(新高考)高考数学一轮复习课时练习5.5《函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及三角函数模型的简单应用》(含解析)

1、第5讲函数yAsin(x)的图象及三角函数模型的简单应用最新考纲考向预测1.了解函数yAsin(x)的物理意义；能画出yAsin(x)的图象，了解参数A，对函数图象变化的影响.2.了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会利用三角函数模型解决一些简单的实际问题.命题趋势yAsin(x)的图象、图象变换以及由图象求解析式，尤其是yAsin(x)的图象与性质的综合应用是考查的热点，题型多以选择题为主，难度中等.核心素养直观想象、数学建模1yAsin(x)的有关概念yAsin(x)(A0，0)，x0，)表示一个振动量时振幅周期频率相位初相初相ATeq f(2,)feq f(1,T)eq f(,

2、2)x2.用五点法画yAsin(x)一个周期内的简图用五点法画yAsin(x)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示：xeq f(,)eq f(,2)eq f(,)eq f(,)eq f(3,2)eq f(,)eq f(2,)x0eq f(,2)eq f(3,2)2yAsin(x)0A0A03.三角函数图象变换的两种方法(0)常用结论(1)对称中心与零点相联系，对称轴与最值点相联系yAsin(x)的图象有无数条对称轴，可由方程xkeq f(,2)(kZ)解出；它还有无数个对称中心，即图象与x轴的交点，可由xk(kZ)解出(2)相邻两条对称轴间的距离为eq f(T,2)，相邻两对称中心间

3、的距离也为eq f(T,2)，函数的对称轴一定经过图象的最高点或最低点常见误区(1)函数yAsin(x)k图象平移的规律：“左加右减，上加下减”(2)由ysin x到ysin(x)(0，0)的变换：向左平移eq f(,)个单位长度而非个单位长度1判断正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)把ysin x的图象上各点的横坐标缩短为原来的eq f(1,2)，纵坐标不变，所得图象对应的函数解析式为ysin eq f(1,2)x.()(2)将ysin 2x的图象向右平移eq f(,3)个单位长度，得到ysineq blc(rc)(avs4alco1(2xf(,3)的图象()(3)函数f(x)Asin(

4、x)(A0)的最大值为A，最小值为A.()(4)如果yAcos(x)的最小正周期为T，那么函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为eq f(T,2).()(5)若函数yAsin(x)为偶函数，则2keq f(,2)(kZ)()答案：(1)(2)(3)(4)(5)2为了得到y3coseq blc(rc)(avs4alco1(3xf(,8)的图象，只需把y3coseq blc(rc)(avs4alco1(xf(,8)图象上的所有点的()A纵坐标伸长到原来的3倍，横坐标不变B横坐标伸长到原来的3倍，纵坐标不变C纵坐标缩短到原来的eq f(1,3)，横坐标不变D横坐标缩短到原来的eq f(1,3)，纵坐

5、标不变解析：选D.因为变换前后，两个函数的初相相同，所以只需把y3coseq blc(rc)(avs4alco1(xf(,8)图象上的所有点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的eq f(1,3)，即可得到函数y3coseq blc(rc)(avs4alco1(3xf(,8)的图象3(易错题)要得到函数ysineq blc(rc)(avs4alco1(4xf(,3)的图象，只需将函数ysin 4x的图象()A向左平移eq f(,12)个单位长度B向右平移eq f(,12)个单位长度C向左平移eq f(,3)个单位长度 D向右平移eq f(,3)个单位长度解析：选A.因为ysineq blc(rc)(

6、avs4alco1(4xf(,3)sineq blcrc(avs4alco1(4blc(rc)(avs4alco1(xf(,12)，所以要得到函数ysineq blc(rc)(avs4alco1(4xf(,3)的图象，只需将函数ysin 4x的图象向左平移eq f(,12)个单位长度4若将函数y2sin 2x的图象向左平移eq f(,12)个单位长度，则得到的图象对应的函数表达式为f(x)_解析：函数y2sin 2x的图象向左平移eq f(,12)个单位长度，得到的图象对应的函数表达式为f(x)2sin eq blcrc(avs4alco1(2blc(rc)(avs4alco1(xf(,12)

