(新高考)高考数学一轮复习第31讲《平面向量的综合应用》达标检测(解析版)

1、第31讲 平面向量的综合应用（达标检测）A组应知应会1（春肥城市期中）已知作用在坐标原点的三个力 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，则作用在原点的合力 SKIPIF 1 0 的坐标为 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 A SKIPIF 1 0 B SKIPIF 1 0 C SKIPIF 1 0 D SKIPIF 1 0 【分析】根据平面向量的坐标运算公式，计算即可【解答】解： SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，则 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 故选： SKI

2、PIF 1 0 2（春松山区校级月考）如图在平行四边形 SKIPIF 1 0 中，已知 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，则 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 A6B SKIPIF 1 0 C3D SKIPIF 1 0 【分析】将结合 SKIPIF 1 0 ，将 SKIPIF 1 0 中的向量用 SKIPIF 1 0 来表示，即可解出 SKIPIF 1 0 的值【解答】解：因为平行四边形 SKIPIF 1 0 中， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 所以 SKIPIF 1 0

3、， SKIPIF 1 0 ，故由 SKIPIF 1 0 得 SKIPIF 1 0 ，即 SKIPIF 1 0 ，解得 SKIPIF 1 0 故选： SKIPIF 1 0 3（春泸州期末）如图，边长为1的等边 SKIPIF 1 0 中， SKIPIF 1 0 为边 SKIPIF 1 0 上的高， SKIPIF 1 0 为线段 SKIPIF 1 0 上的动点，则 SKIPIF 1 0 的取值范围是 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 A SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 B SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 C SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 D

4、 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 【分析】可设 SKIPIF 1 0 ，且 SKIPIF 1 0 ，它们的夹角为 SKIPIF 1 0 ，然后设 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，然后结合向量的加减法运算，将 SKIPIF 1 0 表示为关于 SKIPIF 1 0 的函数的形式，问题即可解决【解答】解：由已知设 SKIPIF 1 0 ，则 SKIPIF 1 0 ，且 SKIPIF 1 0 ，由等边三角形的性质可知： SKIPIF 1 0 ，故可设 SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 SKIP

5、IF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 易知 SKIPIF 1 0 时，原式取最小值 SKIPIF 1 0 ； SKIPIF 1 0 或1时，原式取最大值0故则 SKIPIF 1 0 的取值范围是 SKIPIF 1 0 故选： SKIPIF 1 0 4（石家庄模拟）设圆 SKIPIF 1 0 的半径为1， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 是圆 SKIPIF 1 0 上不重合的点，则 SKIPIF 1 0 的最小值是 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 A SKIPIF 1 0 B SKIPIF 1 0 C SKIPIF

6、 1 0 D SKIPIF 1 0 【分析】用 SKIPIF 1 0 表示出 SKIPIF 1 0 ，作 SKIPIF 1 0 ，垂足为 SKIPIF 1 0 ，设 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，用 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 表示出 SKIPIF 1 0 即可得出最值【解答】解： SKIPIF 1 0 ，由题意可知 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 均为单位向量，故 SKIPIF 1 0 ，连接 SKIPIF 1 0 ，作 SKIPIF 1 0 ，垂足为 SKIPIF 1 0 ，设 SKIPIF 1 0 ， SK

7、IPIF 1 0 ，则 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 当 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 时， SKIPIF 1 0 取得最小值 SKIPIF 1 0 故选： SKIPIF 1 0 5（河南模拟）在 SKIPIF 1 0 中， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，且 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，则 SKIPIF 1 0 SKIP

8、IF 1 0 A3B5C SKIPIF 1 0 D SKIPIF 1 0 【分析】根据已知，可得出 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 在三角形 SKIPIF 1 0 上的位置，则 SKIPIF 1 0 ，通过化简代入数值，即可得结论【解答】解：由题， SKIPIF 1 0 中， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 是线段 SKIPIF 1 0 的中点可得如图： SKIPIF 1 0 SKIPIF

