甘肃天水市2023学年高考全国统考预测密卷数学试卷含解析

1、2023年高考数学模拟试卷考生须知：1全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1若两个非零向量、满足，且，则与夹角的余弦值为（ ）ABCD2已知实数满足则的最大值为（ ）A2BC1D03已知等差数列的前n项和为，且，若（，且），则i的取值集合是（ ）ABCD4

2、如图所示，直三棱柱的高为4，底面边长分别是5，12，13，当球与上底面三条棱都相切时球心到下底面距离为8，则球的体积为 ( ) A16053B6425设等比数列的前项和为，则“”是“”的（ ）A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件6总体由编号为01，02，.，39，40的40个个体组成.利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表（如表）第1行的第4列和第5列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为（ ）A23B21C35D327为了加强“精准扶贫”，实现伟大复兴的“中国梦”，某大学派遣甲、乙、丙、丁、戊五位同学参加三个贫困县的调研工

3、作，每个县至少去1人，且甲、乙两人约定去同一个贫困县，则不同的派遣方案共有（ ）A24B36C48D648如图是计算值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是( )ABCD9若函数恰有3个零点，则实数的取值范围是（ ）ABCD10已知等差数列的公差为-2，前项和为，若，为某三角形的三边长，且该三角形有一个内角为，则的最大值为（ ）A5B11C20D2511已知复数，则（ ）ABCD12已知复数满足，则的值为（ ）ABCD2二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13已知抛物线的焦点为，直线与抛物线相切于点，是上一点(不与重合)，若以线段为直径的圆恰好经过，则点到抛物线顶点的距离的最小

4、值是_.14数学家狄里克雷对数论，数学分析和数学物理有突出贡献，是解析数论的创始人之一.函数，称为狄里克雷函数.则关于有以下结论:的值域为;其中正确的结论是_(写出所有正确的结论的序号)15已知函数，则_；满足的的取值范围为_.16已知实数，满足则的取值范围是_.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（12分）已知矩阵，且二阶矩阵M满足AMB，求M的特征值及属于各特征值的一个特征向量.18（12分）已知，且满足，证明：.19（12分）在中，角所对的边分别为，若，且.（1）求角的值；（2）求的最大值.20（12分）已知椭圆：的左、右焦点分别为，焦距为2，且经过点，斜率

5、为的直线经过点，与椭圆交于，两点.（1）求椭圆的方程；（2）在轴上是否存在点，使得以，为邻边的平行四边形是菱形？如果存在，求出的取值范围，如果不存在，请说明理由.21（12分）已知函数的定义域为，且满足，当时，有，且.（1）求不等式的解集；（2）对任意，恒成立，求实数的取值范围.22（10分）如图，在三棱柱中，是边长为2的菱形，且，是矩形，且平面平面，点在线段上移动（不与重合），是的中点.（1）当四面体的外接球的表面积为时，证明：.平面（2）当四面体的体积最大时，求平面与平面所成锐二面角的余弦值.参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合

6、题目要求的。1A【解析】设平面向量与的夹角为，由已知条件得出，在等式两边平方，利用平面向量数量积的运算律可求得的值，即为所求.【详解】设平面向量与的夹角为，可得，在等式两边平方得，化简得.故选：A.【点睛】本题考查利用平面向量的模求夹角的余弦值，考查平面向量数量积的运算性质的应用，考查计算能力，属于中等题.2B【解析】作出可行域，平移目标直线即可求解.【详解】解：作出可行域：由得，由图形知，经过点时，其截距最大，此时最大得，当时，故选：B【点睛】考查线性规划，是基础题.3C【解析】首先求出等差数列的首先和公差，然后写出数列即可观察到满足的i的取值集合.【详解】设公差为d，由题知，解得，所以数列

7、为，故.故选：C.【点睛】本题主要考查了等差数列的基本量的求解，属于基础题.4A【解析】设球心为O，三棱柱的上底面A1B1C1的内切圆的圆心为O1，该圆与边B【详解】如图，设三棱柱为ABC-A1B1C所以底面A1B1C1为斜边是A1C1则圆O1的半径为O设球心为O，则由球的几何知识得OO1M所以OM=2即球O的半径为25所以球O的体积为43故选A【点睛】本题考查与球有关的组合体的问题，解答本题的关键有两个：（1）构造以球半径R、球心到小圆圆心的距离d和小圆半径r为三边的直角三角形，并在此三角形内求出球的半径，这是解决与球有关的问题时常用的方法（2）若直角三角形的两直角边为a,b，斜边为c，则该

