空间向量立体几何教案

文档编码:CN8R8S1D2Z9——HE10A3N1M10I8——ZG2K1L4W4G6个人收集整理 仅供参考学习学习过程一、课前预备（预习教材 P102~P104,找出疑问之处）复习1：可以确定一条直线；确定一个平面地方法有哪些？复习2：如何判定空间 A,B,C三点在一条直线上？复习3：设a＝〔a1,aa3〕,b＝〔bbb3〕,a· b＝二、新课导学※学习探究探究任务一：向量表示空间地点、直线、平面问题：怎样用向量来表示点、直线、平面在空间中位置置？新知：P位置置就可以用向量uuurOP来表⑴点：在空间中,我们取确定点 O作为基点,那么空间中任意一点uuur示,我们把向量 OP称为点P位置置向量.⑵直线：①直线地方向向量：和这条直线平行或共线地非零向量 uuur uuur②对于直线 l上地任一点 P,存在实数t,使得AP tAB.,此方程称为直线地向量参数方程.⑶平面：内两个不共线向量确定uuur r〔,〕xy,使得OP xa.对于平面 r

yb .上地任一点 rrP,,ab是平面内①空间中平面位置置可以由两个不共线向量,就存在有序实数对垂直于平面②空间中平面 位置置仍可以用垂直于平面地直线地方向向量表示空间中平面位置置r⑷平面地法向量： 假如表示向量 n地有向线段所在直线垂直于平面 ,就称这个向量r r,记作n⊥ ,那么向量 n叫做平面 地法向量..r

n试试：.rr1.假如 ab都是平面 地法向量,就r r2.向量n是平面 地法向量,向量 arr

ab地关系.r

n r与a地关系是.是与平面平行或在平面内,就反思：1.一个平面地法向量是唯独地吗？2.平面地法向量可以是零向量吗？rr

ab,平面,地法向量分别为rr

uv,就⑸向量表示平行、垂直关系：设直线 ,lm地方向向量分别为r r r r①l∥ mr

a∥br rar kb②l∥ a u au 0r r r r③ ∥ u∥v u kv.※典型例题例1已知两点A1,2,3,B2,1,3,求直线AB与坐标平面YOZ地交点.1/13变式：已知三点A1,2,3,B2,1,2,个人收集整理仅供参考学习.uuurQB取得最P1,1,2uuur,点Q在OP上运动（O为坐标原点）,求当QA小值时,点Q地坐标.小结：解决有关三点共线问题直接利用直线地参数方程即可 .例2用向量方法证明两个平面平行地判定定理：一个平面内地两条相交直线与另一个平面平行,就这两个平面平行.,已知A3,0,0,B0,4,0,C0,0,2,试求平面ABC地一个法向量.变式：在空间直角坐标系中小结：平面地法向量与平面内地任意向量都垂直 .※动手试试rr练1.设ab分别是直线 ll地方向向量,判定直线r r⑴a 1,2,2,b 2,3,2 ；r r⑵a 0,0,1,b 0,0,3 .ll位置置关系：rr练2.设uv分别是平面 ,r r⑴u 1,2,2,v 2,4,4r r⑵u 2,3,5,v 3,1,4地法向量,判定平面；.,位置置关系：三、总结提升※学习小结2/13个人收集整理 仅供参考学习1.空间点,直线和平面地向量表示方法

2.平面地法向量求法和性质 .※学问拓展：求平面地法向量步骤r

n：；⑴设平面地法向量为〔,,〕⑵找出〔求出〕平面内地两个不共线地向量地坐标；⑶依据法向量地定义建立关于xyz地方程组；,ll位置置关系是.⑷解方程组,取其中地一个解,即得法向量..※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：r r1.设a 2,1,2,b 6,3,6 分别是直线 ll地方向向量,就直线r r2.设u 2,2,5,v 6,4,4 分别是平面 , 地法向量,就平面r3.已知n ,以下说法错误地是（）r rA.如aur

,就nr ur a B.如aur// ,就nr

aurC.如m ,,就 n//m D.如m ,,就n m位置置关系是.4.以下说法正确地是（）A.平面地法向量是唯独确定地

B.一条直线地方向向量是唯独确定地C.平面法向量和直线地方向向量确定不是零向量ur urD.如muuur是直线l地方向向量,uuur

l// ,就 m//5.已知 AB 1,0,1,AC 0,3, 1 ,能做平面1A.1,2,1B. 1,,1 C.1,0,0 D.2,1,33ABC地法向量地是（）课后作业1.在正方体ABCDABCD中,求证：uuuurDB1是平面ACD地一个法向量.2．已知uuur

AB2,2,1,uuurAC4,5,3,求平面ABC地一个法向量.3/13个人收集整理 仅供参考学习§3.2立体几何中地向量方法（ 2）学习目标1.把握利用向量运算解几何题地方法,并能解简洁地立体几何问题；2.把握向量运算在几何中求两点间距离和求空间图形中地角度地运算方法 .学习过程一、课前预备（预习教材 P105~P107,找出疑问之处 .r r r r复习1：已知 a.b 1, a 1,b 2,且ur

m r

2ar

b ur,求m.复习2：什么叫二面角？二面角地大小如何度量？二面角地范畴是什么？二、新课导学※学习探究探究任务一：用向量求空间线段地长度问题：如何用向量方法求空间线段地长度？r r2新知：用空间向量表示空间线段,然后利用公式 a a 求出线段长度.试试：在长方体 ABCD ABCD中,已知 AB 1,BC 2,CC '1,求 AC地长.

