15十五、排列组合的应用

1、十五、排列组合的应用教学目标指导学生通过分析、比较掌握解排列组合问题的基本方法利用两个原理 分类分步解题与结合容斥原理用排除法解题)与常见的特殊方法(如整元法、插空 法、除序法、挡板法等等).这部分知识应用性非常强，要在教学过程中反复强调充分理解每个算符 每步计算所对应的实际背景，使学生能认同唯有不断提高自己的应用意识才能越 来越熟练地顺利解决排列组合问题.这部分所涉及的题目解题方法常常多种多样，应鼓励学生尝试、探索各 种不同的解题方案，分析比较各种方法的适用范围及特点，使学生在探索分析中 确实感受到探索与分析的必要性，以增强学生提高探索能力的自觉性.这部分题目难度较大，学生解题时难免出现错误

2、，要鼓励学生大胆说出 不同的甚至是错误的解题方法，与同伴一起分析自己思路中的合理成分与不足， 使自己与同伴都可以从错误中进一步准确理解各种解题方法的正确使用方法，在 这种讨论过程中增强学生自我反省的批判能力和合作意识.重点难点每种排列组合的解题方法都对应着一个具体的“完成某件任务”的过程，使学 生明确每个算符与每步所对应的具体完成任务的办法是最大的难点.特别是某些 错误使用乘法原理时出现的“完成任务”的办法，学生常常很难识别其中出现的重 复或漏计不同方法数的具体情况，因此教学重点不仅是讲清每种正确的解题方 法，而且应诱使学生暴露自己的思维过程，及时纠正对每种方法的误解误用.教学过程一、引言回顾

3、学过的知识：两个原理；排列组合概念及排列数、组合数公式.强调两 点：1.每个概念与公式都与具体完成每件任务的办法设计密切相关，因此解排 列组合问题首先要明确题目中要“完成的任务”是什么，再确定你准备如何完成 任务的方案，最后再将方案中的每类、每步办法种数译成数学运算符号.2.前 面所涉及的题目大多数是为介绍概念或公式所出现的比较单纯的问题，这节课将 在更为实际因而也更为复杂的问题上进一步探讨排列组合知识的具体应用.二、排列组合的应用问题(一)这部分主要解决1.不同类问题(可重复排列问题，不可重复排列问题，组合 问题)的辩析.2.多类多步排列组合问题的解决方法，主要是两个特元以上的特 元法或特位

4、法、排除法的应用.例1 有一些书要借给一些人，按下列要求各有多少种不同的借书方法.六本不同的书全部借给五个人，每人至少一本；五本不同的书借给六个人，五本书全部被借走；三本相同的书借给五个人，三本书全部借出，每人最多借走一本；三本相同的书借给五个人，三本书全部被借走.解= 1800；65=7776；。；=1饥+=35.教学过程设计：例1的四个小问题同时给出，给学生自己思考并交流的时 间.四问同时给出的好处在于学生能够通过比较题目不同的叙述方法自我纠正对 题意的误解，弱点是学生自我纠正后可能会不甚重视产生误解的原因，因此，在 教学过程中应通过设问让学生重视并反思可能出现误解的原因及避免误读的审 题

5、重点。要引导学生暴露所有可能的错误解法，并引导学生理解产生错误的原 因.认真分析例1（1），为后面介绍整元法、除序法做一定的准备.逐一分析解题方法：第一组提问：（解例1（1）时）问1：据乘法原理，可以考虑每本书有五个去向，因此，借法总数为56,对 吗？（期望学生认识到这种算法无法保证“每人至少借一本的要求）问2：可以设计借书过程：先选出5本书借给5个人，再将剩下的书借给5人中的任何一个人，共有神不同的借法，这神方法对吗？（期望学生认识到借到两本书的人的同一种借法被计算了两次，如果学生不 能意识到这种重复计算，就举出一个具体的被重复计算的例子：如“第一、二、三、四、五本书分别借给A，B，C，D，

6、E五人，又将第六本书借给A，”与“第 六、二、三、四、五本书分别借给A，B，C, D, E五人,又将第一本书借给A ”在“伏$伏”的计算中据乘法原理被计算为两种不同的方法，但在实际上应视为一种借法）.问3：怎样纠正上述的错误呢？（期望学生认识到：可以先决定哪两本书借给同一个人，再将五“份”书借给五人，有C? $神不同的借法一一为“整元法”做一铺垫.也可以注意到所重复计算的方法数都出现在某个借了两本书的人上，所以可以将这两神方法“合并”为一神：为“除序法”故一铺垫）.（注：这一提问顺序是假设学生只提出了两种错误解法时所用.若学生可以给出正确解答，可通过引导学生分析旧校F 七七 ”的异同来解答上述