8、直角三角形内切圆的半径r=a+b-c5C【解析】根据等比数列的前项和公式，判断出正确选项.【详解】由于数列是等比数列，所以，由于，所以，故“”是“”的充分必要条件.故选：C【点睛】本小题主要考查充分、必要条件的判断，考查等比数列前项和公式，属于基础题.6B【解析】根据随机数表法的抽样方法，确定选出来的第5个个体的编号.【详解】随机数表第1行的第4列和第5列数字为4和6，所以从这两个数字开始，由左向右依次选取两个数字如下46，64，42，16，60，65，80，56，26，16，55，43，50，24，23，54，89，63，21，其中落在编号01，02，39，40内的有：16，26，16，24

9、，23，21，依次不重复的第5个编号为21.故选：B【点睛】本小题主要考查随机数表法进行抽样，属于基础题.7B【解析】根据题意，有两种分配方案，一是，二是，然后各自全排列，再求和.【详解】当按照进行分配时，则有种不同的方案；当按照进行分配，则有种不同的方案.故共有36种不同的派遣方案，故选：B.【点睛】本题考查排列组合、数学文化，还考查数学建模能力以及分类讨论思想，属于中档题.8B【解析】根据计算结果，可知该循环结构循环了5次；输出S前循环体的n的值为12，k的值为6，进而可得判断框内的不等式【详解】因为该程序图是计算值的一个程序框圈所以共循环了5次所以输出S前循环体的n的值为12，k的值为6

10、，即判断框内的不等式应为或 所以选C【点睛】本题考查了程序框图的简单应用，根据结果填写判断框，属于基础题9B【解析】求导函数，求出函数的极值，利用函数恰有三个零点，即可求实数的取值范围.【详解】函数的导数为，令，则或，上单调递减，上单调递增，所以0或是函数y的极值点，函数的极值为：，函数恰有三个零点，则实数的取值范围是：.故选B.【点睛】该题考查的是有关结合函数零点个数，来确定参数的取值范围的问题，在解题的过程中，注意应用导数研究函数图象的走向，利用数形结合思想，转化为函数图象间交点个数的问题，难度不大.10D【解析】由公差d=-2可知数列单调递减，再由余弦定理结合通项可求得首项，即可求出前n

11、项和，从而得到最值.【详解】等差数列的公差为-2，可知数列单调递减，则，中最大，最小，又，为三角形的三边长，且最大内角为， 由余弦定理得，设首项为，即得，所以或，又即,舍去，d=-2前项和.故的最大值为.故选：D【点睛】本题考查等差数列的通项公式和前n项和公式的应用，考查求前n项和的最值问题，同时还考查了余弦定理的应用.11B【解析】分析：利用的恒等式，将分子、分母同时乘以 ，化简整理得 详解： ，故选B点睛：复数问题是高考数学中的常考问题，属于得分题，主要考查的方面有：复数的分类、复数的几何意义、复数的模、共轭复数以及复数的乘除运算，在运算时注意符号的正、负问题.12C【解析】由复数的除法运

12、算整理已知求得复数z，进而求得其模.【详解】因为，所以故选：C【点睛】本题考查复数的除法运算与求复数的模，属于基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13【解析】根据抛物线，不妨设，取 ，通过求导得， ，再根据以线段为直径的圆恰好经过，则 ，得到，两式联立，求得点N的轨迹，再求解最值.【详解】因为抛物线，不妨设，取 ，所以，即，所以 ，因为以线段为直径的圆恰好经过，所以 ，所以，所以，由 ，解得，所以点在直线 上，所以当时， 最小，最小值为.故答案为：2【点睛】本题主要考查直线与抛物线的位置关系直线的交轨问题，还考查了运算求解的能力，属于中档题.14【解析】根据新定义，结合实数

13、的性质即可判断，由定义求得比小的有理数个数，即可确定.【详解】对于，由定义可知，当为有理数时；当为无理数时，则值域为，所以错误；对于，因为有理数的相反数还是有理数，无理数的相反数还是无理数，所以满足，所以正确；对于，因为，当为无理数时，可以是有理数，也可以是无理数，所以错误；对于，由定义可知，所以错误；综上可知，正确的为.故答案为：.【点睛】本题考查了新定义函数的综合应用，正确理解题意是解决此类问题的关键，属于中档题.15 【解析】首先由分段函数的解析式代入求值即可得到，分和两种情况讨论可得；【详解】解：因为，所以，当时，满足题意，；当时，由，解得.综合可知：满足的的取值范围为.故答案为：；.

