2023年广州市高二数学竞赛试卷

2023年广州市高二数学竞赛试卷题号一二三合计〔11〕〔12〕〔13〕〔14〕〔15〕得分评卷员考生注意：⒈用钢笔、签字笔或圆珠笔作答；⒉不准使用计算器；⒊考试用时120分钟，全卷总分值150分．一、选择题：本大题共4小题，每题6分，共24分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的．请将正确选项前的字母代号填在该小题后的括号内．1．假设集合有4个子集，那么实数的取值范围是〔〕A．B．RC．RD．且R2函数那么等于()A．B．C．D．3．在空间直角坐标系中，点的坐标分别为、、、，那么三棱锥的体积是〔〕A．2B．3C．6D．104.直线与圆R有交点,那么的最小值是()A．B．C．D．二、填空题：本大题共6小题，每题6分，共36分．把答案填在题中横线上．5.△的三个内角所对的边分别为,假设,那么.6．直角梯形的顶点坐标分别为，那么实数的值是.7.在数列中，＝2，N，设为数列的前n项和，那么的值为.8．三点在同一条直线上，为直线外一点，假设0，R，那么.9．一个非负整数的有序数对，如果在做的加法时不用进位，那么称为“奥运数对〞，称为“奥运数对〞的和，那么和为的“奥运数对〞的个数有___________个.10.如图1所示,函数的图象是圆心在点,半径为1的两段圆弧,那么不等式的解集是.三、解答题：本大题共5小题，共90分．要求写出解答过程．图111．〔本小题总分值15分〕函数(R，)的局部图象如图2所示．(1)求的值；〔2〕假设关于的方程在内有解,求实数m的取值范围．图212．〔本小题总分值15分〕如图3所示,在三棱柱中,底面，.〔1〕假设点分别为棱的中点，求证：平面；(2)请根据以下要求设计切割和拼接方法:要求用平行于三棱柱的某一条侧棱的平面去截此三棱柱,切开后的两个几何体再拼接成一个长方体.简单地写出一种切割和拼接方法，并写出拼接后的长方体的外表积〔不必计算过程〕.图313．〔本小题总分值20分〕点，是椭圆：上不同的两点，线段的中点为.〔1〕求直线的方程；〔2〕假设线段的垂直平分线与椭圆交于点、，试问四点、、、是否在同一个圆上，假设是，求出该圆的方程；假设不是，请说明理由.14．〔本小题总分值20分〕在数列中，，(R,R且0,N).〔1〕假设数列是等比数列，求与满足的条件；〔2〕当，时，一个质点在平面直角坐标系内运动，从坐标原点出发，第1次向右运动，第2次向上运动，第3次向左运动，第4次向下运动，以后依次按向右、向上、向左、向下的方向交替地运动，设第次运动的位移是，第次运动后，质点到达点,求数列的前项和.15．〔本小题总分值20分〕函数R，且.〔1〕当时，假设函数存在单调递减区间，求的取值范围；〔2〕当且时，讨论函数的零点个数.2023年广州市高二数学竞赛参考答案一、选择题：本大题共4小题，每题6分，共24分．1．D2．C3．A4．B二、填空题：本大题共6小题，每题6分，共36分．5．6．7．8．09．2710．三、解答题：本大题共5小题，共90分．要求写出解答过程．11．〔本小题总分值15分〕解：(1)由图象可知函数的周期为()=，∴．函数的图象过点，∴且.∴解得：.∴.〔2〕由〔1〕得.当时，，得.令，那么.故关于的方程在内有解等价于关于的方程在上有解.由，得.，∴.∴实数m的取值范围是.12．〔本小题总分值15分〕〔1〕证法一：以点为原点，分别以所在直线为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，依题意得、.∴，，.∴.∴.平面，平面，.∴平面.证法二：连结，底面，平面，∴.，分别为棱的中点，∴.，∴Rt△Rt△.∴.,∴.∴.∴，∴平面.∴.，∴平面.平面，∴.同理可证.，∴平面.〔2〕切割拼接方法一：如图甲所示，分别以的中点所确定的平面为截面，把三棱柱切开后的两个几何体再拼接成一个长方体〔该长方体的一个底面为长方形如图①所示，〕，此时所拼接成的长方体的外表积为16.图甲图①切割拼接方法二：如图乙所示，设的中点分别为，以四点所确定的平面为截面，把三棱柱切开后的两个几何体再拼接成一个长方体〔该长方体的一个底面为正方形〕，此时所拼接成的长方体的外表积为.图乙图②13．〔本小题总分值20分〕解一：〔1〕点，是椭圆上不同的两点，∴，.以上两式相减得：，即，，∵线段的中点为，∴.∴，当，由上式知，那么重合，与矛盾，因此，∴.∴直线的方程为，即.由消去，得，解得或.∴所求直线的方程为.解二:当直线的不存在时,的中点在轴上,不符合题意.故可设直线的方程为,.由消去，得(*).的中点为,..解得.此时方程(*)为,其判别式.∴所求直线的方程为.〔2〕由于直线的方程为，那么线段的垂直平分线的方程为，即.由得，由消去得，设那么.∴线段的中点的横坐标为，纵坐标.∴.∴.∵，，∴四点、、、在同一个圆上，此圆的圆心为点，半径为，其方程为.14．〔本小题总分值20分〕解:〔1〕，，0，①当时，，显然是等比数列；②当时，.数列是等比数列，∴，即，化简得.此时有，得，由，0,得〔N)，那么数列是等比数列.综上，与满足的条件为或〔〕.〔2〕当，时，∵，∴，依题意得：，，…，∴.∴.∴.∴.令①②①-②得.∴.∴.15．〔本小题总分值20分〕解：〔1〕当时，函数，其定义域是，∴.函数存在单调递减区间，∴在上有无穷多个解.∴关于的不等式在上有无穷多个解.当时，函数的图象为开口向上的抛物线，关于的不等式在上总有无穷多个解.当时，函数的图象为开口向下的抛物线，其对称轴为.要使关于的不等式在上有无穷多个解.必须，解得，此时.综上所述，的取值范围为.另解：别离系数：不等式在上有无穷多个解，那么关于的不等式在上有无穷多个解，∴，即，而.∴的取值范围为.〔2〕当时，函数，其定义域是，∴.令，得，即，，