7、问题.问4：再看题目，题目中如果改为“四人”？（课上只须让学生认识到需分类讨论，做为课后选做，令学生课下完成具体 计算过程）.使问题复杂一些，以突出此方法的本质特点.）第二组提问：（解例1（2）时）问1：（估计大部分学生会利用“乘法原理”找到解题正确办法.）这个问题 中哪些因素使你想到要从书的去向分析解题过程从而得到借法数为“65”？（期望学生能体会若从借书者分析，分类情况太复杂，另外，没有限定每人 的借书量又是极重要的提示）.问2：题目中的“全部借出”的作用是什么？（期望学生能体会若无此限制，则每本书的去向应增添“未被借走” 一种情 况，于是不同的借法种数为“75”.）第三组提问：（解例1（

8、3）时）问1：（估计有一些学生可以得出正确答案）为什么不能设计借书的过程是选 一个人取走一本书，再选一人取走一本书，再选第三个人取走最后一本书？这种 算法中是否已经反映了 “书是相同的”这一条件？）（期望学生意识到据上述设计得出计算结果为6表面上看并没有考虑书之间的差别，但实际上“乘法原理”的使用中将三个人得 书的过程分成“步”就造成了与实际情况相比的重复计算，也相当于将书放于不同 的位置，让借书人去取，这就造成了书实际上不相同的效果.）问2：为什么不可用“53”来计算不同的借法种数？（期望学生意识到这种算法无法保证“每人最多一本”的要求.）第四组问题：（解例1 （4）时）R1：（估计会有两神

9、常见计算方法）应为还是+（引导学生再一次考虑分类方法适应的范围，再一次考虑用玲表示五人中一人有两本，一人有一本的合理性及其中隐含的“整元”思想.）RI2：正确解法中的与上面例1（3）的解法比较，为什么都是“相同的书”，有时是排列问题，有时又是组合问题，不可拆成组合数”的积来解 题？（引导学生认识到不可据一些固定的系词来盲目区分组合与排列问题，而是 要在充分理解乘法原理的基础上，据实际情况判断乘法原理中所体现的“分步” 所导致的计数方法是否适合实际问题的要求，并进一步体会在实际问题中排列组 合问题的联系与区别.）例1小结 两组元素（书、人）建立某种对应关系（借书），计算不同的对应方 法（借法）种

10、数时，应特别注意：每组元素的个数，每组元素间是否相同.对应关系的要求：每个元素是否必须要有与之对应的元素？可以对应几个等等.特别重视想清楚应用乘法原理时，所计算的方法种数是否与实际方法数 相比有重复计数的情况.例2有一些不同的工作需分配一些人去做，满足下列条件的分配工作方法种数各为多少？有六人，五种不同的工作，在六人中任选三人去做五种工作中的三种， 每人做且只做一种工作；有五人，五种不同的工作，每人做且只做一种工作，其中甲不能做第一 种工作，乙不能做第二种工作；有六人，四种不同的工作，选四人做且每人只做一种工作，且甲、乙不 能做第一种工作.解 (1)将分配工作的过程分为三步：第一步决定选哪三个

11、人；第二步决定 做哪三件工作；第三步决定哪个人担任哪个工作，则分配工作方法种数为：N = CCP/ = 1200.教学过程设计：令学生经讨论后提出各种解法，分析正确方法之间的等价性，如:并注意提出分析不正确解法的失误之处，如，将计算过程写为寸(2)解法一 甲、乙两人有特殊要求，可先考虑这两个特殊元素工作的分配 方法(特元法)，由于甲担任第二种工作与否会导致乙可选择的工作方法数的不同 变化，所以可分甲做或不做第一种工作，两类分别计算分配工作的种数：N = C；CjP| +CCP| =78.解法二由于甲、乙分别担任第一、二种工作的分配方法数很易计算，所以可以用排除法计算不同的分配工作方法种数：N

12、= P/ -P* -P： +P； =78.教学过程设计：令学生经讨论提出各种解法.分析第一种解法或与之类似解法的关键是连续 考虑特殊元素，并特别关注第一位特殊元素的“排法”给第二位特殊元素提供的排 法种数是否一致，以此判断是否需分类及分类的办法.应特别注意分析错解：N = CjCjP|.分析第二种解法中容斥原理的背景，特别注意有两个限制条件的使用排除法 与只有一个限制条件的使用排除法的异同.应特别注意分析错解：N = P/-P* -P*.(3)解法一可用排除法(排除甲或乙任第一种工作的情况)：N = P* -Pj -P/ = 240.解法二可先考虑第一种工作这一特殊位置工作的分配方法，再考虑其

