(新高考)高考数学一轮复习题型归纳学案专题09平面向量9.2《数量积》（解析版）

专题九《平面向量》学案9.2数量积知识梳理.数量积1．向量的夹角(1)定义：已知两个非零向量a和b，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，则∠AOB就是向量a与b的夹角．(2)范围：设θ是向量a与b的夹角，则0°≤θ≤180°.(3)共线与垂直：若θ＝0°，则a与b同向；若θ＝180°，则a与b反向；若θ＝90°，则a与b垂直．2．平面向量的数量积定义设两个非零向量a，b的夹角为θ，则|a||b|·cos_θ叫做a与b的数量积，记作a·b投影|a|cos_θ叫做向量a在b方向上的投影，|b|cos_θ叫做向量b在a方向上的投影几何意义数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos_θ的乘积3.向量数量积的运算律(1)a·b＝b·a.(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)．(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.4．平面向量数量积的有关结论已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ.结论几何表示坐标表示模|a|＝eq\r(a·a)|a|＝eq\r(xeq\o\al(2,1)＋yeq\o\al(2,1))夹角cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)cosθ＝eq\f(x1x2＋y1y2,\r(xeq\o\al(2,1)＋yeq\o\al(2,1))\r(xeq\o\al(2,2)＋yeq\o\al(2,2)))a⊥b的充要条件a·b＝0x1x2＋y1y2＝0题型一.基本公式1．若非零向量a→、b→满足|a→|=|b→A．π6 B．π3 C．2π3【解答】解：∵非零向量a→、b→满足|a→|=|b→|，且(2a→∴（2a→+b→）•b→=2a→•b→+b→2=0，即2a→•b求得cosθ=−12，∴θ故选：C．2．已知非零向量a→，b→夹角为45°，且|a→|＝2，|aA．22 B．2 C．3 D．2【解答】解：非零向量a→，b→夹角为45°，且|a→可得a→4﹣22|b→|+|b→|则|b→|＝22故选：A．3．已知向量a→，b→及实数t满足|a→+tb→|＝3．若a→•b→【解答】解：由于求t的最大值，即t＞0，由|a→+tb→|＝3，a两边平方可得（a→+tb→即为a→2+t2b→2+2ta→即有a→2+t2b→2＝9﹣4由a→2+t2b→2≥2t|a→|•|b→|≥2ta→当且仅当a→，b由9﹣4t≥4t，解得t≤9即有t的最大值为98故答案为：98题型二.几何意义——投影1．设向量e1→，e2→是夹角为2π3的单位向量，若a→=3eA．32 B．12 C．−【解答】解：∵向量e1→，e2∴|e1→|a∴a→∴向量b→在a→方向的投影为故选：A．2．如图，在平行四边形ABCD中，AP⊥BD，垂足为P，且AP＝3，则AP→⋅【解答】解：设AC与BD交于点O，则AC＝2AO∵AP⊥BD，AP＝3，在Rt△APO中，AOcos∠OAP＝AP＝3∴|AC→|cos∠OAP＝2|AO→|×cos∠OAP＝2|由向量的数量积的定义可知，AP→⋅AC→=|AP→||AC故答案为：183．如图，A是半径为5的圆O上的一个定点，单位向量AB→在A点处与圆O相切，点P是圆O上的一个动点，且点P与点A不重合，则AP→•AB→的取值范围是[【解答】解：如图所示：设∠PAB＝θ，作OM⊥AP，则∠AOM＝θ，∴sinθ=AMOA，AM＝5sinθ，AP＝2AM＝10sin∴AP→⋅AB→=10sinθ×1×cosθ故答案为：[﹣5，5]．题型三.转换基底1．如图，在△ABC中，AD⊥AB，BC→=23BD→，|AD→A．23 B．3 C．32 D．﹣2【解答】解：在△ABC中，AD⊥AB，BC→=23BD则AC→•AD→=（AB＝0+23BD→•AD→=23（＝23AD→2−23AB→⋅AD故选：A．