'反思：用向量方法求线段地长度,关键在于把未知量用已知条件中地向量表示 .※典型例题例1如图,一个结晶体地势状为平行六面体,其中,以顶点A为端点地三条棱长都相等,且它们彼此地夹角都是 60°,那么以这个顶点为端点地晶体地对角线地长与棱长有什么关系？4/13个人收集整理 仅供参考学习变式1：上题中平行六面体地对角线BD地长与棱长有什么关系？变式2：假如一个平行六面体地各条棱长都相等,并且以某一顶点为端点地各棱间地夹角都等于 ,那么由这个平行六面体地对角线地长可以确定棱长吗 .探究任务二：用向量求空间图形中地角度例2如图,甲站在水库底面上地点 A处,乙站在水坝斜面上地点 B处.从A,B到直线l（库底与水坝地交线）地距离 ACBD分别为 ab,CD地长为c,AB地长为d.求库底与水坝所成二面角地余弦值 .变式：如图,60地二面角地棱上有 AB两点,直线 ACBD分别在这个二面角地两个半平面内,且都垂直于AB已知AB4,AC6,BD8,求CD地长.※动手试试练 1.如图,已知线段 AB在平面 α内,线段ACDBD ' 30o,假如AB＝a,AC＝BD＝b,求C、D间地距离.,线段BD⊥AB,线段DD',5/13练2.如图,M、N分别是棱长为个人收集整理仅供参考学习BB、BC地中点．求异面直线1地正方体ABCDABCD地棱MN与CD所成地角.三、总结提升※学习小结r

ar

a2；1.求出空间线段地长度：用空间向量表示空间线段,然后利用公式2.空间地二面角或异面直线地夹角,都可以转化为r r利用公式cos

rrab r

abr求解.a b※学问拓展解空间图形问题时,可以分为三步完成:（1）建立立体图形与空间向量地联系,用空间向量表示问题中涉及地点、直线、平面,把立体几何问题转化为向量问题〔仍常建立坐标系来帮忙〕；（2）通过向量运算,争论点、直线、平面之间位置置关系以及它们之间距离和夹角等问题；（3）把向量地运算结果“翻译”成相应地几何意义.※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1.已知A1,02,B1,1,3,就AB.ABCD地棱' 'ABBB地中点,那么直线AMCN所成2.已知cosrr

ab1,就rr

ab地夹角为.23.如M、N分别是棱长为1地正方体ABCD地角地余弦为（）A.3B.10C.35D.2

560地二面角,就ACBD间地距离是2104.将锐角为60边长为a地菱形ABCD沿较短地对角线折成（）A.32aB.3aC.34aD.3auuuurAM1uuuur'AC,N是24 '

BB地中点,就MN为（）5.正方体ABCDABCD中棱长为a,36/13A.21aB.6aC.15aD.个人收集整理仅供参考学习153a666课后作业1.⑴⑵如图,正方体ABCDABCD地棱长为1,MN分别是' ' 'BBBC地中点,求： '

MNCD所成角地大小；MNAD所成角地大小；⑶AN地长度.§3.2立体几何中地向量方法（ 3）

.学习目标

1.进一步娴熟求平面法向量地方法；

2.把握向量运算在几何中如何求点到平面地距离和两异面直线间距离地运算方法；3.娴熟把握向量方法在实际问题中地作用 ..学习过程

一、课前预备复习1：已知A1,2,0,B0,1,1,C1,1,2,试求平面ABC地一个法向量.复习2：什么是点到平面地距离？什么是两个平面间距离？二、新课导学

※学习探究探究任务一：点到平面地距离地求法地距离为d,已知平面地一个法向量为r

nuuur,且AP r

与n不共线,问题：如图 Auuur r能否用AP与n ,空间一点P到平面表示d.7/13Pur

n个人收集整理仅供参考学习.分析:过P作PO⊥于O,连结OA,就uuur uuurd=|PO|=|PA|cos APO.uuur r∵PO⊥ ,n ,uuur r∴PO∥ n.∴cos∠APO=|cos uuurr|∴D.=|PAuuur||cosuuuur r uuurr|uuurr=|PA||n||cosuur

PAn|n||=|uuur rPAnuur|n||新知：用向量求点到平面地距离地方法：地一个法向量为r

n,就设A ,空间一点P到平面uuur r|PA.n|D.= uur|n|地距离为d,平面试试：在棱长为1地正方体ABCDABCD中,求点 '

C到平面' 'ABCD地距离.反思：当点到平面地距离不能直接求出地情形下,可以利用法向量地方法求解※典型例题

例1已知正方形 ABCD地边长为4,E、F分别是AB、AD地中点,GC⊥平面ABCD,且GC＝2,求点B到平面EFG地距离.变式：如图,ABCD是矩形,PD平面ABCD,PDDCa,AD2a,M、N分别是AD、PB地中点,求点A到平面MNC地距离.

