复旦answer-to2013midterm exam信息科学与工程学院

1、复旦大学信息科学与20132014学年第一学期线性代数期中(本试卷答题时间90分钟, 答案必须写在试卷上, 做在草稿纸上无效.)一、是非题(每小题2分,共20分.请在每小题前的括号中填上“”,“”表示“正确”与“错误”) 设A,B 是n 阶方阵, 且A = kB(k /= 0), 则det(AB) = 1 det(A)2.解答 det(AB) = 1= 1 detABn阶方阵AB0则det(Adet(B解答反例:若B是,矩阵,Al非奇异矩阵,则AB=0,但det(A)/=( 分块矩阵X 0 AB分别为mn阶可逆方阵, Cm n阶矩阵, ABlABX( T） XQCTP , P ( T,Q (

2、T1X解答利用XT ( T） 直接验证XA2 I, A = I A I. (I为单位阵反例:设A是对角阵,其对角元,部分是1,其它为+1,而A2 =I.不一定是I或I. 矩阵A,B,C 均为n 阶方阵, 若AB = AC 则B = C解答: 只有当A 是(列)满秩矩阵时, 才适用消去律. 否则, rank(A) nB = D + X1C = D+X2其中矩阵X1X2 中的列向Ax = 0 基础解系的不同线性组合此时还是有 AB = AC, B, C 未必相等.( A满足A A4I0AI可逆解答A2 2A+I+3A 3I = 2I (A I)2 +3(A I) = 2I (A 此AI可逆(A+2

3、I) I. ( )对矩阵实施初等变换不会改变矩阵的秩解答参见浙大p.89 定理( A m n矩阵, Ax = 0 mn时, 必有非零阶解答 = m n, 再根据齐次方程组有非零解的充要条件(浙大教材p.112定理3.2) 可知, 方程必有非零解A m n 矩阵非齐次线性方程组Ax b rank(A) = rank(A1b）= m, 程有唯一解当方程相容时,若rank(A)=mn则方程有无穷多解(浙大p.107). 向量组(I)可以由向量组(II)线性表示, 则rank(I) = rank(II).解答参见浙大p.124 推论二、选择题(每题3分, 共30分请将答案填入每题的括号中Ax0的基础解

4、系下列哪个命题是错误的方程组的任意一个解均可由基础解系线性表示基础解系线性无关基础解系是唯一的基础解系是方程组所有解构成向量组的极大线性无关组设向量a1 , a2 均为方程组Ax= 0的解. 则A可能是下列哪个矩阵22 0 0 1 A n 阶方阵, b n维列向量, = rank(A), Ax = b 必有无穷多解Ax = b 有唯一解l= 0 只有零解l= 0 矩阵A An(n 2为正整数的值为(n n(n1) n(n 2ABCn阶方阵ABBCCAIn(Inn阶单位阵A2 B2 nA A = 0, x xxAx = b 相等的解Ax0的基础解系不存在仅含一个非零解向量含有两个线性无关的解向量

5、含有三个线性无关的解向量a1a2a3 线性无关, a1 a2,a2 a3,a3 a1,a1 +a2,a1 +a2 +a1 +a2,a2 +a3,a3 +a1 +a2,2a2 +a3,3a3 +AB n阶方阵A2 B2 A BA B的充要条件是B = det(A) /= 0 AB = A = nAB等价, 若det(A) = a/= 0,则det(B) = a; 若det(A) = a/= 0 , 则det(B) = 若det(A) = 0, 则A = B = 若det(A) = 0, 则det(B) = AB均为n阶方阵rank(ABrank(B), 则rank(A) = ( =rank (

6、rank 以上三式均不正确因齐次方程组(I): AB2x = 0 与(II): B2x = 0 有相同的解系.(自行验证)所以, rank(AB2) = rank(B2).三、计算证明题(共50分(8分)求n阶行列式1a+a + 1 .1.111.1100a+b解:Dn 为该行列式的值按第一行展开得Dn = (a+bDn 2 Dn bDn1 =a(Dn1 2 =a+= 1a+1a2 ab2 a2依次类推1 a+b有D3 bD2 =a(D2 bD1)=D4 bD3 = 4.Dn bDn1 =1另一方面有Dn aDn1 b(Dn1 aDn2)同时D2 aD1 2依次类推1D3 =bbD)=D4 a

7、D3 = .Dn aDn1 =利用(1)a(2)b, Dn bDn1 Dn n(a b)Dn = a1 n a(8分)设n阶矩阵A = (aij)nn 的每一行元素?和为0, aij = 0,(i= 1,2,.,n). 求证A11 =A12 = =A1n,其中A1j 为1j=1,2,.,n)对应的代数式证明:利用A 的每行元素和为零, 得ain = aij(i= 1,2,.,n), 矩阵A 可写成 j=1 1区A a21 a22 a2(n1) .而1a21 a2(n1) 1a2j 1(1).1 1an1 an(n1) 111Cn1 +1a2j (1)1+j 1 .Cn1 +1anj 1a2(n

8、1) (1)j(1)nj1 1 .1a2(n1) (j=1,2,.,n(8分)设ABn阶方阵且满足AB ABAB 证明 AB AB AB AB 0等式两端同时减去单位阵IA+BABI= (AI)(BI)=因此AIBI互为逆阵所(AI)(B I)= (B I)(A 两边同时展开, 因此ABABAB+I=BAAB+(14分)设o元齐次线性方程组(I) 为0 , 另一个o元齐次程组(II)的通解为+求齐次方程组(I)的基础解系若没有, 请说明理解(a) 先求(I)的基础解系,将方程组写成矩阵形式1 0 = 0 1 0 得方程组的基础解系为(b) 将方程组(II)的通解代入方程组(I), 其中k1k2 为待定系数, k1k2 的方k1 共解k1 +k2 k1 +