9、1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 故选： SKIPIF 1 0 6（2019秋岳麓区校级期末）在 SKIPIF 1 0 内使 SKIPIF 1 0 的值最小的点 SKIPIF 1 0 是 SKIPIF 1 0 的 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 A外心B内心C垂心D重心【分析】令 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，设 SKIPIF 1 0 ，根据 SKIPIF 1 0 结合二次函数的性质即可求解【解答】解：令 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，设 SKIPIF 1 0

10、 ，则 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，于是 SKIPIF 1 0 所以当 SKIPIF 1 0 时， SKIPIF 1 0 最小，此时 SKIPIF 1 0 ，则点 SKIPIF 1 0 为 SKIPIF 1 0 的重心故选： SKIPIF 1 0 7（春焦作期末）在 SKIPIF 1 0 中，点 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 在线段 SKIPIF 1 0 上， SKIPIF 1 0 ，当 SKIPIF 1 0 点在线段 SKIPIF 1 0 上运动时，总有 SKIPIF 1 0 ，则一定有 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 A SKIPIF 1

11、 0 B SKIPIF 1 0 C SKIPIF 1 0 D SKIPIF 1 0 【分析】由题意画出图形，设 SKIPIF 1 0 ，由 SKIPIF 1 0 ，得 SKIPIF 1 0 ，代入 SKIPIF 1 0 ，再令 SKIPIF 1 0 ，结合已知转化为关于 SKIPIF 1 0 的不等式，再由判别式恒小于等于0求得 SKIPIF 1 0 的值，然后利用数量积的几何意义可得 SKIPIF 1 0 ，则答案可求【解答】解：如图，设 SKIPIF 1 0 ，由 SKIPIF 1 0 ，得 SKIPIF 1 0 ，又 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0

12、，即有 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，令 SKIPIF 1 0 ，则 SKIPIF 1 0 ，即 SKIPIF 1 0 恒成立可得 SKIPIF 1 0 化为 SKIPIF 1 0 ，则 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 ，即 SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 上的投影为 SKIPIF 1 0 的中点 SKIPIF 1 0 故选： SKIPIF 1 0 8（春丰台区期末）点 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 所在平面内，满足 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF

13、 1 0 ，且 SKIPIF 1 0 ，则 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 依次是 SKIPIF 1 0 的 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 A重心，外心，内心B重心，外心，垂心C外心，重心，内心D外心，重心，垂心【分析】由三角形五心的性质即可判断出答案【解答】解： SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 ，设 SKIPIF 1 0 的中点 SKIPIF 1 0 ，则 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 三点共线，即 SKIP

14、IF 1 0 为 SKIPIF 1 0 的中线 SKIPIF 1 0 上的点，且 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 为 SKIPIF 1 0 的重心 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 为 SKIPIF 1 0 的外心； SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 ，即 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，同理可得： SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 为 SKIPIF 1 0 的垂心；故选： SKIPIF 1 0 9（浙江模拟）已知 SKIPIF

15、 1 0 是半圆 SKIPIF 1 0 的直径， SKIPIF 1 0 ，等腰三角形 SKIPIF 1 0 的顶点 SKIPIF 1 0 、 SKIPIF 1 0 在半圆弧 SKIPIF 1 0 上运动，且 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，点 SKIPIF 1 0 是半圆弧 SKIPIF 1 0 上的动点，则 SKIPIF 1 0 的取值范围 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 A SKIPIF 1 0 B SKIPIF 1 0 C SKIPIF 1 0 D SKIPIF 1 0 【分析】由圆的参数方程设出 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIP

16、IF 1 0 点的坐标，进而找出 SKIPIF 1 0 与角的关系，通过三角化简转化成三角函数，结合角的范围可求最值【解答】解：建立如图所示的平面直角坐标系，由题意可得 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，设 SKIPIF 1 0 ，则 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，设 SKIPIF 1 0 ，其中 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIP

17、IF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 ，因为 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 故选： SKIPIF 1 0 10（春东城区期末）在日常生活中，我们会看到如图所示的情境，两个人共提一个行李包假设行李包所受重力为 SKIPIF 1 0 ，作用在行李包上的两个拉力分别为 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，且 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 与 S