14、【点睛】本题考查分段函数的性质的应用，分类讨论思想，属于基础题.16【解析】根据约束条件画出可行域，即可由直线的平移方法求得的取值范围.【详解】.由题意，画出约束条件表示的平面区域如下图所示，令，则如图所示，图中直线所示的两个位置为的临界位置，根据几何关系可得与轴的两个交点分别为，所以的取值范围为.故答案为：【点睛】本题考查了非线性约束条件下线性规划的简单应用，由数形结合法求线性目标函数的取值范围，属于中档题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17特征值为1，特征向量为【解析】设出矩阵M结合矩阵运算和矩阵相等的条件可求矩阵M，然后利用可求特征值的另一个特征向量.【详

15、解】设矩阵M，则AM，所以，解得，所以M，则矩阵M的特征方程为，解得，即特征值为1，设特征值的特征向量为，则，即，解得x0，所以属于特征值的的一个特征向量为【点睛】本题主要考查矩阵的运算及特征量的求解，矩阵运算的关键是明确其运算规则，侧重考查数学运算的核心素养.18证明见解析【解析】将化简可得，由柯西不等式可得证明.【详解】解：因为，所以，又， 所以，当且仅当时取等号.【点睛】本题主要考查柯西不等式的应用，相对不难，注意已知条件的化简及柯西不等式的灵活运用.19（1）；（2）.【解析】（1）由正弦定理可得，再用余弦定理即可得到角C；（2），再利用求正弦型函数值域的方法即可得到答案.【详解】（1

16、）因为，所以.在中，由正弦定理得，所以，即.在中，由余弦定理得，又因为，所以.（2）由（1）得，在中，所以.因为，所以，所以当，即时，有最大值1，所以的最大值为.【点睛】本题考查正余弦定理解三角形，涉及到两角差的正弦公式、辅助角公式、向量数量积的坐标运算，是一道容易题.20（1）（2）存在；实数的取值范围是【解析】（1）根据椭圆定义计算，再根据，的关系计算即可得出椭圆方程；（2）设直线方程为，与椭圆方程联立方程组，求出的范围，根据根与系数的关系求出的中点坐标，求出的中垂线与轴的交点横，得出关于的函数，利用基本不等式得出的范围【详解】（1）由题意可知，又，椭圆的方程为：（2）若存在点，使得以，为

17、邻边的平行四边形是菱形，则为线段的中垂线与轴的交点设直线的方程为：，联立方程组，消元得：，又，故由根与系数的关系可得，设的中点为，则，线段的中垂线方程为：，令可得，即，故，当且仅当即时取等号，且的取值范围是，【点睛】本题主要考查了椭圆的性质，考查直线与椭圆的位置关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力21（1）；（2）.【解析】（1）利用定义法求出函数在上单调递增，由和，求出，求出，运用单调性求出不等式的解集；（2）由于恒成立，由（1）得出在上单调递增，恒成立，设，利用三角恒等变换化简，结合恒成立的条件，构造新函数，利用单调性和最值，求出实数的取值范围.【详解】（1）设，所以函

18、数在上单调递增，又因为和，则，所以得解得，即， 故的取值范围为；（2） 由于恒成立，恒成立，设， 则， 令， 则，所以在区间上单调递增， 所以，根据条件，只要 ，所以.【点睛】本题考查利用定义法求函数的单调性和利用单调性求不等式的解集，考查不等式恒成立问题，还运用降幂公式、两角和与差的余弦公式、辅助角公式，考查转化思想和解题能力.22（1）证明见解析（2）【解析】（1）由题意，先求得为的中点，再证明平面平面，进而可得结论；（2）由题意，当点位于点时，四面体的体积最大，再建立空间直角坐标系，利用空间向量运算即可.【详解】（1）证明：当四面体的外接球的表面积为时.则其外接球的半径为.因为时边长为2的菱形，是矩形.，且平面平面.则，.则为四面体外接球的直径.所以，