复变函数论课件：7-1 解析变换的特性

1、 第七章 共形映射 1解析变换的特性 2分式线性变换 3某些初等函数所构成的共形映射 4关于共形映射的黎曼存在定理和边界对应定理7.1 解析变换的特性(共形映射)7.1.1 解析变换的保域性7.1.2 解析变换的保角性7.1.3 解析变换的保形性 定理7.1 (保域定理)设w=f(z)在区域D内解析且不恒为常数,则D的象G=f(D)也是一个区域.证 首先证明G的每一点都是内点.设w0G,则有一点z0D,使w0=f(z0).要证w0是G的内点,只须证明w*与w0充分接近时,w*亦属于G,即当w*与w0充分接近时,方程w*=f(z)在D内有解.为此,考察 f(z)-w*=(f(z)-w0)+(w0

2、-w*,)由解析函数零点的孤立性,必有以z0为心的某个圆C:|z-z0|=R,显然 f(z0)-w0=0,使得f(z)-w0在C上及C的内部(除z0外)C及C的内部全含于D,均不为零.因而在C上:7.1.1解析变换的保域性内的点w*及在C上的点z有因此根据儒歇定理6.10,在C的内部与f(z)-w0有相同零点的个数.于是w*=f(z)在D内有解.由于D是区域,可在D内部取一条联结z1,z2的折线C:z=z(t) t1tt2,z(t1)=z1,z(t2)=z2.于是：就是联结w1,w2的并且完全含于D的一条曲线.从而,参照柯西积分定理的古莎证明第三步,可以找到对在邻域其次,要证明G中任意两点w1

3、=f(z1),w2=f(z2)均可以用一条完全含于G的折线联结起来.一条连接w1,w2,内接于 且完全含于G的折线1证: 因f(z)在区域D内单叶,必f(z)在D内不恒为常数.总结以上两点,即知G=f(D)是区域.定理7.2 设w=f(z)在区域D内单叶解析,则D的象G=f(D)也是一个区域.注 定理7.1可以推广成这样的形式:“w=f(z)在扩充z平面的区域D内除可能有极点外处处解析,且不恒为常数,则D的象G=f(D)为扩充z平面上的区域.证: 因f(z)在区域D内单叶,必f(z)在D内不恒为常数.定理7.2 设w=f(z)在区域D内单叶解析,则D的象G=f(D)也是一个区域. 结合定理7.

4、2,合本定理条件的解析变换w=f(z)将z0的一个充分小的邻域内变成w0=f(z0)的一个曲边邻域. 定理7.3 设函数w=f(z)在点z0解析,且f (z0)0,则f(z)在z0的一个邻域内单叶解析.7.1.2 解析变换的保角导数的几何意义设w=f(z)于区域D内解析,z0D,在点z0有导数通过z0任意引一条有向光滑曲线C:z=z(t)(t0tt1),z0=z(t0).因此C在z0有切线,就是切向量,经变换w=f(z) 的参数方程应为 则且必存在它的倾角为Cx0yzw=f(z)uv0wz0w0C之象曲线Cx0yzz0z0+z图7.1由定理7.3及第三章习题(一)13, 在点w0=w(t0)的

5、邻域内w=f(z)是光滑的.又由于故 在w0=f(z0)也有, uv0ww0w0+w设其倾角为，则且就是切向量,切线(7.2)说明:象点间无穷小距离与原象点间的如果我们假定x轴与u轴,y轴与v轴的正方向相同,而且将原曲线切线的正方向与变换后象曲线的切线正方向间的夹角,理解为原曲线经过变换后的旋转角,则：(7.1)说明:象曲线 在点w0=f(z0)的切线正向,可由原曲线C在点z0的切线正向旋转一个角度argf(z0)得出：argf(z0)仅与z0有关,而与经过Z0的曲线C的选择无关,称为变换w=f(z)在点z0的旋转角导数辐 角的几何意义.无穷小距离之比的极限是R=|f(z0)|,它仅与z0有关

6、,而与过z0的曲线C之方向无关,称为变换w=f(z)在点z0的伸缩率.这也就是导数模的几何意义. 上面提到的旋转角与C的选择无关的这个性质,称为旋转角不变性;伸缩率与C的方向无关这个性质,称为伸缩率不变性. 从几何意义上看:如果忽略高阶无穷小,伸缩率不变性就表示w=f(z)将z=z0处无穷小的圆5变成w=w0处的无穷小的圆,其半径之比为|f(z)|. 上面的讨论说明:解析函数在导数不为零的地方具有旋转角不变性与伸缩率不变性.解反之放大.经点z0的两条有向曲线C1,C2的切线方向所构成的角称为两曲线在该点的夹角. 定义7.1 若函数w=f(z)在点z0的邻域内有定义,且在点z0具有: (1)伸缩

7、率不变性; (2)过z0的任意两曲线的 夹角在变换w=f(z)下,又保持方向;则称函数w=f(z)在点z0是保角的.或称w=f(z)在点z0是保角变换.如果w=f(z)在区域D内处处都是保角的,则称w=f(z)在区域D内是保角的,或称w=f(z)在区域D内是保角变换. 定理7.4 如w=f(z)在区域 D内解析,则它在导数不为零的点处是保角的. 推论7.5 如w=f(z)在区域D内单叶解析,则称w=f(z)在区域D内是保角的.(由定理6.11,在D内f(z)0.) 7.1.3 解析变换的保形性 定义7.2 如果w=f(z)在区域D内是单叶且保角的,则称此变换w=f(z)在D内是保形的,也称它为

8、D内的保形变换. 定理7.6 设w=f(z)在 区域D内单叶解析.则 (1)w=f(z)将D保形变换成区域G=f(D). (2)反函数 在区域G内单叶解析,且证 (1)由推论7.2G是区域,由推论7.5及定义7.2,w=f(z)将D保形变换成G. (2)由定理6.11,f(z0)0(z0D),又因w=f(z)是D到G的单叶满变换,因而是D到G的一一变换.于是,当ww0时,zz0,即反函数在区域D内单叶.故 证 (1)由推论7.2G是区域,由推论7.5及定义7.2,w=f(z)将D保形变换成G. (2)由定理6.11,f(z0)0(z0D),又因w=f(z)是D到G的单叶满变换,因而是D到G的一一变换.于是,当ww0时,zz0,即反函数 在区域D内单叶.故由假设f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在区域D内解