专题23＋空间中的平行与垂直证明技巧（文）

1、PAGE28专题23空间中的平行与垂直证明技巧一【学习目标】（1）熟练掌握线面平行、面面平行的判定定理和性质，会把空间问题转化为平面问题（2）学会应用“化归思想”进行“线线问题、线面问题、面面问题”的互相转化（3）能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题（4）熟练掌握空间中线面垂直的有关性质与判定定理；运用公理、定理证明或判定空间图形的垂直关系的简单命题不论何种“垂直”都能化归到“线线垂直”二【知识点及方法归纳】1直线与平面平行的判定1判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线，那么这条直线和这个平面平行，即ab，a，ba2如果两个平面平行，那么一个平面内的直

2、线与另一个平面平行，则a2直线与平面平行的性质如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交；那么这条直线就和平面平行，即a，a，b，3直线与平面垂直的判定1定义如果一条直线和平面内任意一条直线都垂直，那么这条直线和这个平面垂直2判定定理1如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面用符号语言表示为：若m，n，mnB，lm，ln，则l3如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面用符号语言表示为：若ab，a，则b4面面垂直的性质定理如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面5两平面平行的性质定理如果两个平

3、面平行，那么与其中一个平面垂直的直线也与另一个平面垂直6如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线也垂直于第三个平面4两平面平行的判断方法1依定义采用反证法2依判定定理通过说明一平面内有两相交直线与另一平面平行来判断两平面平行3依据垂直于同一直线的两平面平行来判定4依据平行于同一平面的两平面平行来判定5平行关系的转化程序线线平行线面平行面面平行从上易知三者之间可以进行任意转化，因此要判定某一平行的过程就是从一平行出发不断转化的过程在解题时要把握这一点，灵活确定转化思路和方向三【解题方法总结】1证明直线与平面平行和直线与平面垂直常运用判定定理，即转化为线线的平行与垂直关系来证明2直线与平

4、面平行的判定方法：1aa定义法，2eqblcrcavs4alco1ab,a,ba，这里表示平面，a，b表示直线3证明线面垂直的方法主要有：以下A为点，m，n，l，a，b表示直线，表示平面1利用线面垂直的定义：a与内任何直线垂直a；2利用判定定理：eqblcrcavs4alco1m，n，mnA,lm，lnl；3利用第二判定定理：ab，a，则b；4利用面面平行的性质定理：，a，则a5利用面面垂直的性质定理：，l，a，al，则a4面面垂直的证明方法：1利用定义：和所成的二面角为直二面角；2利用判定定理：若a，a，则5性质定理的恰当应用：1若，l，a，al，则a，用来证明线面垂直，也用来确定点到平面的

5、垂线段2若，点不一定垂直n，可能m,n的夹角为钝角或者锐角，故错误；B选项，若，则a不一定垂直b，可能a,b夹角为钝角或锐角，故错误；C选项，若m平行n，则a与b可能异面，故错误；D选项，若m和n相交，可能a在b的上方，此时异面，a与b也可能相交，故正确。故选D。【点睛】本道题考查了空间直线与直线的位置关系，关键发挥空间想象能力，逐一排除答案，即可，难度中等。练习1三棱锥A一BCD的六条棱所在直线成异面直线的有（）A3对B4对C5对D6对【答案】A【解析】如图：三棱锥中六条棱所在直线成异面直线的有AB与CD，AC与BD，AD与BC共3对故选A【点睛】本题主要考查了三棱锥的六条棱所在直线存在多少

6、对异面直线，结合异面直线的定义即可判断出结果，较为简单练习2在正方体中，分别是线段的中点，以下结论：丄；与异面；丄面；其中正确的是（）ABCD【答案】C【解析】连接，由中位线定理可判断；由线面垂直的性质可判断；由线面垂直的判断定理可判断【详解】连接，由为的中位线可得，故错误；由平面，可得，即有，故正确；由，可得平面，即有面，故正确，故选C【点睛】本题主要考查正方体的性质、线面垂直的性质、线面垂直的判定定理，属于难题解答空间几何体中垂直关系时，一般要根据已知条件把空间中的线线、线面、面面之间垂直关系进行转化，转化时要正确运用有关的定理，找出足够的条件进行推理；证明直线和平面垂直的常用方法有：（1

