测量的标准差

1、第二章 误差的基本性质与处理第一节 随 机 误 差 Random Error第一节随随机机误差一、随机误差的产生原因二、正态分布 Normal Distribution2四、测量量的标准准差StandardDeviation4 三、算术平均值 Arithmetic Average3定义、意意义、残残余误差差分布特征、概率密密度函数数、置信信概率测量装置置 、测测量环境境、测量量人员1两组测量数据的散点图20.0000四、测量量的标准准差(Standard Deviation)12345平均值第一组(张三测得)19.999020.000619.999520.001519.9994第二组：(李四测

2、得）20.000519.999620.000319.999420.0002测量某孔孔径得到到有下列列两组测测得值，单位mm20.000020.0000 关于“等精度测量”两组测量量的准确确度度一一样吗？大小大小低高张三李四分散度准确度定性定量定 量？标准差两组测量数据的散点图20.0000标准差不是等精度测量列中任何一个具体测得值的随机误差标准差StandardDeviation测量的标准偏差简称为标准差，也称均方根误差。等精度测量列中的所有测得值都具有相同的标准差。标准差是一个关于总体分布性质的概念。描述随机机误差（测量结结果）分分散程度度的统计计量，可可作为定定量评定定测量精精度的参参数。

3、等精度条条件下，随机误误差（测测量结果果）的所所有可能能值本节的重重点内容容1反映等精度测量列 的分散程度测量列单单次测量量的标准准差2反映等精度测量列 的分散程度测量列算术平均值的标准差二者有何何关系标准差的统计定定义标准差是是统计参参数方差差开方后后的值。方差定义义：随机机变量X的每一个个可能值值对其数数学期望望E（X）的偏差差的平方方的数学学期望。1测量列列单次测测量的标标准差统计定义义式：由统计意义义得在等精精度测量量列中，单次测测量的标标准差按按下式计计算i为测得值值与真值值之差；n为测量次次数（趋趋于无穷穷次）。注意：标标准差只只取正开开方根值值，标准准差与测测得值具具有相同同的量

4、纲纲。无法应用用1测量列列单次测测量的标标准差用残差计计算标准准差的估估计值推导如下下：真差 残差 所以： 令 ，称为算术平均值误差 所以：有： （1）对（1）式两边边相加有有：（2）对（1）式先平方（3） 后取和，有用残差计计算标准准差的估估计值（3）（2）式平方方有当n适当大，上式中 接近于0。 （4） 代入（3）式有：（5） 因为 ，所以（5）式为： 贝塞尔公公式用残差计计算标准准差的估估计值1测量列列单次测测量的标标准差贝塞尔公公式意义义：根据有限限次测量量值计算算单次测测量的标标准差的的估计值值。（2-18）贝塞尔公公式：式中：vi为残差，n为测量次数对总体标准准差的估计说明：有的参

5、考考书将由由贝塞尔尔公式计计算的标标准差估估计值称称为样本本标准差差或实验验标准差差，用s或s表示。本本书中将将总体标标准差及及其估计计值都用用表示。12345平均值分散度第一组(张三测得)19.999020.000619.999520.001519.9994大第二组：(李四测得）20.000519.999620.000319.999420.0002小测量某孔孔径得到到有下列列两组测测得值，单位mm20.000020.0000第一组：1测量列列单次测测量的标标准差第二组：求两组测得得值单次测量量的标准准差：其他精度度参数用用残差表表示平均误差 ：或然误差： 算术平均均值的标标准差与与单次测测量

6、的标标准差关关系推导导如下：对 取方差，令 有： 即：利用方差差的性质质得：2.测量列算算术平均均值的标标准差在n次等精度度测量列列中，算算术平均均值的标标准差为为单次测测量的，精度得得到明显显提高2.测量列算算术平均均值的标标准差可见：在n次等精度测量列中，算术平均值的标准差为单次测量标准差的 ，精度得到明显提高。 式中为单次测测量的标标准差，n为测量次次数在实际测测量中，测量次次数越多多越好吗吗？12345平均值第一组(张三测得)19.999020.000619.999520.001519.9994第二组：(李四测得）20.000519.999620.000319.999420.0002测

7、量某孔孔径得到到有下列列两组测测得值，单位mm20.000020.0000第二组：两组测得得值单次测量量的标准准差：求两组算算术平均均值的标标准差：第一组：2.测量列算算术平均均值的标标准差当n10次以后，测量精精度随测测量次数数增加提提高不显显著 减少缓慢 减少如何选择择合适的的测量次次数n？n增加测量次数增加测量量次数，可以提提高测量量精度愈难保证证测量条条件的恒恒定，带来新的的误差，同时，必然会会增加测测量的工工作量及及其成本本。n10次算术平均均值的其其他精度度参数平均误差T 或然误差R 用残差表表示为：总结结算术平均值的标准差测量的标标准差定量评定定测量准准确度的的参数单次测量的标准差适当增加加测量次次数取其其算术平平均值表表示测量量结果随机误差差的正态态分布标准差定定量描述述了随机机误差（测量数数据）的的分散程程度。其中，随随机误差差=x-，为测量总总体的数数学期望望，为标准差差。1f()32 0123定义：若在多次次重复测测量中，每一个个测得值值都是在在相同的的测量条条件（相相同的测测量程序序，相同同的观测测者，使使用相同同的测量量仪器，相同地地点、在在短时间间内进行行重复测测量）下下获得的的，这样样的测量量叫做等等精度测测