圆锥曲线定点、定直线、定值问题

1、定点、定直线、定值专题1、已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在X轴上，椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1. (I)求椭圆C的标准方程；(II)若直线l：y = kx + m与椭圆C相交于A , B两点(A B不是左右顶点)，且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标.一 .一X 2 V 2【标准答案】(I)由题意设椭圆的标准方程为一+ j = 13 b 0)a 2 b 2_rc - c X 2 V 2a + c = 3,a c = 1, a = 2, c = 1,b2 = 3 /.+ = 1.43y = kx + m(II)设 A(x , y ),B(

2、x , y )，由 x2V2 得(3 + 4k2)x2 + 8mkx + 4(m2 3) = 0 ,12 2 一 + 匕=143A = 64m2k2 16(3 + 4k2)(m2 3) 0 , 3 + 4k2 m2 0 .8 mk4( m 2 3)n x + x =, x - x =3( m 2 4 k 2)3 + 4 k 23( m 2 4 k 2)3 + 4 k 2y y = (kx + m) (kx + m) = k 2 x x + mk (x + x ) + m 2 =;以AB为直径的圆过椭圆的右顶点D(2,0), k - k=-1, 上式=1,AD BDx 2 x 2(最好是用向量点

3、乘来)y1 y 2 + x1 x2 2( x1 + x2) + 4 = 0,3(m2 4k2) 4(m2 3)16mk3 + 4 k 23 + 4 k 23 + 4 k 27m7m2 +16mk + 4k 2 = 0，解得 m - 2k, m =-学，且满足3 + 4k2 m2 0.当m = 2k时，l: y = k(x 2)，直线过定点(2,0),与已知矛盾;2k22当m - - 7时，1:y = k(x亍)，直线过定点(于。).综上可知，直线i过定点，定点坐标为(2,0). g2、已知椭圆C的离心率e =-，长轴的左右端点分别为A (-2,0) , A(2,0 )。(I)求椭圆C的方程;

4、212(II)设直线x - my +1与椭圆C交于P、Q两点，直线A1P与A2Q交于点S。试问：当m变化时，点S 是否恒在一条定直线上？若是，请写出这条直线方程，并证明你的结论；若不是，请说明理由。 TOC o 1-5 h z 解法一：(1)设椭圆C的方程为三+=1(ab0)。 1分a2 b2a = 2 , e =-，.二 c = 3 , b2 = a2 c2 = 1。 4 分a 2椭圆C的方程为x2 + y2= 1。 5分42一 .一 ( 73 )一 .一 ( 73 )(II)取 m = 0,得 P 1, ,Q 1, I 2 J I，直线A P的方程是y = -6 x + -3直线a2q的方

5、程是y=Tx 一疝交点为S1(4,巨),Q (,Q (0,-1),直线A1P的方程是y=6x 4直线a2q的方程是y=2x1,交点为r五,r五,Q 1,yJ V 2由对称性可知交点为S2若点S在同一条直线上，则直线只能为:x = 4。以下证明对于任意的m,直线以下证明对于任意的m,直线AP与直线AQ的交点S均在直线N:x = 4上。事实上，由T+尸=1得 x = my +1(my +1)2 + 4y 2 = 4,即(m2 + 4)y2 + 2my 3 = 0 ,记 P(x1,y1 ),Q (x2,y2)，则 y2m3+ y =,y y =12 m2 + 4 1 2 m2 + 4设AP与.交于点

6、S (4,y ),由4 + 2x1 + 2设A Q与：交于点S (4,y ),由2y2x 210y-y02y12m12mm2 + 4 m2 + 4=(x + 2)(x - 2) y0 = y02-x2 26y (my 1) 2y (my + 3) 4my y 6(y-i二-i -, 1G .,12分(x + 2)(x - 2)+y ) (x1 +2)(x -2)2即S0与S；重合，这说明，当m变化时，点S恒在定直线:x = 4上。13分解法二：(II)取m=0,得 P 1,y ,Q 1,，直线AP的方程是y =1卫x + ,直线A Q的方程是632yy=x 3,交点为 S Qj3)7分(8 3