7、2sineq blc(rc)(avs4alco1(2xf(,6).答案：2sineq blc(rc)(avs4alco1(2xf(,6)5已知函数f(x)2sin(x)eq blc(rc)(avs4alco1(0，|f(,2)的部分图象如图所示，则f(x)_解析：设f(x)的最小正周期为T，根据题图可知，eq f(T,2)eq f(,2)，所以T，故2，根据2sineq blc(rc)(avs4alco1(2f(,12)0(增区间上的零点)可知，eq f(,6)2k，kZ，即2keq f(,6)，kZ，又|eq f(,2)，故eq f(,6).所以f(x)2sineq blc(rc)(avs4

8、alco1(2xf(,6).答案：2sineq blc(rc)(avs4alco1(2xf(,6)五点法作图及图象变换 已知函数f(x)eq r(3)sin 2x2cos2xa，其最大值为2.(1)求a的值及f(x)的最小正周期；(2)画出f(x)在0，上的图象【解】(1)f(x)eq r(3)sin 2x2cos2xaeq r(3)sin 2xcos 2x1a2sineq blc(rc)(avs4alco1(2xf(,6)1a的最大值为2，所以a1，最小正周期Teq f(2,2).(2)由(1)知f(x)2sineq blc(rc)(avs4alco1(2xf(,6)，列表：x0eq f(,

9、6)eq f(5,12)eq f(2,3)eq f(11,12)2xeq f(,6)eq f(,6)eq f(,2)eq f(3,2)2eq f(13,6)f(x)2sineq blc(rc)(avs4alco1(2xf(,6)120201画图如下【引申探究】1(变问法)若将本例中函数f(x)的图象向左平移eq f(,3)个单位长度，把所有点的横坐标伸长到原来的二倍(纵坐标不变)，得到函数g(x)的图象，则g(x)_解析：f(x)的图象向左平移eq f(,3)个单位长度后得y2sineq blcrc(avs4alco1(2blc(rc)(avs4alco1(xf(,3)f(,6)2sineq

10、blc(rc)(avs4alco1(2xf(5,6)的图象，再把所有点的横坐标伸长到原来的二倍(纵坐标不变)得g(x)2sineq blc(rc)(avs4alco1(xf(5,6)的图象，即g(x)2sineq blc(rc)(avs4alco1(xf(5,6).答案：2sineq blc(rc)(avs4alco1(xf(5,6)2(变问法)在本例条件下，函数y2cos 2x的图象向右平移_个单位得到yf(x)的图象解析：将函数y2cos 2x的图象向右平移eq f(,4)个单位长度，可得函数y2sin 2x的图象，再将y2sin 2x的图象向左平移eq f(,12)个单位长度，可得函数y

11、2sin(2xeq f(,6)的图象，综上可得，函数y2sineq blc(rc)(avs4alco1(2xf(,6)的图象可以由函数y2cos 2x的图象向右平移eq f(,6)个单位长度得到答案：eq f(,6)eq avs4al()函数yAsin(x)(A0，0)的图象的两种作法五点法设zx，由z取0，eq f(,2)，eq f(3,2)，2来求出相应的x，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象图象变换法由函数ysin x的图象通过变换得到yAsin(x)的图象，有两种主要途径“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”注意平移变换和伸缩变换都是针对x而言，即x本身加减多少值，而不是x加减多少

12、值 1函数yeq r(2)sineq blc(rc)(avs4alco1(2xf(,4)的图象向左平移个单位长度，得到的函数是偶函数，则的最小正值是()A.eq f(,8)B.eq f(3,8)C.eq f(,2) D.eq f(3,4)解析：选A.函数yeq r(2)sineq blc(rc)(avs4alco1(2xf(,4)向左平移个单位长度可得yeq r(2)sineq blc(rc)(avs4alco1(2x2f(,4)，因为yeq r(2)sineq blc(rc)(avs4alco1(2x2f(,4)是偶函数，所以2eq f(,4)eq f(,2)k，kZ，eq f(k,2)eq

