(1505)相似三角形性质与判定专项练习30题(有答案)

相似三角形性质和判定专项练习 30题(有答案).已知：如图，在^ABC中，点D在边BC上，且/BAC=/DAG,/CDG=/BAD.(1)求证：迎二嵋杷AC.如图，已知在△ABC中，/ACB=90°,点D在边BC上，CEXAB,CFXAD,E、F分别是垂足.(1)求证：AC2=AF?AD;3.如图,△3.如图,△ABC中，PC平分/ACB,PB=PC.(1)求证：△APC^AACB;.如图，在平行四边形ABCD中，过B作BELCD,垂足为点E,连接AE,F为AE上一点，且/BFE=/C.(1)求证：△ABF^AEAD;(2)若AB=4,/BAE=30,求AE的长.A B口 £C.已知：如图，△ABC中，/ABC=2/C,BD平分/ABC.求证：AB?BC=AC?CD..已知△ABC,/ACB=90°,AC=BC，点E、F在AB上，/ECF=45°,设^ABC的面积为S,说明AF?BE=2S的理由.C BC B.等边三角形ABC的边长为6,在AC,BC边上各取一点E,F,连接AF,BE相交于点P.(1)若AE=CF;①求证：AF=BE,并求/APB的度数；②若AE=2,试求AP?AF的值；(2)若AF=BE,当点E从点A运动到点C时，试求点P经过的路径长.B FC.如图所示，AD,BE是钝角△ABC的边BC,AC上的高，求证:.已知：如图，在^ABC中，AB=AC,DE//BC,点F在边AC上，DF与BE相交于点G,且/EDF=/ABE求证：(1)△DEFs^BDE；(2)DG?DF=DB?EF.至 C至 C.如图，△ABC、△DEF都是等边三角形，点D为AB的中点，E在BC上运动，DF和EF分另1J交AC于G、H两点，BC=2,问E在何处时CH的长度最大？B ECB ECOA?OB=OC?OD..如图，AB和CD交于点O,当/A=/C时，求证:OA?OB=OC?OD..如图，已知等边三角形4AEC,以AC为对角线做正方形ABCD(点B在△AEC内，点D在4AEC外).连接EB,过E作EFLAB,交AB的延长线为F.(1)猜测直线BE和直线AC的位置关系，并证明你的猜想.(2)证明：△BEF^AABC,并求出相似比..已知：如图，△ABC中，点D、E是边AB上的点，CD平分/ECB,且BC2=BD?BA.(1)求证：△CED^AACD;(2)求证:ABCE(2)求证:BCED

.如图，△ABC中，点D、E分别在BC和AC边上，点G是BE边上一点，且/BAD=/BGD=/C,联结AG(1)求证：BD?BC=BG?BE;(2)求证：/BGA=/BAC..已知：如图，在^ABC中，点D是BC中点，点E是AC中点，且AD，BC,BEXAC,BE,AD相交于点G,过点B彳^BF//AC交AD的延长线于点F,DF=6.(1)求AE的长；(2)求口包妞C的值.S/1FEGB.如图，△ABC中，/ACB=90°,D是AB上一点，M是CD中点，且/AMD=/BMD,AP//CDxBC^<线于P点，延长BM交PA于N点，且PN=AN.(1)求证：MN=MA;(2)求证：/CDA=2/ACD.P.已知：如图，在^ABC中，已知点D在BC上，联结AD,使得/CAD=/B,DC=3且Saacd:Saadb=1:2.(1)求AC的值；(2)若将△ADC沿着直线AD翻折，使点C落点E处，AE交边BC于点F,且AB//DE,求包吧的值.

.在^ABC中，D是BC的中点，且AD=AC,DEXBC,与AB相交于点E,EC与AD相交于点F.(1)求证：△ABC^AFCD;.如图，△ABC为等边三角形，D为BC边上一点，以AD为边作/ADE=60°,DE与△ABC的外角平分线CE交于点E.(1)求证：/BAD=/FDE;(2)设DE与AC相交于点G,连接AE,若AB=6,AE=5时，求线段AG的长.SDC.如图所示，△ABC中，/B=90°,点P从点A开始沿AB边向B以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动.(1)如果P,Q分别从A,B同时出发，经几秒，使^PBQ的面积等于8cm2?(2)如果P,Q分别从A,B同时出发，并且P到B后又继续在BC边上前进，Q到C后又继续在CA边上前进，.已知：如图，△ABC是等边三角形，D是AB边上的点，将DB绕点D顺时针旋转60得到线段DE,延长ED交AC于点F,连接DC、AE.(1)求证：△ADE叁*DFC;(2)过点E作EH//DC交DB于点G,交BC于点H,连接AH.求/AHE的度数；9(3)若BG=—,CH=2,求BC的长.3