7、、=1,得 Pl 5,5若交点S在同一条直线上，则直线只能为:x = 4。8分以下证明对于任意的m,直线AP与直线A Q的交点S均在直线Q:x = 4上。事实上，X2r + y2 = 1 /日由彳4 y 得x = my +1+1 + 4y2 = 4,即(m2 + 4)y2 + 2my - 3 = 0记p (x-yjq(x2，y2)， 则 TOC o 1-5 h z 2m3y + y =,y y =12 m2 + 4 1 2 m2 + 4AP的方程是y = -y- (x + 2), A Q的方程是y =(x 2),消去y,得(x + 2 )=(x 2 )1x + 22yx 2x + 2x 212

8、12以下用分析法证明x = 4时，式恒成立。要证明式恒成立，只需证明-6yL =二V,即证x +2 x 23y (my 1)= y (my + 3),即证 2my y = 3(y + y ). ：122112122myy 3 (y + y ”二6m-二” =0, J式恒成立。这说明，当m变化时，点S恒在定直线1 :x = 4上。1 212 m2 + 4 m2 + 4解法三：(II)由工+ y2=1得(my +1 + 4y2 = 4,即(m2 + 4)y2 + 2my 3 = 0。x = my +1记 P (x1,y记 P (x1,y1 ),Q X%)，则 y1 + y2 =屋,小二 EAP的方

9、程是y =1x1 + 2(x + 2)，A2Q 的方程是 y =七(x 一 2),2y= (x + 2 ), + 2 得 (x - 2),x 2上(x + 2 )= J (x - 2), x +2x 2126分7分9分2my y + 3y yy (x + 2)+ y (x 2)y (my + 3)+ y (my 2my y + 3y y即 x =2乙 1 x J1 = 2Z1 x J12= 2-y (x + 2) y (x 2)y (my + 3) y (my 1)2m=2-3- + 3m2m=2-3- + 3m2 + 4(2m)I 一 yJy1=4.12分这说明，当m变化时，点S恒在定直线彳

10、:x = 4上。 13分3、已知椭圆E的中心在原点，焦点在x轴上，椭圆上的点到焦点的距离的最小值为2 1，离心率为e = ：.2(I)求椭圆E的方程；(II)过点(1,0)作直线交E于P、Q两点，试问：在x轴上是否存在一个定点M，MP MQ为定值? 若存在，求出这个定点M的坐标；若不存在，请说明理由.a c = V2 1解：(I)设椭圆E的方程为+ y2=1,由已知得：L J2。2分 TOC o 1-5 h z a2 b2c =卫a 2:- 五:.b2 = a2c2 = 1 椭圆 E 的方程为 x2 + y2 = 1。3 分I c = 12 (II)法一：假设存在符合条件的点M(m,0)，又设

11、P(X1，y1),Q(X2，y2)，则：MP = (x m, y ),MQ = (x m, y ),MP MQ = (x m) (x m) + y y=x x m(x + x ) + m2 + y y。5 分当直线l的斜率存在时，1设直线l的方程为：y = k(x 1)，则x2由 7所以 M(-,0),MP MQ = ；11 分416当直线l的斜率不存在时，直线l: x = 1,x + x = 2,x x = 1,y y =-1 121 21 2215 - - 7由 m = 一得MP MQ =416综上述知，符合条件的点M存在，起坐标为(5,0) .13分4法二：假设存在点M(m,0),又设P

12、WjyJQxyyJ则:MP = (xm,yJ,MQ = (x2 m,y2)5分MP MQ = (x m) (x m) + y y =x x m(x + x ) + m2 + y y . 当直线l的斜率不为20时，设直线l的方程为x = ty +1, 5分x2由归+ A 1x = ty +1得(t2 + 2)y x2由归+ A 1x = ty +1得(t2 + 2)y + 2ty 1 = 0 /. y + y2t1,y y =t2 + 21 2t2 + 27分=(ty +1) (ty +1) = t y y + t(y + y ) +1 =12 2t2 +12 + 2 _ -2t2 + 2x +