13、 f(,8)，kZ，由k0可得的最小正值是eq f(,8).2(多选)分别对函数ysin x的图象进行如下变换：先向左平移eq f(,6)个单位长度，然后将其上各点的横坐标缩短到原来的eq f(1,2)倍，得到yf(x)的图象；先将其上各点的横坐标缩短到原来的eq f(1,2)倍，然后向左平移eq f(,6)个单位长度，得到yg(x)的图象则以下结论正确的是()Af(x)与g(x)的图象重合B.eq blc(rc)(avs4alco1(f(5,12)，0)为f(x)图象的一个对称中心C直线xeq f(5,12)为函数g(x)图象的一条对称轴Df(x)的图象向左平移eq f(,12)个单位长度可

14、得g(x)的图象解析：选BCD.将ysin x的图象向左平移eq f(,6)个单位长度得到ysineq blc(rc)(avs4alco1(xf(,6)的图象，再将ysineq blc(rc)(avs4alco1(xf(,6)的图象上各点的横坐标缩短到原来的eq f(1,2)倍，得到f(x)sineq blc(rc)(avs4alco1(2xf(,6)的图象；将ysin x的图象上各点的横坐标缩短到原来的eq f(1,2)倍，得到ysin 2x的图象，再将其图象向左平移eq f(,6)个单位长度，得到g(x)sineq blcrc(avs4alco1(2blc(rc)(avs4alco1(xf

15、(,6)sineq blc(rc)(avs4alco1(2xf(,3)的图象故选项A不正确令2xeq f(,6)k(kZ)，得xeq f(k,2)eq f(,12)(kZ)，令k1，则可知选项B正确；令2xeq f(,3)keq f(,2)(kZ)，得xeq f(k,2)eq f(,12)(kZ)，令k1，则可知选项C正确又g(x)sineq blc(rc)(avs4alco1(2xf(,3)sineq blcrc(avs4alco1(2blc(rc)(avs4alco1(xf(,12)f(,6)feq blc(rc)(avs4alco1(xf(,12)，所以f(x)的图象向左平移eq f(,

16、12)个单位长度可得g(x)的图象，故选项D正确，故选BCD.求yAsin(x)的解析式 (多选)(2020新高考卷)如图是函数ysin(x)的部分图象，则sin(x)()Asineq blc(rc)(avs4alco1(xf(,3) Bsineq blc(rc)(avs4alco1(f(,3)2x)Ccoseq blc(rc)(avs4alco1(2xf(,6) Dcoseq blc(rc)(avs4alco1(f(5,6)2x)【解析】由题图可知，函数的最小正周期T2eq blc(rc)(avs4alco1(f(2,3)f(,6)，所以eq f(2,|)，2.当2时，ysin(2x)，将点

17、eq blc(rc)(avs4alco1(f(,6)，0)代入得，sineq blc(rc)(avs4alco1(2f(,6)0，所以2eq f(,6)2k，kZ，即2keq f(2,3)，kZ，故ysineq blc(rc)(avs4alco1(2xf(2,3).由于ysineq blc(rc)(avs4alco1(2xf(2,3)sin(2xeq f(2,3)sineq blc(rc)(avs4alco1(f(,3)2x)，故选项B正确；ysin(eq f(,3)2x)cos eq blcrc(avs4alco1(f(,2)blc(rc)(avs4alco1(f(,3)2x)coseq b