7、）利用判定定理；（2）利用判定定理的推论；（3）利用面面平行的性质；（4）利用面面垂直的性质，当两个平面垂直时，在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面练习3如图，在正四棱锥SABCD中，E，M，N分别是BC，CD，SC的中点，动点，梯形EFGH的面积为，则平行线EH、FG间的距离为A8cmB6cmC4cmD9cm【答案】A【解析】首先根据相似三角形可求出和的长，结合梯形面积公式即可得结果【详解】由题知，设平行线、之间距离为，则，故选A【点睛】本题主要考查了空间中两条直线的平行关系，相似三角形的性质，梯形的面积等，属于基础题练习1如图，在棱长为4的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为D

8、D1的中点，F、G分别为C1D1、BC1上一点，C1F=1，且FG平面ACE，则BG=（）AB4CD【答案】C【点睛】本题考查线面平行的性质以及应用，涉及正方体的几何结构，属于基础题练习2如图，正方体的棱长为1，分别是棱的中点，过的平面与棱分别交于点设，四边形一定是菱形；平面；四边形的面积在区间上具有单调性；四棱锥的体积为定值以上结论正确的个数是A4B3C2D1【答案】B【解析】因为对面互相平行，所以四边形一定是平行四边形；因为EF垂直平面BDD1B1,所以EF垂直GH，所以四边形一定是菱形；因为AC练习1a，b，c为三条不重合的直线，为三个不重合的平面，给出的下列命题中，正确的个数为ab；a

9、b；A1B2C3D4【答案】B【解析】由平行公理4知ab正确ab或a与b相交或异面均可，故不正确；或，相交，不正确；，由面面平行的性质知正确故选：B【点睛】本题主要考查了直线与平面平行的判定，以及平面与平面平行的判定，同时考查了对定理的理解，属于综合题练习2几何体ABCDA1B1C1D1是棱长为a的正方体，M、N分别是下底面棱A1B1、B1C1的中点，、N三点的平面交上底面于N平面A1B1C1D1MN平面ABCD，又N平面ABCD，MN、N分别是A1B1、B1C1的中点MNA1C1AC，PQAC，又，ABCD-A1B1C1D1是棱长为a的正方体，从而，故选B【点睛】本题考查平面与平面平行的性质

10、，是立体几何中面面平行的基本题型，本题要求灵活运用定理进行证明（十）例10如图，已知六棱锥PABCDEF的底面是正六边形，PA平面ABC，则下列结论正确的是（）APBADB平面PAB平面PBCC直线BC平面PAED直线CD平面PAC【答案】D【解析】因为AD与PB在平面ABC内的射影AB不垂直，所以A答案不正确过点A作PB的垂线，垂足为H，若平面PAB平面PBC，则AH平面PBC，所以AHBC又PABC，所以BC平面PAB，则BCAB，这与底面是正六边形不符，所以B答案不正确若直线BC平面PAE，则BCAE，但BC与AE相交，所以C答案不正确故选D【点睛】本题考查线面位置关系的判定与证明，熟练

11、掌握空间中线面位置关系的定义、判定、几何特征是解答的关键，其中垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型：1证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行；2证明线面垂直，需转化为证明线线垂直；3证明线线垂直，需转化为证明线面垂直练习1如图，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，G是EF的中点，现在沿AE，AF及EF把这个正方形折成一个空间图形，使B，C，D三点重合，重合后的点记为H，那么，在这个空间图形中必有AAG平面EFHBAH平面EFHCHF平面AEFDHG平面AEF【答案】B【解析】分析折叠前与折叠后位置关系、几何量的变与不变，可得HA、HE、HF三者相互垂直，根据线面垂直

