(新高考)高考数学一轮考点复习1.4《基本不等式》课时跟踪检测(含详解)

PAGE第8页共8页课时跟踪检测（四）基本不等式一、基础练——练手感熟练度1．(2021·豫北重点中学联考)设a>0，则a＋eq\f(a＋4,a)的最小值为()A．2eq\r(a＋4) B．2C．4 D．5解析：选Da＋eq\f(a＋4,a)＝a＋1＋eq\f(4,a)≥1＋2eq\r(a·\f(4,a))＝5，当且仅当a＝2时取等号，故选D.2．设x为实数，则“x<0”是“x＋eq\f(1,x)≤－2”的()A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件解析：选C若x<0，则－x>0，x＋eq\f(1,x)＝－(－x)＋eq\f(1,－x)≤－2，∴“x<0”是“x＋eq\f(1,x)≤－2”的充分条件；若x＋eq\f(1,x)≤－2，则eq\f(x2＋2x＋1,x)≤0，得x<0，∴“x<0”是“x＋eq\f(1,x)≤－2”的必要条件．综上，“x<0”是“x＋eq\f(1,x)≤－2”的充要条件．故选C.3．(2021·沈阳模拟)在下列各函数中，最小值等于2的函数是()A．y＝x＋eq\f(1,x)B．y＝sinx＋eq\f(1,sinx)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0<x<\f(π,2)))C．y＝eq\f(x2＋5,\r(x2＋4))D．y＝ex＋eq\f(4,ex)－2解析：选D对于选项A，当x>0时，y＝x＋eq\f(1,x)≥2eq\r(x·\f(1,x))＝2；当x<0时，y＝x＋eq\f(1,x)≤－2，故A不合题意．对于选项B，由于0<x<eq\f(π,2)，因此0<sinx<1，函数的最小值取不到2，故B不合题意．对于选项C，函数的关系式转化为y＝eq\f(x2＋4＋1,\r(x2＋4))＝eq\r(x2＋4)＋eq\f(1,\r(x2＋4))≥eq\f(5,2)，故C不合题意．故选D.4．(多选)若正数a，b满足a＋b＝1，则下列说法正确的是()A．ab有最大值eq\f(1,4) B.eq\r(a)＋eq\r(b)有最小值eq\r(2)C.eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)有最小值4 D．a2＋b2有最小值eq\f(\r(2),2)解析：选AC∵a>0，b>0，且a＋b＝1，∴1＝a＋b≥2eq\r(ab)，∴ab≤eq\f(1,4)，当且仅当a＝b＝eq\f(1,2)时，等号成立，∴ab有最大值eq\f(1,4)，∴A正确．∵(eq\r(a)＋eq\r(b))2＝a＋b＋2eq\r(ab)≤a＋b＋2×eq\f(a＋b,2)＝2，当且仅当a＝b＝eq\f(1,2)时，等号成立，∴eq\r(a)＋eq\r(b)≤eq\r(2)，即eq\r(a)＋eq\r(b)有最大值eq\r(2)，B错误．∵eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝eq\f(a＋b,ab)≥eq\f(1,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2)＝4，当且仅当a＝b＝eq\f(1,2)时，等号成立，∴eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)有最小值4，∴C正确．∵a2＋b2≥eq\f(a＋b2,2)＝eq\f(1,2)，当且仅当a＝b＝eq\f(1,2)时等号成立，∴a2＋b2的最小值不是eq\f(\r(2),2)，∴D错误，故选A、C.5．用一段长8cm的铁丝围成一个矩形模型，则这个模型面积的最大值为()A．9cm2 B．16cm2C．4cm2 D．5cm2解析：选C设矩形模型的长和宽分别为xcm，ycm，则x>0，y>0，由题意可得2(x＋y)＝8，所以x＋y＝4，所以矩形模型的面积S＝xy≤eq\f(x＋y2,4)＝eq\f(42,4)＝4(cm2)，当且仅当x＝y＝2时取等号，所以当矩形模型的长和宽都为2cm时，面积最大，为4cm2.故选C.6．若x>1，则x＋eq\f(4,x－1)的最小值为________．解析：x＋eq\f(4,x－1)＝x－1＋eq\f(4,x－1)＋1≥4＋1＝5.