13、它 工作的分配方法(特位法)，则不同的分配工作方法种数为：N=C；Pj = 240.解法三 从甲、乙这两个特殊元素考虑，可分三类情况计算分配方法种 数.在被选出的四人中分“没有甲、乙”，“有且仅有甲、乙中的一人”、“既 有甲、又有乙”三类：N =* P： +P； * P： =240.教学过程设计：除类似例2(1)(2)求解过程中组织学生探讨各种解题方法的正误以外，应着重 引导学生认识到从不同角度分析解题过程时的难易程度，使学生能认识到有意识 地从多种角度分析问题的必要性.例2小结 解决有特殊元素(或特殊位置)的排列、组合问题时，基本方法 是特元(或特位)法，排除法，例2提示了各种方法在使用时应

14、注意的问题，并且 提示了根据已知从不同角度寻求解决问题的办法.三、排列组合的应用问题(二)这部分主要让学生基本掌握排列组合问题中的几个特殊方法：整元法，插空 法，除序法，挡板法.例3 A，B，C等六人排成一队，满足下列要求的排队方法种数各有多少：A，B，C三人要排在一起A不能与B，C相邻.解 (1)将A，B，C先排在一起，再与其他人排.N = P|P* =144.(2)分“A在两端”与“A不在两端”两种情况求解，即N =288.教学过程设计：解例3(1)时，估计不少学生可以想到“整元”的思想，应在学生讲述自己解 法时将“整元法”提练得更为明确清晰.在讲评中注意分析使用“整元法”时易 出现的错误

15、:忽略了视为整元的各元素之间应确定排列顺序.数错在组成“整 元”后应排列的元素个数.解例3(2)时，估计会有学生参照例3(1)的想法沿用“整元”思想解题，注意 在评述学生解题方案时提醒学生注意三类常见错误：不考虑A在或不在两边 应分类计算；在计算“A不在两端”时，不注意排列在A两边的人的顺序， 或是错将整元排列数计算为逐如错误使用排除法，误认为N = P-P/P；;造成错误的原因：误认为A与B，C不相邻”的否定是“A与B，C都相邻”，实际上应为“A 与B或C相邻”.例3小结：“整元法”可用于解决“相邻”问题.又因“整元法”在排好整元后与 其它元素再排列时不拆散整元，所以“整元”也可以起到“隔离

16、”的作用，可用 于解决某些“不相邻”问题.在使用“整元法”时应特别注意据实际情况确定构成“整元”的方法 数.构成“整元”后数清进一步需排列的元素的个数.例4(1)三位女生、四位男生排成一排，女生不能相邻，有多少种不同的排队方法？三位女生、四位男生排成一排，女生不能相邻，男生也不能相邻，有多 少种不同的排队方法？有七个空位子，三位女生去坐，女生不能相邻而坐，有多少种不同的坐 法？解(1)用插空法，令男生排好，再将女生插入男生之间及两头所形成的可排入女生的五个空位中去：N = P*P = 1440.(2 )男、女生应互相隔开，所以不同排法种数为N = P*P/ = 144.(3)三个女生坐好后还应

17、有4个空位，所以可设想女生是被插入到四个空位 所形成的五个位置中去的，不同的排法种数为N = Pj =60.教学过程设计：解例4(1)时，无论是否有学生找到了正确简捷的解题方法，都应引导学生认 识到，前面所使用的各种解题方法，均是由具有特殊要求的元素入手从正面或从 不适应题目要求的反面(排除法)优先考虑特殊要求来解题的，但若仍沿用这种想 法想解决题目要求的不相邻问题，就很困难，所以可以换一个角度，先处理没有 限制条件的元素(题目中的男生)，再看是否能更简捷地解决有限制条件的元素(题 目中的女生)的排列问题.解例4(2)时，应引导学生认识到，遇两组不同元素不相邻问题时，仍可用插 空法，但两组元素

18、的个数需有一定限制，若一组元素的个数为m，则另一组元素 的个数只可以取m-1，m，m+1，否则题目无解.解例4(3)时，应引导学生认识到这一问题的解法是一组相同元素与一组不相 同元素之间不相邻问题的解法示例.在讲解过程中应适时引导学生分析比较两个问题.(1)比较“插空法”与“整 元法”在解不相邻问题时的异同.(2)比较例4(1)、(3)之间的异同，为“除序法” 做一些铺垫.例4小结 插空法主要用于两组元素中有一组或两组元素彼此不能相邻的 特殊排列或组合问题.例5 用0，1，2, 3, 4, 5组成满足下列条件的无重复数字的数，各有多 少个不同的数：不含0的五位数，其中奇数数字需由大到小从左至右

