(新高考)高考数学一轮复习课时练习9.4《直线与圆、圆与圆的位置关系》(含解析)

1、第4讲直线与圆、圆与圆的位置关系最新考纲考向预测1.能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断圆与圆的位置关系.2.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题.3.初步了解用代数方法处理几何问题的思想.命题趋势考查直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系的判断；根据位置关系求参数的范围、最值、几何量的大小等题型主要以选择题、填空题为主，要求相对较低，但内容很重要，有时也会在解答题中出现.核心素养直观想象、数学建模1直线与圆的位置关系设直线l：AxByC0(A2B20)，圆：(xa)2(yb)2r2(r0)，d为圆心(a，b)到直线l的距离，联立直线和圆的方程，消元后得到的

2、一元二次方程的判别式为.方法位置关系几何法代数法相交d0相切dr0相离dr0)，圆O2：(xa2)2(yb2)2req oal(2,2)(r20)方法位置关系几何法：圆心距d与r1，r2的关系代数法：两圆方程联立组成方程组的解的情况外离dr1r2无解外切dr1r2一组实数解相交|r1r2|dr1r2两组不同的实数解内切d|r1r2|(r1r2)一组实数解内含0d|r1r2|(r1r2)无解常用结论1圆的切线方程常用结论(1)过圆x2y2r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0 xy0yr2.(2)过圆(xa)2(yb)2r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0a)(xa)(y0b

3、)(yb)r2.(3)过圆x2y2r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0 xy0yr2.2两圆相交时公共弦所在直线的方程设圆C1：x2y2D1xE1yF10，圆C2：x2y2D2xE2yF20，若两圆相交，则有一条公共弦，其公共弦所在直线方程由所得，即：(D1D2)x(E1E2)y(F1F2)0.3直线与圆相交时，弦心距d，半径r，弦长的一半eq f(1,2)l满足关系式r2d2eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)l)eq sup12(2).常见误区1求圆的切线方程时，易忽视切线斜率k不存在的情形2对于圆与圆的位置关系，从交点的个数，也就是方程组

4、的解的个数来判断，不一定能得到确切的结论如当0时，需要再根据图形判断两圆是外离，还是内含；当0时，还需要判断两圆是外切，还是内切1判断正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)若直线与圆组成的方程组有解，则直线与圆相交或相切()(2)若两个圆的方程组成的方程组无解，则这两个圆的位置关系为外切()(3)联立两相交圆的方程，并消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在的直线方程()答案：(1)(2)(3)2直线yx1与圆x2y21的位置关系为()A相切 B相交但直线不过圆心C直线过圆心 D相离解析：选B.圆心为(0，0)，到直线yx1即xy10的距离deq f(1,r(2)eq f(r(2),

5、2)，而0eq f(r(2),2)1，但是圆心不在直线yx1上，所以直线与圆相交，但直线不过圆心3圆(x2)2y24与圆(x2)2(y1)29的位置关系为()A内切 B相交C外切 D外离解析：选B.两圆圆心分别为(2，0)，(2，1)，半径分别为2和3，圆心距deq r(421)eq r(17).因为32d0)相交于A，B两点若|AB|6，则r的值为_解析：依题意得，圆心(0，0)到直线xeq r(3)y80的距离deq f(8,2)4，因此r2d2(eq f(|AB|,2)225，又r0，所以r5.答案：55(易错题)已知圆C：x2y29，过点P(3，1)作圆C的切线，则切线方程为_解析：由

6、题意知P在圆外，当切线斜率不存在时，切线方程为x3，满足题意；当切线斜率存在时，设斜率为k，所以切线方程为y1k(x3)，所以kxy13k0，所以eq f(|k0013k|,r(k2（1）2)3，所以keq f(4,3)，所以切线方程为4x3y150.综上，切线方程为x3或4x3y150.答案：x3或4x3y150直线与圆的位置关系题组练透1已知点M(a，b)在圆O：x2y21外， 则直线axby1与圆O的位置关系是()A相切 B相交 C相离 D不确定解析：选B.因为M(a，b)在圆O：x2y21外，所以a2b21，从而圆心O到直线axby1的距离deq f(|a0b01|,r(a2b2)eq