18、KIPIF 1 0 的夹角为 SKIPIF 1 0 给出以下结论： SKIPIF 1 0 越大越费力， SKIPIF 1 0 越小越省力； SKIPIF 1 0 的范围为 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ；当 SKIPIF 1 0 时， SKIPIF 1 0 ；当 SKIPIF 1 0 时， SKIPIF 1 0 其中正确结论的序号是 【分析】根据 SKIPIF 1 0 为定值，求出 SKIPIF 1 0 ，再对题目中的命题分析、判断正误即可【解答】解：对于，由 SKIPIF 1 0 为定值，所以 SKIPIF 1 0 ，解得 SKIPIF 1 0 ；由题意知 SKIPIF 1

19、 0 时， SKIPIF 1 0 单调递减，所以 SKIPIF 1 0 单调递增，即 SKIPIF 1 0 越大越费力， SKIPIF 1 0 越小越省力；正确对于，由题意知， SKIPIF 1 0 的取值范围是 SKIPIF 1 0 ，所以错误对于，当 SKIPIF 1 0 时， SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 ，错误对于，当 SKIPIF 1 0 时， SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 ，正确综上知，正确结论的序号是故答案为：11（2019春贺州期末）设 SKIPIF 1 0 为 SKIPIF 1 0 内一点，且满足关系式 SKIPIF 1 0 ，则

20、SKIPIF 1 0 【分析】化简可得 SKIPIF 1 0 ，设 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 分别为 SKIPIF 1 0 、 SKIPIF 1 0 的中点，则 SKIPIF 1 0 ，再根据等底的三角形面积之比等于高之比即可求解【解答】解：由题可得， SKIPIF 1 0 ，则 SKIPIF 1 0 ，即 SKIPIF 1 0 ，设 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 分别为 SKIPIF 1 0 、 SKIPIF 1 0 的中点，则 SKIPIF 1 0 ，设 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 为 SKIPIF 1 0 的中位线， SKIPI

21、F 1 0 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 是 SKIPIF 1 0 的中点， SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 ，又 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 是 SKIPIF 1 0 的中点， SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 ，又 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 ，故 SKIPIF 1 0 故答案为： SKIPIF 1 0 12（2019秋亭湖区校级月考）在平面直角坐标系 SKIPIF 1 0 中，已知点 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 、 SK

22、IPIF 1 0 为圆 SKIPIF 1 0 上的两动点，且 SKIPIF 1 0 ，若圆 SKIPIF 1 0 上存在点 SKIPIF 1 0 ，使得 SKIPIF 1 0 ，则 SKIPIF 1 0 的取值范围为 【分析】作图，可得 SKIPIF 1 0 ，由弦长、弦心距及半径之间的关系可得点 SKIPIF 1 0 的轨迹方程，进而得到 SKIPIF 1 0 的几何意义，由此即可得解【解答】解：取 SKIPIF 1 0 的中点 SKIPIF 1 0 ，连接 SKIPIF 1 0 ，则 SKIPIF 1 0 ，又圆 SKIPIF 1 0 上存在点 SKIPIF 1 0 ，使得 SKIPIF

23、1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 ，因此 SKIPIF 1 0 ，故 SKIPIF 1 0 ，因为 SKIPIF 1 0 、 SKIPIF 1 0 为圆 SKIPIF 1 0 上的两动点，且 SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 ，设 SKIPIF 1 0 ，则 SKIPIF 1 0 ，即点 SKIPIF 1 0 的轨迹方程为 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 表示圆 SKIPIF 1 0 上的点与定点 SKIPIF 1 0 之间的距离，因此 SKIPIF 1 0 ，即 SKIPIF 1 0 ，即 SKIPIF 1 0 故答案为： SKIP

24、IF 1 0 13（2019秋马鞍山期末）如图，在平面直角坐标系 SKIPIF 1 0 中， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 （1）求点 SKIPIF 1 0 ，点 SKIPIF 1 0 的坐标；（2）求四边形 SKIPIF 1 0 的面积【分析】（1）设 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，根据题中条件，得到 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，再由向量的坐标表示，根据 SKIPIF 1 0 ，即可求出点 SKIPIF 1 0 的坐标；（2）先用向量的方法，证明四边形 SKIPIF 1 0 为等腰梯形；连接 SKIPIF

