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文档简介
1、PAGE PAGE 4割补转化法求几何体的体积“割形”与“补形”是解决立体几何问题的常用方法之一,通过“割”或“补”可化复杂图形为已熟知的简单几何体,从而较快地找到解决问题的突破口,1、斜棱柱割补成直棱柱; 2、三棱柱补成平行六面体; 3、三棱锥补成四棱锥或三棱柱或平行六面体; 4、多面体切割成锥体特别是三棱锥。ABABCPED方法5:如图,选取BC的中点D, 连结AD、PD,则BCAD且BCPD BC平面APDVPABCVBAPDVCAPDSAPDD1DAD1DABB1CC1AB1C1D1而截得的,且BB1=DD1.已知截面AB1C1D底面ABCD成30的二面角,AB=1,则这个多面体的体积
2、为( )ABCD例3一个四面体的所有棱长都为,四个顶点在同一球面上,则此球的表面积为( )BACD(A) (B)4 (C) (D) BACD分析:本题中没有立方体,可充分挖掘是正四面体特点补形成立方体.如图,将正四面体ABCD补成立方体,则正四面体、立方体的中心与其外接球的球心共一点.因为正四面体的棱长为,所以正方体棱长为1,从而外接球半径R=,得.选(A).例4、如图:直三棱柱ABCA1B1C1的体积为V,点P、Q棱AA1和CC1上,AP=C1Q,则四棱锥BAPQC的体积为A、 B、 C、 D、例5.棱长为1的正方体容器ABCDA1B1C1D1 , 在A1B、A1B1、B1C1的中点E、F、
3、G处各开有一个小孔. 若此容器可以任意放置, 则装水最多的容积是(小孔面积对容积的影响忽略不计 例6、在正三棱柱ABCA1B1C1中,高为3,底面边长为2,D、E分别是AC、BC的中点,求四棱锥AA1B1ED解:连A1E,则SSABC, 故3223例7如图,在四面体ABCD中,截面AEF经过四面体的内切球(与四个面都相切的球)球心O,且与BC,DC分别截于E、F,如果截面将四面体分成体积相等的两部分,设四棱锥ABEFD与三棱锥AEFC的表面积分别是S1,S2,则必有( )AS1S2 BS1S2CS1=S2 DS1,S2的大小关系不能确定解:连OA、OB、OC、OD,则VABEFDVOABDVO
4、ABEVOBEFD,VAEFCVOADCVOAECVOEFC又VABEFDVAEFC,而每个三棱锥的高都是原四面体的内切球的半径,故SABDSABESBEFDSADCSAECSEFC又面AEF公共,故选C例8如图,三棱柱ABCA1B1C1中,若E、F分别为AB、AC 的中点,平面EB1C1将三棱柱分成体积为V1、V2的两部分,那么V1V2= _ 解:设三棱柱的高为h,上下底的面积为S,体积为V,则V=V1+V2Sh。E、F分别为AB、AC的中点,SAEF=S,V1=h(S+S+)=Sh,V2=Sh-V1=Sh,V1V2=75。例9在平行六面体ABCDA1B1C1D1中,已知AB=5,AD=4,AA1=3,ABAD,A1AB=A1AD=,这个平行六面体的体积为_ _。正四面体ABCD的棱长为a,球O是内切球,球O1是与正四面体的三个面和球O都相切的一个小球,求球O1的体积。(2)如图,设球O半径为R,球O1
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