PND CM8/13AB个人收集整理 仅供参考学习小结：求点到平面地距离地步骤：⑴建立空间直角坐标系,写出平面内两个不共线向量地坐标；⑵求平面地一个法向量地坐标；⑶找出平面外地点与平面内任意一点连接向量地坐标；⑷代入公式求出距离 .探究任务二：两条异面直线间地距离地求法例2如图,两条异面直线ab所成地角为,在直线,ab上分别取点AE和AF,使得 '

AAa,且,E 'AAb.已知'

AEmAFnEFl,求公垂线 '

AA地长.ACBC2,且BCA o

90变式：已知直三棱柱ABC─ABC1地侧棱AA14,底面△ABC中,是AB地中点,求异面直线CE与AB地距离.r

n,再在两小结：用向量方法求两条异面直线间地距离,可以先找到它们地公垂线方向地一个向量r uuur条直线上分别取一点 AB,就两条异面直线间距离 d n.uur

AB求解.n三、总结提升※学习小结1.空间点到直线地距离公式2.两条异面直线间地距离公式※学问拓展用向量法求距离地方法是立体几何中常用地方法 .※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1.在棱长为1地正方体ABCDABCD中,平面' 'ABBA地一个法向量为；O到平面' 'ACDB地距ABCDABCD中,异面直线'AB和 '

CB所成角是；2.在棱长为1地正方体3.在棱长为1地正方体ABCDABCD中,两个平行平面间地距离是；4.在棱长为1地正方体ABCDABCD中,异面直线 'AB和CB间地距离是； '' ' ' 'ABCD中,点O是底面 ABCD中心,就点5.在棱长为1地正方体ABCD离是.课后作业1.如图,正方体ABCDABCD地棱长为1,点M是棱AA中点,点O是BD中点,求证：OM是异面直线AA与BD地公垂线,并求OM地长.9/132.如图,空间四边形个人收集整理仅供参考学习OABC地中点,连结DE.OABC各边以及ACBO地长都是1,点DE分别是边⑴运算DE地长；⑵求点O到平面ABC地距离.§第三章空间向量（复习）学习目标1.把握空间向量地运算及其坐标运算；2.立体几何问题地解决──娴熟把握向量是很好地工具学习过程.一、课前预备（预习教材P115－116,找出惑之处）uuurOAruuuraOBruuurbOCr

c.点M在OA上,且OM=2MA,N为BC复习1：如图,空间四边形 uuuur

中点,就MNOABC中,复习2：平行六面体uuurAD bAA r uuur' c r ,点P,M,N分别是 ABCD ABCD中,ABCACD

''

''

,CD

uuur''r

a'地中点,点 Q在CA上,且 CQQArrrabc 表示以下向量：uuur uuuur uuur uuur⑴AP;⑵AM ;⑶AN ;⑷AQ.'4:1,用基底※主要学问点：1.空间向量地运算及其坐标运算：

空间向量是平面对量地推广 ,有关运算方法几乎一样2.立体几何问题地解决──向量是很好地工具,只是“二维地”变成“三维地”了.10/13个人收集整理 仅供参考学习①平行与垂直地判定②角与距离地运算※典型例题

例1如图,一块均匀地正三角形面地钢板地质量为个力与同它相邻地三角形地两边之间地夹角都是uur uur uur500kg,在它地顶点处分别受力 1F、 F2 、F3 ,每uur uur uur60o,且 F1 F2 F3 200kg.这块钢板在这些力地作用下将会怎样运动？这三个力最小为多大时,才能提起这块钢板？变式：上题中,如不建立坐标系,如何解决这个问题？小结：在现实生活中地问题,我们可以转化我数学中向量地问题来解决,具体方法有坐标法和直接向量运算法,对能建立坐标系地题,尽量使用坐标运算会给运算带来便利 .例2如图,在直三棱柱 ABC ABC中, ABC 90,CB 1,CA 2,AA1 6 ,点M是CC地中点,求证： AM BA.变式：正三棱柱 ABC ABC地底面边长为 1,棱长为 2,点M是BC地中点,在直线 CC上求一点N,使MNAB.ABCDABCD中,点E,F分别在BB1,DD上,且AEAB,AFAD.例3如图,长方体⑴求证：AC平面AEF;11/13⑵当AB4,AD3,AA15个人收集整理仅供参考学习.时,求平面AEF与平面DBBD所成地角地余弦值※动手试试练1.如图,正三棱柱ABCABC地底面边长为a,侧棱长为2a.r

a,且uuur