当且仅当x－1＝eq\f(4,x－1)，即x＝3时等号成立．答案：5二、综合练——练思维敏锐度1．若2x＋2y＝1，则x＋y的取值范围是()A．[0,2] B．[－2,0]C．[－2，＋∞) D．(－∞，－2]解析：选D由1＝2x＋2y≥2eq\r(2x·2y)，变形为2x＋y≤eq\f(1,4)，即x＋y≤－2，当且仅当x＝y时取等号．则x＋y的取值范围是(－∞，－2]．2．若a>0，b>0，a＋b＝ab，则a＋b的最小值为()A．2 B．4C．6 D．8解析：选B法一：由于a＋b＝ab≤eq\f(a＋b2,4)，因此a＋b≥4或a＋b≤0(舍去)，当且仅当a＝b＝2时取等号，故选B.法二：由题意，得eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝1，所以a＋b＝(a＋b)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(1,b)))＝2＋eq\f(a,b)＋eq\f(b,a)≥2＋2＝4，当且仅当a＝b＝2时取等号，故选B.3．已知a>0，b>0，并且eq\f(1,a)，eq\f(1,2)，eq\f(1,b)成等差数列，则a＋9b的最小值为()A．16 B．9C．5 D．4解析：选A∵eq\f(1,a)，eq\f(1,2)，eq\f(1,b)成等差数列，∴eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝1，∴a＋9b＝(a＋9b)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(1,b)))＝10＋eq\f(a,b)＋eq\f(9b,a)≥10＋2eq\r(\f(a,b)·\f(9b,a))＝16，当且仅当eq\f(a,b)＝eq\f(9b,a)且eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝1，即a＝4，b＝eq\f(4,3)时等号成立，故选A.4．已知正数x，y满足x2＋2xy－3＝0，则2x＋y的最小值是()A．1 B．3C．6 D．12解析：选B∵x2＋2xy－3＝0，∴y＝eq\f(3－x2,2x)，∴2x＋y＝2x＋eq\f(3－x2,2x)＝eq\f(3x2＋3,2x)＝eq\f(3x,2)＋eq\f(3,2x)≥2eq\r(\f(3x,2)·\f(3,2x))＝3，当且仅当eq\f(3x,2)＝eq\f(3,2x)，即x＝1时取等号．故选B.5．若log4(3a＋4b)＝log2eq\r(ab)，则a＋b的最小值是()A．7＋2eq\r(3) B．6＋2eq\r(3)C．7＋4eq\r(3) D．6＋4eq\r(3)解析：选C由题意得eq\r(3a＋4b)＝eq\r(ab)，∴3a＋4b＝ab，∴eq\f(4,a)＋eq\f(3,b)＝1(a>0，b>0)．∴a＋b＝(a＋b)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,a)＋\f(3,b)))＝4＋3＋eq\f(4b,a)＋eq\f(3a,b)≥7＋2eq\r(\f(4b,a)·\f(3a,b))＝7＋4eq\r(3)，当且仅当eq\r(3)a＝2b时取等号．故选C.6．已知向量a＝(3，－2)，b＝(x，y－1)，且a∥b，若x，y均为正数，则eq\f(3,x)＋eq\f(2,y)的最小值是()A.eq\f(5,3) B.eq\f(8,3)C．8 D．24解析：选C因为a∥b，故3(y－1)＝－2x，整理得2x＋3y＝3，所以eq\f(3,x)＋eq\f(2,y)＝eq\f(1,3)(2x＋3y)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,x)＋\f(2,y)))＝eq\f(1,3)12＋eq\f(9y,x)＋eq\f(4x,y)≥eq\f(1,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(12＋2\r(\f(9y,x)·\f(4x,y))))＝8，当且仅当x＝eq\f(3,4)，y＝eq\f(1,2)时等号成立，所以eq\f(3,x)＋eq\f(2,y)的最小值为8，故选C.7．