2．已知向量AB→与AC→的夹角为120°，且|AB→|=3，|AC→A．37 B．73 C．712【解答】解：向量AB→与AC→的夹角为120°，且|AB可得AB→•AC→=3×2×cos120°若AP→=λAB则AP→•BC→=（λAB→+AC→）•（AC→−AB→）=AC＝4﹣9λ﹣3（λ﹣1）＝0，解得λ=7故选：C．3．如图，P为△AOB所在平面内一点，向量OA→=a→，OB→=b→，且点P在线段AB的垂直平分线上，向量OP→=c【解答】解：设线段AB的垂直平分线为PH，H为垂足，则OP=OB则c⋅(a→−b→)==12（OA→=12×（32﹣22故答案为：52题型四.数量积运算律求最值1．向量a→，b→的夹角为120°，|aA．2−3 B．2 C．2+3【解答】解：|a→+2b→+c→|≤|a→+2b→|+|c→|，计算：|a→+2b→|2=a→2+4b→2+4a→⋅b→=∴|a→+2b→|=3，|a→+2b→+c→|≤|a→+2故|a→+2故选：C．2．已知向量a→，b→满足|a→|＝5，|b→|＝1且|a→−4b→|≤21，则【解答】解：∵|a→−4b→∴a→2−8a即25﹣8a→⋅b∴a→故答案为：523．在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝BC＝2，CD＝1，M是线段BC上的动点，若BD→⋅AM→=−3【解答】解：由已知有：|AB→|＝|BC→|，CD→=12BA则BD→⋅AM→=（BC→+CD→所以BA→因为0≤λ≤1，∴BA→⋅因为BA→⋅BC→=|BA→|⋅|BC→|⋅cosθ因为cosθ∈（﹣1，1），所以BA→⋅BC→=2×2cosθ又1⩽BA→⋅故答案为：[1，4）．题型五.数量积坐标运算1．已知向量a→=（2，1），b→=（1，﹣1），c→=（m﹣2，﹣n），其中m，nA．a→与b→B．向量a→在b→方向上的投影为C．2m+n＝4 D．mn的最大值为2【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A，向量a→=（2，1），b→=（1，﹣1），则a→•b→=2﹣对于B，向量a→=（2，1），b→=（1，﹣1），则向量a在b方向上的投影为对于C，向量a→=（2，1），b→=（1，﹣1），则a→−b→=（1，2），若（a→−b→）∥c对于D，由C的结论，2m+n＝4，而m，n均为正数，则有mn=12（2m•n）≤12（2m+n2）2故选：CD．2．如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC＝2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若AB→⋅AF→=2【解答】解：∵AF→AB→⋅AF→=∴|DF→|＝1，|CF→|∴AE→⋅BF→=（AB→+BE→故答案为：23．已知边长为2的菱形ABCD中，点F为BD上一动点，点E满足BE→=2EC→，AEA．−23 B．−43 C．【解答】解：由题意知：BE→设∠DAB＝θ，所以AE→⋅BD→=（AB→+BE→）•（AD→−AB→所以cosθ=1又θ∈（0，π），所以θ=π以AC与BD交点为原点，AC为x轴，BD为y轴建立如图所示的直角坐标系，所以A（−3，0），C（3，0），D（0，1），B（0，﹣1），E（2设F（0，t），则AF→=（3，t），EF→=（−所以AF→⋅EF→=−2+t（t+13）＝t2+当t=−16时，AF→故选：D．题型六.极化恒等式1．设向量a→，b→满足|a→+b→|=10A．﹣1 B．1 C．4 D．﹣4【解答】解：∵|a→+b→|=10，∴（a→+b→）2＝10，∵|a→−b→|=6，∴（a→−b→）2＝6，①﹣②得4a→•b→=4，∴a故选：B．2．如图，△ABC是边长为23的等边三角形，P是以C为圆心，1为半径的圆上的任意一点，则AP→⋅【解答】解：∵|AC→|=|BC→|=∴AC→•BC→=23•23∵AP→=∴AP→⋅BP→=（AC→+CP→）（BC∵|CP∴AP→•BP→=6+CP→（AC∵△ABC是边长为23的等边三角形，∴向量AC→+BC由此可得，点P在圆C上运动，当CP→与AC→+BC→当CP→与AC→+BC→共线反向时，CP故AP→⋅BP→的最大值为7+6＝13，最小值为7故答案为：[1，13]3．