7、 f(1,r(a2b2)1，所以直线与圆相交2(2021南充市第一次适应性考试)若过点A(4，0)的直线l与圆(x2)2y21有公共点，则直线l的斜率的取值范围是()A(eq r(3)，eq r(3) Beq r(3)，eq r(3)C.eq blc(rc)(avs4alco1(f(r(3),3)，f(r(3),3) D.eq blcrc(avs4alco1(f(r(3),3)，f(r(3),3)解析：选D.方法一：设直线l的方程为yk(x4)，联立得eq blc(avs4alco1(（x2）2y21，,yk（x4），)则(x2)2k2(x4)21，得(k21)x2(8k24)x16k230，

8、根据题意知(8k24)24(k21)(16k23)0eq f(r(3),3)keq f(r(3),3).方法二：设直线l的方程为yk(x4)，直线l与圆有公共点，则圆心(2，0)到直线l：kxy4k0的距离deq f(|2k04k|,r(k21)eq f(|2k|,r(k21)14k2k213k21eq f(r(3),3)keq f(r(3),3).3圆(x3)2(y3)29上到直线3x4y110的距离等于1的点的个数为()A1 B2C3 D4解析：选C.如图所示，因为圆心到直线的距离为eq f(|91211|,5)2，又因为圆的半径为3，所以直线与圆相交，故圆上到直线的距离为1的点有3个eq

9、 avs4al()判断直线与圆的位置关系的方法(1)几何法：由圆心到直线的距离d与半径r的大小关系来判断(2)代数法：联立直线与圆的方程，消元后得到关于x(或y)的一元二次方程，根据一元二次方程的解的个数(也就是方程组解的个数)来判断如果0，那么直线与圆相交 直线与圆的综合问题角度一圆的切线问题 (1)(2021山东济宁第一中学质量检测)过点P(1，2)的直线与圆x2y21相切，且与直线axy10垂直，则实数a的值为()A0 Beq f(4,3) C0或eq f(4,3) D.eq f(4,3)(2)(2020山东烟台一模)设P为直线3x4y40上的动点，PA，PB为圆C：(x2)2y21的两

10、条切线，A，B为切点，则四边形APBC面积的最小值为()A.eq r(3) B2eq r(3) C.eq r(5) D2eq r(5)【解析】(1)当a0时，直线axy10即直线y1，此时过点P(1，2)且与直线y1垂直的直线为x1，并且x1与圆相切，满足题意，所以a0成立当a0时，过点P(1，2)且与直线axy10垂直的直线斜率为eq f(1,a)，则直线方程为y2eq f(1,a)(x1)，即xay2a10，再根据直线与圆相切，即圆心到直线的距离为1可得eq f(|2a1|,r(a21)1，解得aeq f(4,3).故选C.(2)如图所示圆C：(x2)2y21的圆心为C(2，0)，半径为1

11、，PAPB，则S四边形APBC2eq f(1,2)PBCB，又因为PCB为直角三角形，所以PBeq r(PC2CB2)eq r(PC21)，因此S四边形APBCeq r(PC21)，要使四边形APBC的面积最小，则PC最小，当CP垂直于直线3x4y40时，CP取最小值，即点C到直线3x4y40的距离，|PC|mineq f(|32404|,5)2，故四边形APBC面积的最小值为eq r(221)eq r(3).故选A.【答案】(1)C(2)Aeq avs4al()圆的切线方程的求法(1)几何法：设切线方程为yy0k(xx0)，利用点到直线的距离公式表示出圆心到切线的距离d，然后令dr，进而求出

12、k；(2)代数法：设切线方程为yy0k(xx0)，与圆的方程组成方程组，消元后得到一个一元二次方程，然后令判别式0进而求得k.注意求过某点的圆的切线问题时，应首先确定点与圆的位置关系，然后求切线方程若点在圆上(即为切点)，则过该点的切线只有一条；若点在圆外，则过该点的切线有两条(若通过上述方法只求出一个k，则说明另一条切线的斜率一定不存在，此时另一条切线的方程为xx0) 角度二圆的弦长问题 (1)(2020高考全国卷)已知圆x2y26x0，过点(1，2)的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为()A1 B2C3 D4(2)(2020豫西南五校3月联考)已知圆C：(x2)2y24，直线l1：yeq