已知△ABC的面积为1，内切圆半径也为1，若△ABC的三边分别为a，b，c，则eq\f(4,a＋b)＋eq\f(a＋b,c)的最小值为()A．2 B．2＋eq\r(2)C．4 D．2＋2eq\r(2)解析：选D因为△ABC的面积为1，内切圆半径也为1，所以eq\f(1,2)(a＋b＋c)×1＝1，所以a＋b＋c＝2，所以eq\f(4,a＋b)＋eq\f(a＋b,c)＝eq\f(2a＋b＋c,a＋b)＋eq\f(a＋b,c)＝2＋eq\f(2c,a＋b)＋eq\f(a＋b,c)≥2＋2eq\r(2)，当且仅当a＋b＝eq\r(2)c，即c＝2eq\r(2)－2时，等号成立，所以eq\f(4,a＋b)＋eq\f(a＋b,c)的最小值为2＋2eq\r(2).8．正数a，b满足eq\f(1,a)＋eq\f(9,b)＝1，若不等式a＋b≥－x2＋4x＋18－m对任意实数x恒成立，则实数m的取值范围是()A．[3，＋∞) B．(－∞，3]C．(－∞，6] D．[6，＋∞)解析：选D因为a>0，b>0，eq\f(1,a)＋eq\f(9,b)＝1，所以a＋b＝(a＋b)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(9,b)))＝10＋eq\f(b,a)＋eq\f(9a,b)≥10＋2eq\r(9)＝16，当且仅当eq\f(b,a)＝eq\f(9a,b)，即a＝4，b＝12时，等号成立．由题意，得16≥－x2＋4x＋18－m，即x2－4x－2≥－m对任意实数x恒成立，令f(x)＝x2－4x－2，则f(x)＝(x－2)2－6，所以f(x)的最小值为－6，所以－6≥－m，即m≥6.9．实数x，y满足|x＋y|＋|x－y|＝2，若z＝4ax＋by(a>0，b>0)的最大值为1，则eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)有()A．最大值9 B．最大值18C．最小值9 D．最小值18解析：选C根据|x＋y|＋|x－y|＝2，可得点(x，y)满足的图形是以A(1,1)，B(－1,1)，C(－1，－1)，D(1，－1)为顶点的正方形，可知x＝1，y＝1时，z＝4ax＋by取得最大值，故4a＋b＝1，所以eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(1,b)))(4a＋b)＝5＋eq\f(4a,b)＋eq\f(b,a)≥9，当且仅当eq\f(4a,b)＝eq\f(b,a)，即a＝eq\f(1,6)，b＝eq\f(1,3)时取等号．故eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)有最小值9.故选C.10．已知a>0，b>0，若直线(a－1)x＋2y－1＝0与直线x＋by＝0互相垂直，则ab的最大值是________．解析：由两条直线互相垂直得(a－1)×1＋2b＝0，即a＋2b＝1，又a>0，b>0，所以ab＝eq\f(1,2)(a·2b)≤eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋2b,2)))2＝eq\f(1,8)，当且仅当a＝eq\f(1,2)，b＝eq\f(1,4)时取等号．故ab的最大值是eq\f(1,8).答案：eq\f(1,8)11．若关于x的不等式x＋eq\f(4,x－a)≥5在x∈(a，＋∞)上恒成立，则实数a的最小值为________．解析：∵x＋eq\f(4,x－a)＝x－a＋eq\f(4,x－a)＋a≥5在(a，＋∞)上恒成立，由x>a可得x－a>0.则(x－a)＋eq\f(4,x－a)≥2eq\r(x－a·\f(4,x－a))＝4，当且仅当x－a＝2即x＝a＋2时，上式取得最小值4，又∵x－a＋eq\f(4,x－a)≥5－a在(a，＋∞)上恒成立，∴5－a≤4，∴a≥1.答案：112．已知函数f(x)＝eq\f(x2＋ax＋11,x＋1)(a∈R)，若对于任意的x∈N*，f(x)≥3恒成立，则a的取值范围是__________．解析：对任意x∈N*，f(x)≥3，即eq\f(x2＋ax＋11,x＋1)≥3恒成立，即a≥－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(8,x)))＋3.