第三章教案两条直线的交点坐标两点间的距离

1、文档编码 : CR8D1B7M1U9 HR3R10P5H5R9 ZQ9A10U2D2Z5两条直线的交点坐标、两点间的距离一、新知学习A两条直线的交点坐标已知直线 l 1 : A x B y C 1 0,l 2 : A x B y C 2 0结论 1 假如两条直线 1l 和 2l 相交,由于交点同时在这两条直线上,交点的坐标确定是方程组A x B y C 1 0, 的解A x B y C 2 0结论 2 反之,假如这两个二元一次方程只有一组公共解,那么以这组解为坐标的点必是直线1l 和 2l 的交点结论 3 用代数方法求两条直线的交点坐标,只需写出这两条直线的方程,然后联立求解B一般式条件下两直

2、线相交、重合、平行与垂直的条件设直线l 1:A xB yC 10,l2:A xB yC20,就有A 1B1A2,B20结论 1 直线1l 、2l 相交的条件为A B 2A B 10或A 1B 1A B20A 2B 2结论 2 直线1l 、2l 重合的充要条件为A B 2A B 10,或A B 2A B 10,或B C2B C 10,A C2A C 10,A 1B 1C1A B C20A 2B 2C2结论 3 直线1l 、2l 平行的充要条件为A B 2A B 10,或A B2A B 10,或B C2B C 10A C2A C 10.A 1B 1C1A B C20A 2B 2C2结论 4 直线1

3、l、2l垂直的充要条件为A A 2B B 20结论 1、2、3 的证明：将两条直线方程联立,得方程组A xB yC 10,A xB yC 20.消去 y ,整理得AB2A B 1xBC2B C 1将方程组消去x ,整理得AB2A B1yAC2A C 1就（）直线1l ,2l 相交当且仅当方程组有唯独解,当且仅当方程或方程有唯独解,当且仅当AB2A B 10或A2B2（ ）直线1l,2l 重合当且仅当方程组有无穷多解,当且仅当方程或方程有无穷多解,当且仅当A B 12A B 210, 0或B C2B C1A B 2A B 10,或A 1B 1C1A 2,B 2,C 20A B2A B 10,或A

4、 B 2A B 10,或AC 12A C 2 10,CA 2B 22（）直线1l,2l 平行当且仅当方程组无解,当且仅当方程与方程同时无解,当且仅当BC2B C 10A C 2A C 10,A 1B 1C 1A B 2,C 20A 2B2C 2（）此情形不能用方程组争辩,需利用直线的方向向量或法向量争辩分别取直线1l,2l 的方向向量aB 1,A 1 ,bB2,A 2,就直线1l,2l 垂直当且仅当a bB B 12A 1A2A A 1 2B B 1 20C斜截式条件下两直线的相交、重合、平行与垂直的条件设两条直线l1:yk xb ,l2:yk xb ,倾斜角分别是|1,2,就1l 、k 1k

5、 或12 结论 1直线2l 相交的充要条件为k 1=k2,或1=2,结论 2直线1l 、2l 重合的充要条件为b 1b 2b 1b2 .90 结论 3直线1l 、2l 平行的充要条件为k 1=k2,或1=2,b 1b 2b 1b 2 .结论 4直线1l 、2l 垂直的充要条件为k k21或|12D两点间的距离公式条件：点P x 1,y 1,P x2,y 2|x2y （2）当PP 2x 轴时,|PP2|y 2y 结论：|PP 2|x 2x 12 y 2y 12特例：（1）点P x y 到原点 O 的距离 |OP（ 3）当PP 2y 轴时,|PP 2|x2x 二、学问迁移A概念懂得1判定题：l:A

6、xByC0上,就点 A 的坐标确定适合直线l 的方程（ 1）如点A a b 在直线（ 2）如两直线相交,就交点坐标确定是两直线方程所组成的二元一次方程组的解（ 3）当 A , B 两点的连线与坐标轴平行或垂直时,两点间的距离公式不适用结果：（ 1）正确（2）正确（3）错误2口答：|0上一点,就 bb（ 1）如点A 1, b 是直线 2x3y1（ 2）如直线 2xy10与直线xy40的交点为 , a b ,就 a（ 3）点M 3,4到坐标原点的距离OM|结果：（ 1）1 （2）4（3） 53摸索：（ 1）如两直线的方程组成的二元一次方程组有解,就两直线是否相交于一点？（ 2）如两条直线中有一条斜

7、率存在,另一条斜率不存在,就这两条直线相交吗？结果：（ 1）不愿定两条直线是否相交,取决于联立两直线方程所得方程组是否有唯独解如方程组有无穷多解,就两直线重合（2）相交由于两直线仅有三种位置关系：平行、相交、重合,而此处一条线率存在,另一条不存在,明显不能平行或重合,故一定相交4写出中意以下条件的直线的点斜式方程：（ 1）以下直线中,与直线x3y40相交的直线为1x4D 2x3yAx3y0By1x12Cy33（ 2）如直线xya0与 x 轴相交于点M 的横坐标为3,就 a结果：（ 1）D（2） 35摸索：当A , B 两点在坐标轴上时,利用两点间的距离公式求|AB 仍适用吗？解：适用由于两点间