13、 r(3)x，l2：ykx1，若l1，l2被圆C所截得的弦的长度之比为12，则k的值为()A.eq r(3) B1 C.eq f(1,2) D.eq f(r(3),3)【解析】(1)将圆的方程x2y26x0化为标准方程(x3)2y29，设圆心为C，则C(3，0)，半径r3.设点(1，2)为点A，过点A(1，2)的直线为l，因为(13)2220)截直线xy0所得线段的长度是2eq r(2)，则圆M与圆N：(x1)2(y1)21的位置关系是()A内切 B相交 C外切 D相离【解析】(1)两圆方程相减，得直线MN的方程为x2y40，圆x2y22x80的标准形式为(x1)2y29，所以圆x2y22x8

14、0的圆心为(1，0)，半径为3，圆心(1，0)到直线MN的距离deq f(3,r(5)，所以线段MN的长为2eq r(32blc(rc)(avs4alco1(f(3,r(5)sup12(2)eq f(12r(5),5).故选D.(2)由题意得圆M的标准方程为x2(ya)2a2，圆心(0，a)到直线xy0的距离deq f(a,r(2)，所以2eq r(a2f(a2,2)2eq r(2)，解得a2.圆M与圆N的圆心距|MN|eq r(2)，小于两圆的半径之和3，大于两圆的半径之差1，故两圆相交故选B.【答案】(1)D(2)Beq avs4al()圆与圆的位置关系的判断方法(1)几何法：由两圆的圆心

15、距d与半径R，r(Rr)的关系来判断dRr外离；dRr外切；RrdRr相交；dRr内切；dRr内含(2)代数法：设圆C1：x2y2D1xE1yF10，圆C2：x2y2D2xE2yF20.对于方程组eq blc(avs4alco1(x2y2D1xE1yF10，,x2y2D2xE2yF20，)如果该方程组没有实数解，那么两圆相离；如果该方程组有两组相同的实数解，那么两圆相切；如果该方程组有两组不同的实数解，那么两圆相交注意判断圆与圆的位置关系时，一般不用代数法，因为利用代数法不能判断内切与外切，内含与外离；利用几何法的关键是判断圆心距|C1C2|与Rr，Rr的关系 1已知圆C1：x2y22mx4y

16、m250与圆C2：x2y22x2mym230，若圆C1与圆C2相外切，则实数m_解析：对于圆C1与圆C2的方程，配方得圆C1：(xm)2(y2)29，圆C2：(x1)2(ym)24，则圆C1的圆心C1(m，2)，半径r13，圆C2的圆心C2(1，m)，半径r22.因为圆C1与圆C2相外切，所以|C1C2|r1r2，即eq r(（m1）2（m2）2)5，m23m100，解得m5或m2.答案：5或22在平面直角坐标系xOy中，已知圆C过点A(0，8)，且与圆x2y26x6y0相切于原点，则圆C的方程为_解析：将已知圆化为标准式得(x3)2(y3)218，圆心为(3，3)，半径为3eq r(2).由

17、于两个圆相切于原点，连心线过切点，故圆C的圆心在直线yx上由于圆C过点(0，0)，(0，8)，所以圆心又在直线y4上联立yx和y4，得圆心C的坐标(4，4)又因为点(4，4)到原点的距离为4eq r(2)，所以圆C的方程为(x4)2(y4)232，即x2y28x8y0.答案：x2y28x8y0A级基础练1若直线xy10与圆(xa)2y22有公共点，则实数a的取值范围是()A3，1 B1，3C3，1 D(，31，)解析：选C.由题意可得，圆的圆心为(a，0)，半径为eq r(2)，所以eq f(|a01|,r(12（1）2)eq r(2)，即|a1|2，解得3a1.2圆x24xy20与圆x2y2

18、4x30的公切线共有()A1条 B2条 C3条 D4条解析：选D.圆x24xy20，即(x2)2y24，其圆心坐标为(2，0)，半径为2；圆x2y24x30，即(x2)2y21，其圆心坐标为(2，0)，半径为1，则两圆的圆心距为4，两圆半径和为3，因为43，所以两圆的位置关系是外离，故两圆的公切线共有4条，故选D.3(多选)已知直线x2ya0与圆O：x2y22相交于A，B两点(O为坐标原点)，且AOB为等腰直角三角形，则实数a的值为()Aeq r(6) Beq r(5) C.eq r(6) D.eq r(5)解析：选BD.因为直线x2ya0与圆O：x2y22相交于A，B两点(O为坐标原点)，且