25、1 0 ，延长 SKIPIF 1 0 交 SKIPIF 1 0 轴于点 SKIPIF 1 0 ，得到 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 均为等边三角形，进而可求出四边形面积【解答】解：（1）在平面直角坐标系 SKIPIF 1 0 中， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，又 SKIPIF 1 0 ，设 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，则 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 点 SKIPIF 1 0 ；又 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 ，即点 SK

26、IPIF 1 0 ；（2）由（1）可得， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 ，即 SKIPIF 1 0 ，又 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 四边形 SKIPIF 1 0 为等腰梯形连接 SKIPIF 1 0 ，延长 SKIPIF 1 0 交 SKIPIF 1 0 轴于点 SKIPIF 1 0 ，则 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 均为等边三角形， SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 14（2019春来宾期末）在 SKIPIF 1 0 中， SKIPIF 1 0 是线段 SKIPIF 1 0

27、上靠近 SKIPIF 1 0 的一个三等分点， SKIPIF 1 0 是线段 SKIPIF 1 0 上靠近 SKIPIF 1 0 的一个四等分点， SKIPIF 1 0 ，设 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 （1）用 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 表示 SKIPIF 1 0 ；（2）设 SKIPIF 1 0 是线段 SKIPIF 1 0 上一点，且使 SKIPIF 1 0 ，求 SKIPIF 1 0 的值【分析】（1）利用已知条件，通过向量的三角形法则与平行四边形法则，转化求解即可（2）通过向量关系，结合向量共线，转化求解向量的模的关系，推出结果【解答】解：（

28、1）因为 SKIPIF 1 0 是线段 SKIPIF 1 0 上靠近 SKIPIF 1 0 的一个三等分点，所以 SKIPIF 1 0 因为 SKIPIF 1 0 是线段 SKIPIF 1 0 上靠近 SKIPIF 1 0 的一个四等分点，所以 SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 因为 SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 ，则 SKIPIF 1 0 又 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 （2）因为 SKIPIF 1 0 是线段 SKIPIF 1 0 上一点，所以存在实数 SKIPIF 1 0 ，使得 SKIPIF 1

29、0 ，则 SKIPIF 1 0 ，因为 SKIPIF 1 0 ，所以存在实数 SKIPIF 1 0 ，使 SKIPIF 1 0 ，即 SKIPIF 1 0 ，整理得 SKIPIF 1 0 解得 SKIPIF 1 0 ，故 SKIPIF 1 0 15（春金凤区校级期末）如图，在正方形 SKIPIF 1 0 中，点 SKIPIF 1 0 是 SKIPIF 1 0 边上中点，点 SKIPIF 1 0 在边 SKIPIF 1 0 上（1）若点 SKIPIF 1 0 是 SKIPIF 1 0 上靠近 SKIPIF 1 0 的三等分点，设 SKIPIF 1 0 ，求 SKIPIF 1 0 的值（2）若 S

30、KIPIF 1 0 ，当 SKIPIF 1 0 时，求 SKIPIF 1 0 的长【分析】（1）用 SKIPIF 1 0 表示出 SKIPIF 1 0 ，得出 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 的值即可得出 SKIPIF 1 0 的值；（2）设 SKIPIF 1 0 ，用 SKIPIF 1 0 表示出 SKIPIF 1 0 ，根据 SKIPIF 1 0 计算 SKIPIF 1 0 ，从而可得 SKIPIF 1 0 的长【解答】解：（1） SKIPIF 1 0 点 SKIPIF 1 0 是 SKIPIF 1 0 边上中点，点 SKIPIF 1 0 是 SKIPIF 1 0 上靠近

31、SKIPIF 1 0 的三等分点， SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，故 SKIPIF 1 0 （2）设 SKIPIF 1 0 ，则 SKIPIF 1 0 ，又 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 ，故 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 B组强基必备1（2019秋常州期中）已知点 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，倾斜角为 SKIPIF 1 0 的直线 SKIPIF 1 0 与单位圆在第一象限的部分交于点 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 与 SKIPIF 1 0 轴交于点 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 与 SKIP