12、的判定定理，进而可判断【详解】分析折叠前与折叠后位置关系、几何量的变与不变，可得HA、HE、HF三者相互垂直，AH平面EFH，B正确；过A只有一条直线与平面EFH垂直，A不正确；AGEF，EFAH，EF平面HAG，平面HAGAEF，过H作直线垂直于平面AEF，一定在平面HAG内，C不正确；HG不垂直于AG，HG平面AEF不正确，D不正确故选：B【点睛】本题了考查直线与平面垂直的判定，一般利用线线线面面面，垂直关系的相互转化判断，属于中档题练习2如图，四棱柱中，分别是、的中点，下列结论中，正确的是（）AB平面C平面D平面【答案】D【解析】连接交于，由于四边形是平行四边形，对角线平分，故是的中点因

13、为是的中点，所以是三角形的中位线，故，【点睛】本小题主要考查直线和平面的位置关系，考查棱柱的侧面是平行四边形这一几何性质，还考查了三角形的中位线以及线面平行的证明两条直线平行，在直观图中，这两条直线是平行的，通过直观感知，再根据线面平行的判定定理即可得出正确的选项属于基础题（十一）面面垂直例11如图，在三棱锥中，平面平面为等边三角形，其中分别为的中点，则三棱锥的体积为（）ABCD【答案】D【点睛】本题考查平面与平面垂直的性质定理的应用，考查体积的计算，正确运用平面与平面垂直的性质定理是关键，是中档题练习1如图所示，四棱锥的底面方正方形，侧面为等边三角形，且侧面底面，点在底面正方形内运动，且满足

14、，则点在正方形的轨迹一定是（）ABCD【答案】B【解析】先确定轨迹是2个平面的交线，PC的中垂面和正方形ABCD的交线，再确定交线的准确位置，即找到交线上的2个固定点【详解】，点在的中垂面上，点在正方形内的轨迹一定是平面和正方形的交线为正方形，侧面为等边三角形，取的中点，有取的中点，易知，又，平面，即平面与平面重合点在正方形内的轨迹一定是线段故选B【点睛】本题考查面面垂直的性质，轨迹的确定方法练习2如下图，梯形中，,将沿对角线折起设折起后点的位置为，并且平面平面给出下面四个命题：；三棱锥的体积为；平面；平面平面其中正确命题的序号是（）ABCD【答案】B【解析】利用折叠前四边形中的性质与数量关系

15、，可证出，然后结合平面平面，可得平面，从而可判断；三棱锥的体积为，可判断；因为平面，从而证明，再证明平面，然后利用线面垂直证明面面垂直【详解】，平面平面，且平面平面，平面，平面，故不成立，故错误；棱锥的体积为，故错误；由知平面，故正确；由知平面，又平面，又，且、平面，,平面，又平面,平面平面，故正确故选：B【点睛】本题通过折叠性问题，考查了面面垂直的性质，面面垂直的判定，考查了体积的计算，关键是利用好直线与平面、平面与平面垂直关系的转化，也要注意利用折叠前后四边形中的性质与数量关系（十二）平行垂直综合例12如图，四边形ABCD是圆柱OO的轴截面，点P在圆柱OO的底面圆周上，圆柱OO的底面圆的半

16、径OA=1，侧面积为2，AOP=60（1）求证：PB平面APD；（2）是否存在点G在PD上，使得AGBD；并说明理由（3）求三棱锥D-AGB的体积【解析】（1）由为圆的直径，可得，再由平面，得，然后利用线面垂直的判定可得平面；（2）存在，当点是中点时，由侧面积公式求得，进一步得到，由是的中点，可得，再由（1）得，由线面垂直的判定可得平面，则；（3）直接利用等积法求三棱锥的体积【详解】（1）证明：AB为圆O的直径，PBPA，AD平面PAB，PBAD，又PAAD=A，PB平面APD；（2）解：存在当点G是PD中点时，AGBD事实上，由题意可知，21AD=2，解得AD=1由AOP=60，可得AOP为