19、AOB为等腰直角三角形，所以O到直线AB的距离为1，由点到直线的距离公式可得eq f(|a|,r(12（2）2)1，所以aeq r(5).4在平面直角坐标系xOy中，以点(0，1)为圆心且与直线xby2b10相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为()Ax2(y1)24 Bx2(y1)22Cx2(y1)28 Dx2(y1)216解析：选B.直线xby2b10过定点P(1，2)，如图所以圆与直线xby2b10相切于点P时，以点(0，1)为圆心的圆的半径最大，此时半径r为eq r(2)，此时圆的标准方程为x2(y1)22.故选B.5(2020宁夏银川一中一模)与3x4y0垂直，且与圆(x1)2y2

20、4相切的一条直线是()A4x3y6 B4x3y6C4x3y6 D4x3y6解析：选B.设与直线3x4y0垂直的直线方程为l：4x3ym0(mR)，直线l与圆(x1)2y24相切，则圆心(1，0)到直线l的距离为半径2，即eq f(|4m|,5)2，所以m6或m14，所以4x3y60或4x3y140，结合选项可知B正确，故选B.6圆x2y24x0在点P(1，eq r(3)处的切线方程为_解析：圆的方程为(x2)2y24，圆心坐标为(2，0)，半径为2，点P在圆上，设切线方程为yeq r(3)k(x1)，即kxykeq r(3)0，所以eq f(|2kkr(3)|,r(k21)2，解得keq f(

21、r(3),3).所以切线方程为yeq r(3)eq f(r(3),3)(x1)，即xeq r(3)y20.答案：xeq r(3)y207已知直线l：xay10(aR)是圆C：x2y24x2y10的对称轴过点A(4，a)作圆C的一条切线，切点为B，则|AB|_解析：由于直线xay10是圆C：x2y24x2y10的对称轴，所以圆心C(2，1)在直线xay10上，所以2a10，所以a1，所以A(4，1)所以|AC|236440.又r2，所以|AB|240436.所以|AB|6.答案：68(2020武昌区高三调研)过动点M作圆C：(x2)2(y2)21的切线，N为切点若|MN|MO|(O为坐标原点)，

22、则|MN|的最小值为_解析：设M(x，y)，因为|MN|MO|，所以(x2)2(y2)21x2y2，整理得4x4y70，即动点M在直线4x4y70上，所以|MN|的最小值就是|MO|的最小值，为eq f(7,r(4242)eq f(7r(2),8).答案：eq f(7r(2),8)9已知圆C：x2y28y120，直线l：axy2a0.(1)当a为何值时，直线l与圆C相切；(2)当直线l与圆C相交于A，B两点，且|AB|2eq r(2)时，求直线l的方程解：(1)根据题意，圆C：x2y28y120，则圆C的标准方程为x2(y4)24，其圆心为(0，4)，半径r2，若直线l与圆C相切，则有eq f

23、(|42a|,r(1a2)2，解得aeq f(3,4).(2)设圆心C到直线l的距离为d，则eq blc(rc)(avs4alco1(f(|AB|,2)eq sup12(2)d2r2，即2d24，解得deq r(2)，则有deq f(|42a|,r(1a2)eq r(2)，解得a1或7，则直线l的方程为xy20或7xy140.10圆O1的方程为x2(y1)24，圆O2的圆心坐标为(2，1)(1)若圆O1与圆O2外切，求圆O2的方程；(2)若圆O1与圆O2相交于A，B两点，且|AB|2eq r(2)，求圆O2的方程解：(1)因为圆O1的方程为x2(y1)24，所以圆心O1(0，1)，半径r12.

24、设圆O2的半径为r2，由两圆外切知|O1O2|r1r2.又|O1O2|eq r(（20）2（11）2)2eq r(2)，所以r2|O1O2|r12eq r(2)2.所以圆O2的方程为(x2)2(y1)2128eq r(2).(2)设圆O2的方程为(x2)2(y1)2req oal(2,2)，.又圆O1的方程为x2(y1)24，得AB所在的直线方程为4x4yreq oal(2,2)80.设线段AB的中点为H，因为r12，所以|O1H|eq r(req oal(2,1)|AH|2)eq r(2).又|O1H|eq f(|404（1）req oal(2,2)8|,r(4242)eq f(|req o