18、lc(rc)(avs4alco1(2xf(,6)，选项C正确；对于选项A，当xeq f(,6)时，sineq blc(rc)(avs4alco1(f(,6)f(,3)10，错误；对于选项D，当xeq f(f(,6)f(2,3),2)eq f(5,12)时，coseq blc(rc)(avs4alco1(f(5,6)2f(5,12)11，错误当2时，ysin(2x)，将eq blc(rc)(avs4alco1(f(,6)，0)代入，得sin(2eq f(,6)0，结合函数图象，知2eq f(,6)2k，kZ，得eq f(4,3)2k，kZ，所以ysineq blc(rc)(avs4alco1(2

19、xf(4,3)，但当x0时，ysin(2xeq f(4,3)eq f(r(3),2)0，与图象不符合，舍去综上，选BC.【答案】BCeq avs4al()确定yAsin(x)b(A0，0)的步骤和方法(1)求A，b，确定函数的最大值M和最小值m，则Aeq f(Mm,2)，beq f(Mm,2).(2)求，确定函数的最小正周期T，则可得eq f(2,T).(3)求，常用的方法有：代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A，b已知)或代入图象与直线yb的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)；特殊点法：确定值时，往往以寻找“最值点”为突破口具体如下：“最大值点”(即图象的“峰点”)时

20、x eq f(,2)2k(kZ)；“最小值点”(即图象的“谷点”)时xeq f(3,2)2k(kZ) 1已知函数f(x)Asin(x)eq blc(rc)(avs4alco1(A0，0，f(,2)f(,2)的最小正周期是，且当xeq f(,6)时，f(x)取得最大值2，则f(x)_解析：因为函数f(x)的最小正周期是，所以2.又因为xeq f(,6)时，f(x)取得最大值2.所以A2，同时2eq f(,6)2keq f(,2)，kZ，2keq f(,6)，kZ，因为eq f(,2)0，0，0)为奇函数，该函数的部分图象如图所示，EFG(点G是图象的最高点)是边长为2的等边三角形，则f(1)_解

21、析：由题意得，Aeq r(3)，T4eq f(2,)，eq f(,2).又因为f(x)Acos(x)为奇函数，所以eq f(,2)k，kZ，由0，取k0，则eq f(,2)，所以f(x)eq r(3)coseq blc(rc)(avs4alco1(f(,2)xf(,2)，所以f(1)eq r(3).答案：eq r(3)函数yAsin(x)图象与性质的综合应用角度一三角函数模型的应用 如图，某大风车的半径为2米，每12秒旋转一周，它的最低点O离地面1米，点O在地面上的射影为A.风车圆周上一点M从最低点O开始，逆时针方向旋转40秒后到达P点，则点P到地面的距离是_米【解析】以圆心O1为原点，以水平

22、方向为x轴方向，以竖直方向为y轴方向建立平面直角坐标系，因为大风车的半径为2米，圆上最低点O离地面1米，12秒旋转一周，设OO1P，运动t秒后与地面的距离为f(t)，又周期T12，所以eq f(t,12)2eq f(,6)t，f(t)32sineq blc(rc)(avs4alco1(f(,2)32cos eq f(,6)t(t0)，当t40时，f(t)32coseq blc(rc)(avs4alco1(f(,6)40)4(米)【答案】4eq avs4al()三角函数模型在实际应用中体现的两个方面(1)已知函数模型，利用三角函数的有关性质解决问题，其关键是准确理解自变量的意义及自变量与因变量之

23、间的对应法则；(2)需要建立精确的或者数据拟合的模型去解决问题，尤其是利用已知数据建立拟合函数解决实际问题，此类问题体现了数学建模核心素养，考查应用意识 角度二方程根(函数零点)问题 函数yeq r(3)sin 2xcos 2xm在eq blc(rc)(avs4alco1(f(,2)，)上有两个不同的零点，则m的取值范围是_【解】函数yeq r(3)sin 2xcos 2xm在eq blc(rc)(avs4alco1(f(,2)，)上有两个不同的零点，转化为mcos 2xeq r(3)sin 2x2sineq blc(rc)(avs4alco1(2xf(,6)，在xeq blc(rc)(avs