B.如图，在^ABC中，CD平分/ACB,BE//BC交AC于点E.B(1)求证：AE?BC=AC?CE;BC=15,求CE的长..如图，四边形ABCD中，AC平分/DAB,/ADC=/ACB=90°,E为AB的中点,(1)求证：AC2=AB?AD;(2)求证：CE//AD;.在^ABC中，/CAB=90°,AD，BC于点D,点E为AB的中点，EC与AD交于点G,点F在BC上.(1)如图1,AC:AB=1:2,EFXCB,求证：EF=CD..如图，M、N、P分别为△ABC三边AB、BC、CA的中点，BP与MN、AN分别交于E、F.(1)求证：BF=2FP;(2)设^ABC的面积为S,求^NEF的面积.

26.在Rt^ABC中，/ACB=90°,CDXAB,垂足为D,E、26.在Rt^ABC中，/ACB=90°,CDXAB,垂足为D,E、F分另।J是AC,BC边上一点，且CE」AC,BF」4 4BC,(1)求证:BCED二(2)求/EDF的度数.CAD.如图，△ABC是等边三角形，且AB//CE.(1)求证：△ABDs'ced；(2)若AB=6,AD=2CD,①求E到BC的距离EH的长..如图，Rt^AB'僚由Rt^ABC绕点A顺时针旋转得到的，连接CC'交斜边于点E,CC'的延长线交BB'于点F.(1)若AC=3,AB=4,求BB(2)证明：△ACE^AFBE;(3)设/ABC形，/CAC=3,试探索“、浦足什么关系时，△ACE与△FBE是全等三角形，并说明理由.C C 戈.如图，△ABC是等边三角形，/DAE=120°,求证：(1)△ABDs^eca；(2)BC2=DB?CE..如图，在Rt^ABC中，/C=90°,且AC=CD=詹,又E,D为CB的三等分点.D£B(1)证明：△ADEs'BDA；(2)证明：/ADC=/AEC+/B;(3)若点P为线段AB上一动点，连接PE,则使得线段PE的长度为整数的点P的个数有几个？请说明理由.相似三角形性质和判定专项练习 3鲍参考答案:1,解：(1) /ADC=/B+/BAD,且/CDG=/BAD,./ADG=/B;••/BAC=/DAG,•.△ABC^AADG,二. - .ABAC(2) /BAC=/DAG,/BAD=/CAG;又・./CDG=/BAD,/CDG=/CAG,•・A、D、C、G四点共圆，./DAG+/DCG=180;.GCXBC,/DCG=90,/DAG=90,/BAC=/DAG=90.2.解：(1)如图，ACB=90°,CFXAD,/ACD=/AFC,而/CAD=/FAC,•.△ACD^AAFC,.ACAD一?AFAC.AC2=AF?AD.(2)如图，•••CEXAB,CFXAD,./AEC=/AFC=90,•・A、E、FC四点共圆，/AFE=/ACE;而/ACE+/CAE=/CAE+/B,・./ACE=ZB,ZAFE=ZB;••/FAE=/BAD,•.△AEF^AADB,•.AE:AD=BD:EF,•.AE?DB=AD?EF.C,・PC平分/ACB,/ACP=/PCB，/B=/ACP,./A=/A,•.△APC^AACB.(2)△APC^AACB,AC杷’.AP=2,PC=6,AB=8,.•.AC=4..AP+AC=PC=6,这与三角形的任意两边之和大于第三边相矛盾,该题无解.B C4.(1)证明：AD//BC,