25、al(2,2)12|,4r(2)，所以eq f(|req oal(2,2)12|,4r(2)eq r(2)，解得req oal(2,2)4或req oal(2,2)20.所以圆O2的方程为(x2)2(y1)24或(x2)2(y1)220.B级综合练11(多选)(2020海南海口调研)设有一组圆Ck：(xk1)2(y2k)21，下列说法正确的是()A这组圆的半径均为1B直线2xy20平分所有的圆CkC存在无穷多条直线l被所有的圆Ck截得的弦长相等D存在一个圆Ck与x轴与y轴均相切解析：选ABC.对于选项A：由圆Ck的方程可知，这组圆的半径均为1，故A正确；对于选项B：圆Ck的圆心坐标为(k1，2

26、k)，因为2(k1)2k20，所以直线2xy20过圆Ck的圆心，故B正确；对于选项C：由B知，直线2xy20平分所有的圆Ck，所以存在无数条与直线2xy20平行或重合的直线(与直线2xy20的距离小于1)被所有的圆Ck截得的弦长相等，故C正确；对于选项D：若圆Ck与x轴和y轴均相切，则eq blc(avs4alco1(|k1|1，,|2k|1，)无解，故D错误故选ABC.12(2020四川五校联考)过直线xy0上一点P作圆(x1)2(y5)22的两条切线l1，l2，A，B为切点，当直线l1，l2关于直线xy0对称时，APB()A30 B45 C60 D90解析：选C.如图，设圆(x1)2(y5

27、)22的圆心为C(1，5)，则点C不在直线yx上，要满足l1，l2关于直线yx对称，则PC必然垂直于直线yx，所以kPC1，则lPC：y5x1，即yx6，与yx联立，得P(3，3)所以|PC|eq r(（13）2（53）2)2eq r(2)，设APC，则APB2，sin eq f(|AC|,|PC|)eq f(r(2),2r(2)eq f(1,2)，故30，所以APB260.故选C.13已知点P(2，2)，圆C：x2y28y0，过点P的动直线l与圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点(1)求M的轨迹方程；(2)当|OP|OM|时，求l的方程及POM的面积解：(1)圆C的方程可化为

28、x2(y4)216，所以圆心为C(0，4)，半径为4.设M(x，y)，则eq o(CM,sup6()(x，y4)，eq o(MP,sup6()(2x，2y)由题设知eq o(CM,sup6()eq o(MP,sup6()0，故x(2x)(y4)(2y)0，即(x1)2(y3)22.由于点P在圆C的内部，所以M的轨迹方程是(x1)2(y3)22.(2)由(1)可知M的轨迹是以点N(1，3)为圆心，eq r(2)为半径的圆由于|OP|OM|，故O在线段PM的垂直平分线上，又P在圆N上，从而ONPM.因为ON的斜率为3，所以l的斜率为eq f(1,3)，故l的方程为x3y80.又|OM|OP|2eq

29、 r(2)，O到l的距离为eq f(4r(10),5)，所以|PM|eq f(4r(10),5)，SPOMeq f(1,2)eq f(4r(10),5)eq f(4r(10),5)eq f(16,5)，故POM的面积为eq f(16,5).14已知圆C经过(2，4)，(1，3)两点，圆心C在直线xy10上，过点A(0，1)且斜率为k的直线l与圆C相交于M，N两点(1)求圆C的方程；(2)请问eq o(AM,sup6()eq o(AN,sup6()是否为定值，若是，求出该定值，若不是，请说明理由；若eq o(OM,sup6()eq o(ON,sup6()12(O为坐标原点)，求直线l的方程解：(

30、1)设圆C的方程为(xa)2(yb)2r2，依题意，得eq blc(avs4alco1(（2a）2（4b）2r2，,（1a）2（3b）2r2，,ab10，)解得eq blc(avs4alco1(a2，,b3，,r1，)所以圆C的方程为(x2)2(y3)21.(2)eq o(AM,sup6()eq o(AN,sup6()为定值过点A(0，1)作直线AT与圆C相切，切点为T，易得|AT|27，所以eq o(AM,sup6()eq o(AN,sup6()|eq o(AM,sup6()|eq o(AN,sup6()|cos 0|AT|27.所以eq o(AM,sup6()eq o(AN,sup6()为定值，且定值为7.依题意可知，直线l的方程为ykx1，设M(x