24、4alco1(f(,2)，)上有两个不同的实数根设2xeq f(,6)t，则teq blc(rc)(avs4alco1(f(7,6)，f(13,6)，所以题目条件可转化为eq f(m,2)sin t，在teq blc(rc)(avs4alco1(f(7,6)，f(13,6)上有两个不同的实数根所以yeq f(m,2)和ysin t，teq blc(rc)(avs4alco1(f(7,6)，f(13,6)的图象有两个不同交点，如图：由图象观察知，eq f(m,2)的取值范围是eq blc(rc)(avs4alco1(1，f(1,2)，故m的取值范围是(2，1)【答案】(2，1)eq avs4al

25、()三角函数的零点(方程根)个数问题可转化为两个函数图象的交点问题 角度三三角函数图象与性质的综合问题 (多选)将函数f(x)2sineq blc(rc)(avs4alco1(2xf(,6)1的图象向左平移eq f(,6)个单位长度得到函数g(x)的图象，则下列说法正确的是()A函数g(x)的最小正周期是B函数g(x)的图象关于直线xeq f(,2)对称C函数g(x)在eq blc(rc)(avs4alco1(f(,6)，f(,2)上单调递减D函数g(x)在eq blc(rc)(avs4alco1(0，f(,6)上的最大值是1【解析】依题意得g(x)2sineq blcrc(avs4alco1

26、(2blc(rc)(avs4alco1(xf(,6)f(,6)12sineq blc(rc)(avs4alco1(2xf(,6)1，函数g(x)的最小正周期Teq f(2,2)，因此选项A正确；当xeq f(,12)时，函数ysineq blc(rc)(avs4alco1(2xf(,6)没有取得最值，因此函数g(x)的图象不关于直线xeq f(,12)对称，故选项B不正确；当xeq blc(rc)(avs4alco1(f(,6)，f(,2)时，2xeq f(,6)eq blc(rc)(avs4alco1(f(,2)，f(7,6)eq blc(rc)(avs4alco1(f(,2)，f(3,2)

27、，此时函数g(x)单调递减，故选项C正确；当xeq blc(rc)(avs4alco1(0，f(,6)时，2xeq f(,6)eq blc(rc)(avs4alco1(f(,6)，f(,2)，sineq blc(rc)(avs4alco1(2xf(,6)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)，1)，因此此时函数g(x)没有最大值，选项D不正确故选AC.【答案】ACeq avs4al()先将yf(x)化为yAsin(x)B的形式，再借助yAsin(x)的图象和性质(如定义域、值域、最值、周期性、对称性、单调性等)解决相关问题 (多选)已知函数f(x)sineq blc(rc)(a

28、vs4alco1(2xf(,6)，则下列四个命题中正确的是()Af(x)的最小正周期是Bf(x)eq f(1,2)是xeq f(,2)的充分不必要条件C函数f(x)在区间eq blc(rc)(avs4alco1(f(,3)，f(5,6)上单调递增D函数y|f(x)|的图象向左平移eq f(,12)个单位长度后所得图象的对称轴方程为xeq f(k,4)(kZ)解析：选AD.对于A，由最小正周期Teq f(2,2)知A正确；对于B，由f(x)eq f(1,2)得2xeq f(,6)2keq f(,6)或2xeq f(,6)2keq f(5,6)(kZ)，即xkeq f(,6)或xkeq f(,2)

29、(kZ)，可知f(x)eq f(1,2)是xeq f(,2)的必要不充分条件，B不正确；对于C，由eq f(,3)xeq f(5,6)得eq f(,2)2xeq f(,6)0)的图象的相邻两支截直线y2所得线段长为eq f(,2)，则feq blc(rc)(avs4alco1(f(,6)的值是()Aeq r(3)Beq f(r(3),3)C1 Deq r(3)解析：选D.由题意可知该函数的周期为eq f(,2)，所以eq f(,)eq f(,2)，2，f(x)tan 2x，所以feq blc(rc)(avs4alco1(f(,6)taneq f(,3)eq r(3).3(2020高考天津卷)已