设g(x)＝x＋eq\f(8,x)，x∈N*，则g(x)＝x＋eq\f(8,x)≥4eq\r(2)，当x＝2eq\r(2)时等号成立，又g(2)＝6，g(3)＝eq\f(17,3)，∵g(2)>g(3)，∴g(x)min＝eq\f(17,3).∴－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(8,x)))＋3≤－eq\f(8,3)，∴a≥－eq\f(8,3)，故a的取值范围是eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(8,3)，＋∞)).答案：eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(8,3)，＋∞))13．(1)当x＜eq\f(3,2)时，求函数y＝x＋eq\f(8,2x－3)的最大值；(2)设0＜x＜2，求函数y＝eq\r(x4－2x)的最大值．解：(1)y＝eq\f(1,2)(2x－3)＋eq\f(8,2x－3)＋eq\f(3,2)＝－eq\f(3－2x,2)＋eq\f(8,3－2x)＋eq\f(3,2).当x＜eq\f(3,2)时，有3－2x＞0，∴eq\f(3－2x,2)＋eq\f(8,3－2x)≥2eq\r(\f(3－2x,2)·\f(8,3－2x))＝4，当且仅当eq\f(3－2x,2)＝eq\f(8,3－2x)，即x＝－eq\f(1,2)时取等号．于是y≤－4＋eq\f(3,2)＝－eq\f(5,2)，故函数的最大值为－eq\f(5,2).(2)∵0＜x＜2，∴2－x＞0，∴y＝eq\r(x4－2x)＝eq\r(2)·eq\r(x2－x)≤eq\r(2)·eq\f(x＋2－x,2)＝eq\r(2)，当且仅当x＝2－x，即x＝1时取等号，∴当x＝1时，函数y＝eq\r(x4－2x)的最大值为eq\r(2).14．运货卡车以每小时x千米的速度匀速行驶130千米，按交通法规限制50≤x≤100(单位：千米/时)．假设汽油的价格是每升2元，而汽车每小时耗油eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2＋\f(x2,360)))升，司机的工资是每小时14元．(1)求这次行车总费用y关于x的表达式；(2)当x为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值．解：(1)设所用时间为t＝eq\f(130,x)(h)，y＝eq\f(130,x)×2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2＋\f(x2,360)))＋14×eq\f(130,x)，x∈[50,100]．所以，这次行车总费用y关于x的表达式是y＝eq\f(130×18,x)＋eq\f(2×130,360)x，x∈[50,100]eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(或y＝\f(2340,x)＋\f(13,18)x，x∈[50，100])).(2)y＝eq\f(130×18,x)＋eq\f(2×130,360)x≥26eq\r(10)，当且仅当eq\f(130×18,x)＝eq\f(2×130,360)x，即x＝18eq\r(10)时等号成立．故当x＝18eq\r(10)千米/时时，这次行车的总费用最低，最低费用的值为26eq\r(10)元．三、自选练——练高考区分度1．已知函数f(x)＝loga(x＋4)－1(a＞0且a≠1)的图象恒过定点A，若直线eq\f(x,m)＋eq\f(y,n)＝－2(m＞0，n＞0)也经过点A，则3m＋n的最小值为()A．16 B．8C．12 D．14解析：选B由题意，函数f(x)＝loga(x＋4)－1(a＞0且a≠1)，令x＋4＝1，可得x＝－3，代入可得y＝－1，∴图象恒过定点A(－3，－1)．∵直线eq\f(x,m)＋eq\f(y,n)＝－2(m＞0，n＞0)也经过点A，∴eq\f(3,m)＋eq\f(1,n)＝2，即eq\f(3,2m)＋eq\f(1,2n)＝1.∴3m＋n＝(3m＋n)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2m)＋\f(1,2n)))＝eq\f(9,2)＋eq\f(1,2)＋eq\