./C+/ADE=180,・•/BFE=/C,•./AFB=/EDA.AB//DC,・./BAE=ZAED•.△ABF^AEAD;(2)解：AB//CD,BEXCD,，/ABE=90,•.AB=4,•.AE=2BE•.AB=4,•.AE=2BE/BAE=30,由勾股定理可求得AE=—^35.由勾股定理可求得AE=—^35.证明：・./ABC=2/C,BD平分/ABC,・./ABD=/DBC=/C,BD=CD,在4ABD和4ACB中,ZA=ZAzabd=zcABDACB,.A^BD—ACBC即AB?BC=AC?BD,••.AB?BC=AC?CD.6.证明：•••AC=BC,.A=/B,・./ACB=90,/A=/B=45,ECF=45,/ECF=/B=45°,・./ECF+Z1=ZB+Z1,•••/BCE=/ECF+/1,/2=/B+/1;・./BCE=/2,•./A=/B,ACF^ABEC.ACAfBE—BC'••.AC?BC=BE?AF,Saabc=—AC?BC=—BE?AF2 2C••.AF?BE=2S.AC••.AF?BE=2S.A7.(1)①证明：.「△ABC为等边三角形,.•.AB=AC7.(1)①证明：.「△ABC为等边三角形,.•.AB=AC，/C=/CAB=60,又「AE=CF,在^ABE和△CAF中，「物AC/BAE=/KF(AE=CF••.△ABE^ACAF(SAS),.•.AF=BE,/ABE=/CAF.又「/APE=/BPF=/ABP+/BAP,/APE=/BAP+/CAF=60.，/APB=180-ZAPE=120.②・./C=/APE=60,/PAE=/CAF,/.AAPE^AACF,所以AP?AF=126虾(2)若AF=BE,有AE=BF或AE=CF两种情况.①当AE=CF时，点P的路径是一段弧，由题目不难看出当 E为①当AE=CF时，点P的路径是一段弧，由题目不难看出当 E为AC的中点的时候，点P经过弧AB的中点，此时△ABP为等腰三角形，且/ABP=/BAP=30°,，/AOB=120,又AB=6,・•.OA=|2点P的路径是1旦H 兀4M.i-180- 130 ~3②当AE=BF时，点P的路径就是过点C向AB作的垂线段的长度；因为等边三角形ABC的边长为6,所以点P的路径为：舟号3册所以，点叱过的路径长为延■天或3、叵38.证明：:AD,BE是钝角△ABC的边BC,AC上的高,/D=/E=90°,•••/ACD=/BCE,・.△ACDBCE,BEEC9.证明：(1)•••AB=AC,/ABC=/ACB,.DE//BC,•••/ABC+/BDE=180,/ACB+/CED=180・./BDE=ZCED,・./EDF=/ABE,DEF^ABDE;(2)由△DEFs^BDE,得皿DEEF•■-DE2=DB?EF,由^DEF^ABDE,得/BED=/DFE.•••/GDE=/EDF,.,.△GDE^AEDF.DGCEDEDF•■-DE2=DG?DF,DG?DF=DB?EF.10.解：设EC=x,CH=y,则BE=2-x,・「△ABC、△DEF都是等边三角形，/B=/DEF=60,.•/B+/BDE=/DEF+/HEC,/BDE=/HEC,.,.△BED^ACHE,BDBE-.AB=BC=2，点D为AB的中点，.•.BD=1,T-'J ，12-K即：y=-x2+2x=—(x—1)2+1.，当x=1时，y最大.此时，E在BC中点11.解：/A=/C,/AOD=/BOC,・•.△OADOCB,OAODCCOB'

，OA?OB=OC?OD.12.解：(1)猜测BE和直线AC垂直.证明：.「△AEC是等边三角形，.•.AE=CE,••・四边形ABCD是正方形，.•.AB=CB,.BE=BE,•.△AEB^ACEB(SSS)../AEB=/CEB,,.AE=CE,.-.BE±AC;(2).「△AEC是等边三角形，./EAC=/AEC=60,.BE±AC,，/BEA=_LzAEC=30,2•・四边形ABCD是正方形，•.ZBAC=45,・./BAE=15,/EBF=45,.EFXBF,/F=90°,/EBF=/BAC，/F=/ABC,BEF^AACB,a,延长EB交AC于G,设AC为2a,贝UBG=a,EB=J^a-a,相似比是：里a=8二1A DAC2a2a2A DEF13.证明：(1) BC2=BD?BA,BD:BC=BC:BA,B是公共角，BCD^ABAC,/BCD=/A,.CD平分/ECB,/ECD=/BCD,・./ECD=/A,•••/EDC=/CDA,.,.△CED^AACD;△CED^AACD,(2) △BCD^ABAC,△CED^AACD,,AB=AC暨理正Cli，而一面型国BCED14.证明：(1) /DBG=/EBC,/BGD=ZC,.,.△BDG^ABEC,上J.BEBC贝UBD?BC=BG?BE;(2) /DBA=/ABC,/BAD=/C,••.△DBA^AABC,.旦!=—,即AB2=BD?BC,皿BC '•••BD?BC=BG?BE，ab2=bg?be,即BG=ABABBE••/GBA=/ABE,•.△GBA^AABE,/BGA=/BAC.15.解：（1）二•在△ABC中，点D是BC中点，点E是AC中点，且A