(新高考)高考数学一轮复习题型归纳学案专题09平面向量9.3《三角形四心及面积问题》（解析版）

题九《平面向量》学案9.3三角形四心及面积问题题型一.三角形四心考点1.重心1．已知△ABC和点M满足MA→+MB→+MC→A．1 B．12 C．13 【解答】解：因为AB→+AC又MA→+MB则AB→+AC所以m=1故选：C．2．已知O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足OP→=OA→+λ（AB→|AB→|sinBA．外心 B．内心 C．重心 D．垂心【解答】解：∵|AB→|sinB=∴OP→=OA→+而AB→+λ⋅1t（AB→+而点D是BC的中点，所以即P的轨迹一定通过三角形的重心．故选：C．3．已知点P是△ABC所在平面内，且使得|PA→|2+|PB→|2+|PC→|2取得最小值的点，则点P是A．重心 B．外心 C．垂心 D．内心【解答】解：根据题意，设OA→=a→，OB→则|PA→|2+|PB→|2+|PC→|2=(a→−p→)当p→=13（a→+故选：A．考点2.内心1．O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足OP→=OA→+λ(AB→|【解答】解：由于O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足OP→即P在∠BAC的平分线上，所以P的轨迹一定通过△ABC的内心．故答案为：内2．已知O是△ABC所在平面上的一点，A、B、C所对的边的分别为a，b，c，若aOA→+bOB→+cA．重心 B．垂心 C．外心 D．内心【解答】解：∵OB→=∴aOA→+bOB→+cOC→=a＝bAB→+cAC→−（a+b而aOA∴（a+b+c）AO→=bAB即AO记AB→=cn1→，AC→=bn2→，其中则AO→=bc由该式可以看出AO位于∠BAC的角平分线上，故知O只能为内心，即角平分线交点．故选：D．考点3.外心1．设P是△ABC所在平面内的一点，若AB→⋅(CB→+CA→)=2A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心【解答】解：取AB的中点D，则CA→+CB∵AB→⋅(CB→+∴AB→⋅（CD→∴P在AB的中垂线上，∴PA＝PB，又AP＝CP，∴P为△ABC的外心．故选：A．2．设P是△ABC所在平面内的一点，若AB→⋅(CB→+CA→)=2A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心【解答】解：如图所示，取AB的中点D，则CB→+CA∵AB→•（CB→+CA→）＝2AB→•CP→，即2AB∴AB→•（CD→−CP→）=AB→∴P在AB的中垂线上，又AB→∴（AB→+AC→）•（AB→−AC∴（AB→+AC→）•CB→即CB→•（AB→+AC→∴点P也在BC的中垂线上，∴点P是△ABC的外心．故选：A．考点4.垂心1．已知O为△ABC所在平面上一点，且OA→2+BC→2=OB→2+CA→2=OC→A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心【解答】解：∵OA→2+BC→2=OB∴OA→2+（OC→−OB→）2=OB即OA→2+OB→2+OC→2﹣2OC→•OB→=OA→2即OC→•OB→=OC→•OA→，即OC→•即OC⊥AB，同理，OB⊥AC，OA⊥BC．∴O是△ABC的垂心．故选：D．2．O是平面上一定点，A，B，C平面上不共线的三个点，动点P满足OP→=OA→+λ(AB→|ABA．外心 B．内心 C．重心 D．垂心【解答】解：如图所示，过点A作AD⊥BC，垂足为D点．则BC→•AB同理BC→∵动点P满足OP→=OA→∴AP→=λ(AB∴AP→∴AP→因此P的轨迹一定通过△ABC的垂心．故选：D．题型二.面积问题——奔驰定理1．已知点O为三角形ABC内一点，OA→+2OB→【解答】解：如图，取BC中点D，AC中点E，连接OA，OB，OC，OD，OE；OA→=2OE=0∴OE→∴D，O，E三点共线，即DE为△ABC的中位线；∴DE=32OE，AB＝2∴AB＝3OE；∴S△ABC故答案为：3．2．在△ABC中，D为三角形所在平面内一点，且AD→=1A．16 B．13 C．12【解答】解：由已知，在△ABC中，D为三角形所在平面内一点，且AD→点D在平行于AB的中位线上，且为靠近AC边，从而有S△ABD=1S△BCD=(1−1故选：B．3．若点M是△ABC所在平面内一点，且满足|3AM→−AB→−AC→|=0，则【解答】解：如图，取BC的中点为D，则AB→∵|3AM∴3AM∴3AM→=2AD∴|AM∴S△ABM∴S△ABM故答案为：134．平面上O，A，B三点不共线，设OA→=a→A．|a→|2C．12|a【解答】解：S=12|a→||故选：C．5．已知点A（1，﹣1），B（3，0），C（2，1）．若平面区域D由所有满足AP→=λAB→+μAC→（1≤λ≤2，0≤μ≤【解答】解：设P的坐标为（x，y），则AB→=（2，1），AC→=（1，2），AP→=（x﹣∴x−1=2λ+μy+1=λ+2μ，解之得∵1≤λ≤2，0≤μ≤1，∴点P坐标满足不等式组1≤作出不等式组对应的平面区域，得到如图的平行四边形CDEF及其内部其中C（4，2），D（6，3），E（5，1），F（3，0）∵|CF|=(点E（5，1）到直线CF：2x﹣y﹣6＝0的距离为d=∴平行四边形CDEF的面积为S＝|CF|×d=5×355故答案为：36．设P、Q为△ABC内的两点，且AP→=25AB