已知△ABC是边长为4的等边三角形，P为平面ABC内一点，则PA→A．﹣3 B．﹣6 C．﹣2 D．−【解答】解：以BC中点为坐标原点，建立如图所示的坐标系，则A（0，23），B（﹣2，0），C（2，0），设P（x，y），则PA→=（﹣x，23−y），PB→=（﹣2﹣x，﹣y），PC→=所以则PA→⋅(PB→+PC→)的最＝﹣x•（﹣2x）+（23−y）•（﹣2y）＝2＝2[x2+2（y−3）2﹣所以当x＝0，y=3时，PA→⋅(PB→+PC故选：B．课后作业.数量积1．已知向量a→、b→满足|a→|=1，|b→|=2A．45° B．60° C．90° D．120°【解答】解：|a→|=1，|∴(2a∴4a∴4a→2∴a→∴cos＜a→，∴＜a故选：B．2．已知△ABC满足AB→2=2BAA．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形【解答】解：根据AB→2=2BA→•CA→得到：c2由正弦定理bsinB=csinC=2R，可得sin2C＝2sinB又C为三角形的内角，得到sinC≠0，可得sinC＝2sinBcosA，又sinC＝sin[π﹣（A+B）]＝sin（A+B），∴sin（A+B）＝sinAcosB+cosAsinB＝2sinBcosA，即sinAcosB﹣cosAsinB＝0，∴sin（A﹣B）＝0，且A和B都为三角形的内角，∴A＝B，则△ABC的形状为等腰三角形．故选：D．3．已知向量a→≠e→，|e→|＝1，对任意t∈R，恒有|a→−A．a→⊥e→ B．a→⊥（C．e→⊥（a→−e→） D．（a【解答】解：已知向量a→≠e→，|e→|＝1，对任意t∈R，恒有|a→−即|a→−te→|2≥|a→即△=故选：C．4．如图，在△ABC中，M是BC的中点，AM＝3，BC＝10，则AB→A．34 B．28 C．﹣16 D．﹣22【解答】解：∵AB→=AM→+MB→∴|AM→|＝3，|BM→|＝|∴MB→⋅MC∴AB→⋅AC→=（AM→＝9﹣25＝﹣16．故选：C．5．如图，在△ABC中，∠BAC=π3，AD→=2DB→，P为CD上一点，且满足AP→A．﹣3 B．−1312 C．1312【解答】解：∵AD→=2DB→，∵CP→∥CD→，∴CP→=kCD→，即AP→−则（m﹣1）AC→+12AB→=k（23AB→−则AP→•CD→=AP→•（AD→−AC→）＝（14AC→+12AB→故选：C．6．如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC＝2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若AB→⋅AF→=2【解答】解：∵AF→AB→⋅AF→=∴|DF→|＝1，|CF→|∴AE→⋅BF→=（AB→+BE→故答案为：27．已知a→、b→均为单位向量，且a→A．[3，10] B．[3，5] C．[3，4]【解答】解：∵a→、b∴设a→=(1，0)，b代入|c→−4即（x，y）到A（4，0）和B（0，3）的距离和为5，∴c→|c→+a→|=(x+1最小值是点（﹣1，0）到直线3x+4y﹣12＝0的距离．∴|c最大值为|MA|＝5．∴|c故选：B．8．已知在直角三角形ABC中，A为直角，AB＝1，BC＝2，若AM是BC边上的高，点P在△ABC内部或边界上运动，则AM→A．[﹣1，0] B．[−12，0] C．[−【解答】解：如图，由AB＝1，BC＝2，可得AC=3以AB所在直线为x轴，以AC所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，则B（1，0），C（0，3），直线BC方程为x+y3=1则直线AM方程为y联立，解得：M（34，3由图可知，当P在线段BC上时，AM→•BP当P在线段AC上时，AM→•BP→有最小值，设P（0，y）（0≤y∴AM→•BP→=（34，34）（﹣1，y∴AM→•BP→的范围