30、知函数f(x)sin(xeq f(,3)给出下列结论：f(x)的最小正周期为2；f(eq f(,2)是f(x)的最大值；把函数ysin x的图象上所有点向左平移eq f(,3)个单位长度，可得到函数yf(x)的图象其中所有正确结论的序号是()A BC D解析：选B.f(x)sin(xeq f(,3)的最小正周期为2，正确；sineq f(,2)1f(eq f(,6)为f(x)的最大值，错误；将ysin x的图象上所有点向左平移eq f(,3)个单位长度得到f(x)sin(xeq f(,3)的图象，正确故选B.4(多选)(2020山东百师联盟测试)已知函数f(x)eq r(3)sin2xsin

31、xcos xeq f(r(3),2)，则下列说法正确的是()A函数f(x)的值域为1，1B函数f(x)的图象可由ysin 2x的图象向右平移eq f(,3)个单位得到C函数f(x)在eq blcrc(avs4alco1(f(,6)，f(,3)上单调递减D点eq blc(rc)(avs4alco1(f(2,3)，0)是函数f(x)的一个对称中心解析：选AD.f(x)sin xcos xeq f(r(3),2)(2sin2x1)eq f(1,2)sin 2xeq f(r(3),2)cos 2xsineq blc(rc)(avs4alco1(2xf(,3)，易知A，D均正确，对于B选项，ysin 2

32、x的图象应向右平移eq f(,6)个单位，得到f(x)的图象，因此B选项不正确；对于C选项，当eq f(,6)xeq f(,3)时，eq f(2,3)2xeq f(,3)eq f(,3)，所以函数f(x)在eq blcrc(avs4alco1(f(,6)，f(,12)上单调递减，在eq blcrc(avs4alco1(f(,12)，f(,3)上单调递增，因此C选项不正确5(多选)如图是函数f(x)Asin(x)(0，0eq f(,2)的部分图象，将函数f(x)的图象向右平移eq f(,8)个单位长度得到函数yg(x)的图象，则下列命题正确的是()Ayg(x)是奇函数B函数g(x)的图象的对称轴

33、是直线xkeq f(,4)(kZ)C函数g(x)的图象的对称中心是eq blc(rc)(avs4alco1(f(k,4)，0)(kZ)D函数g(x)的单调递减区间为eq blcrc(avs4alco1(kf(,4)，kf(3,4)(kZ)解析：选AD.依题意可得A2，eq f(T,4)eq f(,8)eq f(,8)eq f(,4)，故T，Teq f(2,)，解得2.feq blc(rc)(avs4alco1(f(,8)2sin2eq blc(rc)(avs4alco1(f(,8)2sineq blc(rc)(avs4alco1(f(,4)0，因为0eq f(,2)，所以eq f(,4)，故f

34、(x)2sineq blc(rc)(avs4alco1(2xf(,4).将函数f(x)2sineq blc(rc)(avs4alco1(2xf(,4)的图象向右平移eq f(,8)个单位长度得到函数yg(x)2sin 2x的图象，函数g(x)2sin 2x是奇函数，故A对；函数g(x)的图象的对称轴是直线xeq f(k,2)eq f(,4)(kZ)，故B不对；函数g(x)的图象的对称中心是eq blc(rc)(avs4alco1(f(k,2)，0)(kZ)，故C不对；函数g(x)2sin 2x的单调递减区间为eq blcrc(avs4alco1(kf(,4)，kf(3,4)(kZ)，故D对选AD.6将函数ysin x的图象上所有的点向右平移eq f(,10)个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式是_解析：ysin xeq o(,sup17(向右平移eq f(,10)个单位长度)ysineq blc(rc)(avs4alco1(xf(,10)eq o(,sup7(横坐标伸长到),sdo5(原来的2倍（纵坐标不变）)ysineq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)xf(,1