13、 x = t(y + y ) + 2 =212122t2 + 2t2 + 44t2 + 2t2 + 2MP MQ =22t2 + 2t2 + 24m1+ m2 t2 + 2 t2 + 2 t2 + 2t2 + 2(m2 2)t2 + 2m2 4m +1t2 + 29分设 MP 设 MP MQ = X 则(m2 2)t2 + 2m2 4m +1 .=Xt2 + 2. (m2 2)t2 + . (m2 2)t2 + 2m2 4m +1 = X(t2 + 2). (m2 2 X)t2 + 2m2 4m +1 2X = 02m 2 4m +1 2X = 05 m =4x =L16二. M(5,0) 1

14、1 分4当直线l的斜率为0时，直线l:y = 0 ,由Mg)得:MP. MQ =(f 2- 5)= 25- 2 二- 44161613分综上述知，符合条件的点M存在，其坐标为(5,0)13分4 .一2.4、已知椭圆的焦点在x轴上，它的一个顶点恰好是抛物线元2= 4y的焦点，离心率e =Z5，过椭圆的右 焦点F作与坐标轴不垂直的直线l，交椭圆于A、B两点。(I)求椭圆的标准方程；一一一(II)设点M (m ,0)是线段OF上的一个动点，且(MA + MB) 1 AB，求m的取值范围；(III)设点C是点A关于x轴的对称点，在x轴上是否存在一个定点N,使得C、B、N 三点共线？若存在，求出定点N的

15、坐标，若不存在，请说明理由。x 2 y 2解法一：(I)设椭圆方程为一 + 5- = 13 b 0)，由题意知b = 1a 2 b 2 TOC o 1-5 h z :a2 b22x2 y=n a 2 = 5 故椭圆方程为7-+ y 2 =1a a 255(II)由(I)得 F (2,0)，所以 0 m 0,. 0 m一 ,5 k 2 +15 k 2 +18 5 m58.当 0 m -时，有(MA + MB) 1 AB 成立。5y x + y x:=1 22-1y 2 + y1(IID在x轴上存在定点N (2,0),使得Cy x + y x:=1 22-1y 2 + y1程为 y + y = y

16、2 + y1 (x x ), 令y = 0,则Ux = y1(x2 x1)+ x 1 x x 1y + y 121212 kxx 2 k (x + x )-l的方程为y = k(2 kxx 2 k (x + x ), y = k(x 2), y = k(x 2) , x =k (x, y = k(x 2), y = k(x 2) , x =2 k, 22klz5 2 k,空k (2 k, 22klz5 2 k,空5 在x轴上存在定点N(5,0)，使得C B N三点共线。5 k 2 +1解法二：(II)由(I)得F (2,0)，所以0 m 0. 0 m 5 k 2 +1 5 5(5 k 2 +1

17、5.当 0 m 8 时，有(MA + MB) 1 AB 成立。5(III)在x轴上存在定点N(5,0)，使得C、B、N三点共线。设存在N(t,0),使得C、B、N三点共线，则CB/ CN ,cC= = (xi -x2, y2 + yj,CN = (t-q, y), 即(x - x )k (x - 2) - (t - x )k (x + x - 4)=.(x - x ) y - (.(x - x ) y - (t - x )(y + y ) = 00. 2xx -(t + 2)(x + x ) + 41 = 0 2E-(t + 2)k + 4 t = 0 一=2 .存在 N (2,0),使得 C

18、BN 三点共线。x 2 .6、(福建卷)已知椭圆y + y2 = 1的左焦点为F, 0为坐标原点。(I)求过点0、凡并且与椭圆的左准线l相切的圆的方程；(II)设过点F且不与坐标轴垂直交椭圆于A、B两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点G，求点G横坐标的取值范围.本小题主要考查直线、圆、椭圆和不等式等基本知识，考查平面解析几何的基本方法，考查运算能力和综 合解题能力。解：(I) a a2 = 2, b2 = 1. c = 1, F (-1,0), l: x = -2.,圆过点 O、F, . M 在直线 x = -1 上。设M(- J,t),则圆半径r由阿= TOC o 1-5 h z 丫,得(-j)2+ 12 = 3,解得 t = J2. 1 乙乙由阿=/1、/9二所求圆的方程为(x + -)2 + (y v2)2=- 24(II)设直线AB的方程为y = k(x +1)(k丰0),x 2代入一 + y2 =