17、等边三角形，得到AP=OA=1在RtPAD中，AD=AP，G是PD的中点，则AGPD由（1）得PBAG，PDPB=P，AG平面PBD，则AGBD；（3），在RtAPB中，AB=2，AP=1，PB=，【点睛】本题考查空间中直线与直线，直线与平面间位置关系的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用等积法求多面体的体积，是中档题练习1如图，几何体EF-ABCD中，四边形CDEF是正方形，四边形ABCD为直角梯形，ABCD，ADDC，ACB是腰长为2的等腰直角三角形，平面CDEF平面ABCD（1）求证：BCAF；（2）求几何体EF-ABCD的体积【答案】（1）详见解析；（2）【解析】（1）推导出F

18、CCD，FCBC，ACBC，由此BC平面ACF，从而BCAF（2）推导出ACBC2，AB4，从而ADBCsinABC22，由V几何体EFABCDV几何体ACDEFV几何体FACB，能求出几何体EFABCD的体积【详解】（1）因为平面CDEF平面ABCD，平面CDEF平面ABCD=CD，又四边形CDEF是正方形，所以FCCD，FC平面CDEF，所以FC平面ABCD，所以FCBC因为ACB是腰长为2的等腰直角三角形，所以ACBC又ACCF=C，所以BC平面ACF所以BCAF（2）因为ABC是腰长为2的等腰直角三角形，所以AC=BC=2，AB=4，所以AD=BCsinABC=2=2，CD=AB=BC

19、cosABC=4-2cos45=2，DE=EF=CF=2，由勾股定理得AE=2，因为DE平面ABCD，所以DEAD又ADDC，DEDC=D，所以AD平面CDEF所以V几何体EF-ABCD=V几何体A-CDEFV几何体F-ACB=【点睛】本题考查线线垂直的证明，考查几何体的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题练习2如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，分别为中点，且，（1）平面；（2）若为线段上一点，且平面，求的值；（3）求四棱锥的体积【答案】（1）详见解析；（2）；（3）【解析】（1）连结，利用勾股定理逆定理可证明，又易证，可证明平面（2）连接，

20、根据，平面可得，进而，利用为中点可得结论（3）OA是棱锥的高，求底面直角梯形的面积即可代入体积公式计算【详解】（1）证明：连结，为的中点，且，又，是中点，由已知，且是平面内两条相交直线平面（2）连接，由已知底面为直角梯形，则四边形为平行四边形所以因为平面，平面，平面平面，所以所以因为为中点，所以为中点，所以，又因为点为的中点所以（3）由（1）平面得为四棱锥的高，且又因为是直角梯形，所以直角梯形的面积为则四棱锥的体积【点睛】本题主要考查了线面垂直、平行的判定和性质，棱锥的体积，属于中档题练习3如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形点E是棱PC的中点，平面ABE与棱PD交于点F（1）求

21、证：ABEF；（2）若PA=AD，且平面PAD平面ABCD，求证：AF平面PCD【解析】（1）证明：底面ABCD是正方形，ABCD,又AB平面PCD，CD平面PCD，AB平面PCD,又A，B，E，F四点共面，且平面ABEF平面PCD=EF，ABEF;（2）证明：在正方形ABCD中，CDAD,又平面PAD平面ABCD，且平面PAD平面ABCD=AD，CD平面ABCD,CD平面PADCD平面PAD,又AF平面PAD,CDAF,由（1）可知，ABEF，又ABCD，C,D,E,F在同一平面内，CDEF,点E是棱PC中点，点F是棱PD中点,在PAD中，PA=AD，AFPD,又PDCD=D，PD、CD平面PCD,AF平面PCD【点睛】本题主要考查了线面平行的性质定理和线面垂直的证明，属于基础题练习4如图，三棱柱ABCA1B1C1中，侧面AA1C1C侧面ABB1A1，AC=AA1=AB，AA1C1=60，ABAA1，H为棱CC1的中点，D为BB1的中点（1）求证：A1D平面AB1H；（2）若AB=，求三棱柱ABCA1B1C1的体积【解析】（1）根据面面垂直的性质得到AHA1D，再由条件得到A1DAB1，于是根据线面垂直的判定得到结论成立；（2）方法一：取A1C1的中点G，连接AG，证明AG为三棱柱ABC