基本初等函数图像及性质大全初中高中

一、一次函数与二次函数(1)二次函数解析式的三种形式①一般式：f(x)=ax2+bx+c(a丰0) ②顶点式：f(x)=a(x-h)2+k(a丰0)③两根式：f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a丰0)(2)求二次函数解析式的方法①已知三个点坐标时，宜用一般式.②已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大(小)值有关时，常使用顶点式.③若已知抛物线与x轴有两个交点，且横线坐标已知时，选用两根式求f(x)更方便.(3)二次函数图象的性质f(x)=ax2+bx+c(a丰0)a>0a<0图像2a12a定义域(-8,+Q对称轴bx=-——2a顶点坐标(b4ac-b2)-，12a 4a)

值域'4ac-b2 )〔4a，+8J/ 4ac-b2)I,4aJ单调区间',-ir'( 2a'J2- 、- ,+8< 2a /递减递增( b)-8，-0( 2aJ'b ' ,+8、2a /递增递减b.①.二次函数f(x)=ax2+bx+c(a丰0)的图象是一条抛物线，对称轴方程为x二-k，顶点坐标b4ac一b2TOC\o"1-5"\h\z2a' 4a_八_ b_ _b b②当a>0时，抛物线开口向上，函数在(-8,一h］上递减，在［-〜,+8)上递增，当x=-4ac-b2时/>x)= ；2a 4ac-b2时/>x)= ；当a<0时，抛物线开口向下，函数在(-%——］上递增，在［-丁,+8)b上递减，当x二一k时,「b上递减，当x二一k时,「/、 4ac-b2f(x)= ~ ■max 4a二、幕函数(1)幕函数的定义一般地，函数>=xa叫做幕函数，其中x为自变量，a是常数.(2)幕函数的图象过定点：所有的幕函数在(0,+8)都有定义，并且图象都通过点(1,1).三、指数函数(1)根式的概念：如果xn=a,aeR,xeR,n>1，且neN十，那么x叫做a的n次方根.(2)分数指数幕的概念m①正数的正分数指数幕的意义是：an=nam(a>0,m,neN「且n>1).0的正分数指数幕等于0.m1m11②正数的负分数指数幕的意义是：a-n=(-)n=n：(-)m(a>0,m,neN，且n>1).0的负aaa +分数指数幕没有意义.(3)运算性质①ar-as=ar+s(a>0,r,seR) ②(ar)-ars(a>0,r,seR)③(ab)r-arbr(a>0,b>0,reR)(4)指数函数函数名称指数函数定义函数y-ax(a>0且a丰1)叫做指数函数图象a>10<a<1广y-i__iy=ax/(0,1)\y-ax」y'i\^JOx^Ox"

定义域R值域(0,+8)过定点图象过定点(0,1),即当x=0时，y=1.奇偶性非奇非偶单调性在R上是增函数在R上是减函数函数值的变化情况ax>1(x>0)ax=1(x=0)ax<1(x<0)ax<1(x>0)ax=1(x=0)ax>1(x<0)a变化对图象的影响在第一象限内，a越大图象越高；在第二象限内，a越大图象越低.四、对数函数(1)对数的定义：①若ax=N(a>0,且a中D，则x叫做以a为底N的对数，记作x=logN,a其中a叫做底数，N叫做真数. ②负数和零没有对数.③对数式与指数式的互化：x=logaNoax=N(a>0,a丰1,N>0).(2)几个重要的对数恒等式：10ga1=0,logaa=1,logaab=b.(3)常用对数与自然对数常用对数：lgN，即10gl°N；自然对数：lnN，即logeN(其中e=2.71828…).(4)对数的运算性质 如果a>0,a丰1,M>0,N>0，那么①加法：logaM①加法：logaM+logaN=loga(MN)③数乘：nlogM=logMn(neR)

a ann _ n， c 〜⑤logMn=logM(b丰0,neR)ab baM②减法：logaM-logaN=logaN④alogaN=N10gN一⑥换底公式：logN=泠一(b>0,且b丰1)

aloga(5)对数函数函数名称对数函数定义函数y=logax(a>0且a丰1)叫做对数函数

图象a>10<a<1iyIx~1y=log/厂yt产=1:y=10gaxXj/k0) O/!(1,0) xOKx定义域(0,+8)值域R过定点图象过定点(1,0),即当x=1时，y=0.奇偶性非奇非偶单调性在定义域上是增函数在定义域上是减函数函数值的变化情况logx>0(x>1)logx=0(x=1)logx<0(0<x<1)logx<0(x>1)logx=0(x=1)logx>0(0<x<1)〃变化对图象的影响在第一象限内，a越大图象越靠低；在第四象限内，a越大图象越靠高.五、反函数(1)反函数的概念设函数y=f(x)的定义域为A，值域为。，从式子y=f(x)中解出x，得式子x=3y1如果对于y在C中的任何一个值，通过式子x=叭y)，x在A中都有唯一确定的值和它对应，那么式子x=叭y)表示x是y的函数，函数x=叭y)叫做函数y=f(x)的反函数，记作x=f-1(y)，习惯上改写成y=f-1(x).(2)反函数的求法①确定反函数的定义域，即原函数的值域；②从原函数式y=f(x)中反解出x=f-1(y)；③将x=f-1(y)改写成y=f-1(x)，并注明反函数的定义域.(3)反函数的性质①原函数y二八，)与反函数>=f"a)的图象关于直线丁二x对称.②函数y=f(%)的定义域、值域分别是其反函数y=f-a)的值域、定义域.③若P(a,b)在原函数y=f(X)的图象上，则P'(b,a)在反函数y=f-1(%)的图象上.④一般地，函数y=f(%)要有反函数则它必须为单调函数.六、三角函数的图像和性质(一)正弦与余函数的图像与性质函数y=sinxy=cos%图像LL „\一八4z_\fa21云7/-!定域义RR值域［-1,1］［-1,1］最值兀%=—+2k兀时，y最大=1, keZx=--+2k兀时，y =-1,keZ2 最小%=2k—时，y =1, keZ%=—+2k―时,y =-1,keZ最小单调性... 冗 冗 在每个［—-+2k冗,—+2k冗］上递增2 2在每个［—+2k冗, +2k九］上递减2 2keZ在每个［—―+2k—,2k—］上递增在每个［2k—,—+2k—］上递减keZ奇偶性奇函数偶函数周期性是周期函数，2兀为最小正周期是周期函数，2兀为最小正周期对称性对称中心(k—,0),―又对称车轴:X=—卜k—,(keZ)2 —,C、对称中心(-+k—,0),对称轴：%=k—,(keZ)2.正切与余切函数的图像与性质函数y=tan%y=cot%

图像UMdU1-tinu£1定域义口 兀{xIxgR且x中—+k兀,kgZ}{xIxgRMxw—+k—,kgZ}值域RR单调性在每个(——+k兀,—+k兀)上递增2 2kgZ在每个(k—,—+k—)上递减kgZ奇偶性奇函数奇函数周期性是周期函数，—为最小正周期是周期函数，—为最小正周期对称性k—一对称中心(—,0)k—一对称中心(—,0)七、反三角函数的图像与性质1.反正弦与反余函数的图像与性质函数反正弦函数>=arcsinx「必三］是'=，"［2，2］的反函数反余弦函数y=arccosx是y=cosx,xg[o,—]的反函数

2.反正切与反余切函数的图像与性质函数反正切函