19、排列；六位数，其中偶数数字由大至小从左至右排列.(1)解法一可以考虑在五位数中确定两个偶数所在的位置及相对排列顺序，即N = P： =20.解法二先将五位数任意排好，再将奇数所在的位数相同且偶数的排列方法相同的数归并成一组，这类的数每组皆有且只有P； = 6个，每个五位数在且仅在一组数中，所以不同的五位数为(2)解法一类(1)解法一，选三个位置将三个奇数排入，此时，由于偶数必 须从左至右由大到小排列，所以不会出现最高位为0的情况，即所有不同的满足 条件的不同六位数个数为：N =120.解法二 类(1)解法二，将奇数所在位置及排列顺序都相同的六个数归并为 一组，不同的满足条件的六位数为教学过程设

20、计：解例5(1)时，引导学生认识到从奇数、偶数排列方法入手解决问题的等价性， 同时体会两种方法中算符与算式的不同含意，必要时应回顾组合数公式c： f 螳的两神推导方式，使学生准确理解“解法二”中“除以p; ”的准确含意.解例5时，应注意解法二中，在计算所有六位教个数时应算成蓦 而不是PP/.因为唯有将六位数个数计为评时才能保证“每六个数归并为一组，同时由于应使偶数从左至右由大到小排列，所以不会出现最高位为 0的情况.视情况而定，引导学生将问题发展成有两组或两组以上元素的排列顺序是确 定（定序）的，或这些元素是相同的（无序）时，解题的思想与方法.例5小结 除序法可用于解决被排列元素中有一组或一组

21、以上的元素是无 序的（无差别）或定序的（排列顺序事先指定）问题.例6 有10个数学竞赛名额要分配给7个学校，每校至少分给一个名额， 有多少种不同的名额分配方法？解法一 若每校各分一个名额后、还有三个名额待分配，可分将名额分给 “三校”、“两校” “一校”三类情况计算分配总数：N =+软；+C； =84.解法二（挡板法）设想将名额排成一列，则每两个相邻名额之间可形成共9 个空隙，在9个空隙中选6个空隙插入“挡板”，将名额分割成7段，则第一、 二、七段名额数可视为分别分给第一、二、七所学校的名额数不同的分配方 法为=84.教学过程设计：估计有些同学可以正确地按解法解题，但独立寻找到解法二很困难，所

22、以可 在充分讨论与解法一相类似的各种正、误解法后将名额数增加（如增到20个）， 使分类的办法显得很繁，再引入解法二.若有学生已经预习可提出解法二，则可 直接令学生比较两种解法的难易程度.例6小结：挡板法可使用于解决待分配的元素无差别且每个位置至少分配一个元素的 问题中.四、课堂小结在解决排列组合应用问题时先确定问题的类型.考虑是否可用特法解决问题.若无法用特殊办法解题，可考虑分别从两组元素入手结合两个原理的解 题方法（特位或特元法），或是利用排除法解题.应注意比较不同分析角度所得的 解题过程的难易程度.每种解题方法皆有其适用范围及易错点，应在使用中不断注意分析归纳， 以加深对每种方法的认识.能

23、力训练在1000和9999之间由四个不同数字组成且个位数字和千位数字的差的 TOC o 1-5 h z 绝对值为2,则这样的自然数的个数为A. 896B. 840 C. 128D. 448 用0, 1, 2, 3, 4, 5可以组成比400小的自然数的个数是A. 80 B. 90 C. 142 D. 143八个人站成一排，其中A, B两人要排在一起，且C要站在D的左边（可不相邻），则不同的排队方法种数为A. 2520 B. 5040C. 720 D. 10080集合A= 1, 2, 3, 4,集合B= 1, 5, 7定义以A为定义域，B为值域的函数，则不同的函数个数为A.81B.72C.36

24、D.18由0, 1, 2, 3, 4, 5组成2不在百位，0不在个位的无重复数字的三位数，则不同的三位数的个数为A.64 B.60 C.84 D.80从0, 1, 2, 3, 4, 5, 6中选出三个不同的数作为二次函数y=ax2+bx+c的系数a, b, c,其中ab,这样可以得到的不同的二次函数的个数为A.90 B.105C.210 D.35以0, 1, 2, 3, 4中的数作为直线方程Ax+By=0中的系数A, B,则可以表示的不同的直线条数为A.12 B.13C.14D.15八人排队，站成前后两排，前后各四人且甲不在第一排，乙不在第二排，则不同的排队方法种数为A.720 B.2880C.11520D.576直线x=0, y=0将圆x2+y2=1分成四个区域，用5种不同的颜色给这四个区域涂色，有公共边的区域颜色互异，每块区域只涂一种颜色，则不同的涂色 办法种数为A.260 B.200 C.250D.190一条铁路原有m个车站，为适应客运需要新增加n个车站（n1），则客运车票增加58种（从甲站到乙站和从乙站到甲站需要两种不同的车票），则原有 的车站