．（本小题满分14分）在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且b2+c2-a2=bc．向量（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）设函数，当取最大值时，判断△ABC的形状．解：（Ⅰ）在△ABC中，因为b2+c2-a2=bc，由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA可得cosA=．(余弦定理或公式必须有一个，否则扣1分)……3分∵0<A<π，（或写成A是三角形内角）……4分∴．……5分（Ⅱ）……7分，……9分∵∴∴（没讨论，扣1分）…10分∴当，即时，有最大值是．……12分又∵，∴∴△ABC为等边三角形．………14分19．（本小题满分14分）已知等比数列的各项均为正数，且．（I）求数列的通项公式；（Ⅱ）设，求使恒成立，求实数k范围。解：（Ⅰ）设数列{an}的公比为q，由得所以．由条件可知q>0，故．（3分）由得，所以．（6分）故数列{an}的通项式为an=．（7分）（Ⅱ

）（9分）故（10分）（11分）所以数列的前n项和为。化简得对任意恒成立设，则当,,为单调递减数列，当,,为单调递增数列,所以,时,取得最大值所以,要使对任意恒成立，…………14分20.（本小题满分14分）如图，已知平面，平面，△为等边三角形，ABCDEABCDEF(1)求证：平面；(2)求证：平面平面；(3)求直线和平面所成角的正弦值.方法一：(1)证法一：取的中点，连.ABCDEFMHGABCDEFMHG∵平面，平面，∴，∴.又，∴.∴四边形为平行四边形，则.∵平面，平面，∴平面.证法二：取的中点，连.∵为的中点，∴.∵平面，平面，∴.又，∴四边形为平行四边形，则.∵平面，平面，∴平面，平面.又，∴平面平面.∵平面，∴平面.（5分）(2)证：∵为等边三角形，为的中点，∴.∵平面，平面，∴.又，故平面.∵，∴平面.∵平面，∴平面平面.(5分)解：在平面内，过作于，连.∵平面平面，∴平面.∴为和平面所成的角.设，则，，Rt△中，.∴直线和平面所成角的正弦值为.（4分） 方法二：设，建立如图所示的坐标系，则.∵为的中点，∴.

(1)证：，∵，平面，∴平面.

(2)证：∵，∴，∴.∴平面，又平面，∴平面平面.

(3)解：设平面的法向量为，由可得：，取.又，设和平面所成的角为，则.∴直线和平面所成角的正弦值为.21．（本小题满分15分）已知函数（1）求的单调区间；（2）对任意的，不等式恒成立，求的取值范围；（3）求证：当，时，关于的方程在区间上总有两个不同的解.解：（Ⅰ）f(x)＝2(x－a)ex＋(x－a)2ex＝(x－a)[x－(a－2)]ex．…………2分令f(x)＝0，得x1＝a－2，x2＝a．当x变化时，f(x)、f(x)的变化如下：x(－∞，a－2)a－2(a－2，a)a(a，＋∞)f(x)＋0－0＋f(x)↗极大值↘极小值↗所以f(x)的单调递增区间是(－∞，a－2)，(a，＋∞)，单调递减区间是(a－2，a)．………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）得[f(x)]极大＝f(a－2)＝4ea－2．（1）当a≤1时，f(x)在(－∞，1]上的最大值为f(a－2)或f(1)，由eq\b\lc\{(\a\al(a≤1，,f(a－2)＝4ea－2≤4e，,f(1)＝(a－1)2e≤4e，))解得－1≤a≤1；（2）当a－2≤1＜a，即1＜a≤3时，f(x)在(－∞，1]上的最大值为f(a－2)，此时f(a－2)＝4ea－2≤4e3－2＝4e；（3）当a－2＞1，即a＞3时，f(1)＝(a－1)2e＞4e，f(x)≤4e不恒成立．综上，a的取值范围是[－1，3]．…………12分（III）,令从而问题转化为证明当函数在与x轴有两个不同的交点，而，,所以在上有解,且有两解。