8、的距离公式适用于平面内任意两点6（1）求以下两点间的距离：（）A 2,5,B 2, 5（）A 3,4,B2,1（）A 0,0,B 3,4|1|BC|（ 2）已知ABC是直角三角形, 斜边 BC 的中点为 M ,建立适当的坐标系, 证明|AM2B与两条直线交点有关的问题例（1）如直线yx2k1与直线y1x2的交点位于第一象限,就实数k 的取值范畴2是A6k2B1k0C5k1Dk16222（ 2）过l1:3x5y100和l2:xy10的交点,且平行于l3:x2y50的直线方程为（ 3）求经过点 2,3 且经过l1:x3y40与l2: 5x2y60的交点的直线方程解：（1）C（2）x2y210（3）

9、联立x3y40,得x2,所以1l,2l的交点为 2,2由两点式可得：所求直线方程为85x2y60,y2.y3x2,即x4y100l 1:x2y40和l2:xy20的交点 P ,且与直线l3:3x4y50垂2322变式求经过两直线直的直线 l 的方程解：解方程组x2y40,得两直线交点P0,2,由于直线3l 的斜率为3,所以直线 l 的斜率为4xy2043所以直线 l 的方程为y24x0,即 4x3y603C距离公式应用例（1）已知点 M x , 4 与点 N 2,3 间的距离为 7 2 ,就 x 的值为（ 2）已知点 ,5 关于点 1, y 的对称点为 2, 3 ,就点 P x y 到原点 O

10、 的距离为（ 3）已知 A 3,4,B 2, 3,在 x 轴上找一点 P ,使 | PA | | PB ,并求 | PA 的值解：（1）9 或 5 （ 2）17 （3）设点 P 的坐标为 ,0,就有 | PA | x 3 20 4 2x 26 x 25,| PB | x 2 20 3 2x 24 x 7由 | PA | | PB 得 x 26 x 25 x 24 x 7,解得 x 9即所求点 P 的坐标为 9 ,0 且 | PA | 9 3 20 4 2 2 1095 5 5 5变式 1 已知 A 3,4,B 2,3,在 y 轴上找一点 P ,使 | PA | | PB ,并求 | PA 的值

11、解：设点 P 的坐标为 0, ,就有 | PA | 3 2 y 4 2y 28 y 25,| PB | 2 2 y 3 2y 26 y 13由| PA | | PB 得 y 2 8 y 25 y 2 6 y 13,解得 y 6即所求点 P 的坐标为 0,6 且 | PA | 3 2 6 4 2 13变式 2 在平面直角坐标系中,已知ABC 的三个顶点为 A 1,4,B 4,0,C 3,1,试判定三角形的形状且|解：由两点间距离公式得,|AB|1424025,|BC|4320125 2,|AC|1324125所以 |AB| |AC ,AB2 |AC2 |BC|2,故三角形为等腰直角三角形D由直线

12、的位置关系求参数值或范畴例（1）已知直线l 1: 2xm1y40与直线l2:mx3y20（）如1l2l,求m的值（）如l1l ,求 m 的值（ 2）结果：（ 1）（）（ ）（2）（）m3或m2（）m35变式（1）如（ 2）已知直线l 1:ax3y130,直线l2:x a2ya0（）如l1l ,求实数 a 的值（）1l 2l ,求实数 a 的值a（ ）a3结果：（ 1）（）（ ）（2）（）2E解析法证明平面几何问题例|（1）ABC中, D 是 BC 边上的任意一点（D与B,C不重合）,且AB2 |AD2 |BD| |DC 求证：ABC为等腰三角形ByyADCODCxAOBx得（ 2）已知等腰梯形

13、ABCD 中, AB CD ,试建立适当的直角坐标系,证明：|AC| |BD 证明：（ 1）作 AOBC ,垂足为 O ,以 BC 边所在直线为x 轴, OA 所在直线为y 轴,建立平面直角坐标系设A 0,h ,B b ,0,C c ,0,D d ,0已知|AB|2|AD| 2|BD| |DC ,就由两点间距离公式得b2h2d2h 2db cd,化简 db bddb cd 由于点 D 与 B , C 不重合,所以db0,于是bdcd ,即bc 所以 |OB| |OC ,于是 |AB| |AC ,即ABC为等腰三角形（2）以下底 AB 所在直线为x 轴,以 AB 的中点为坐标原点建立平面直角坐标

14、系设A a ,0,C b c , ,由等腰梯形的性质可知：B a ,0,Db c ,就|AC|ba 2c02ab 2c2,|BD|ab20c2ab 22 c,所以 |BD| |AC 变式 1 ABD和BCE是在直线 AC 同侧的两个等边三角形,用解析法证明：|AE| |CD 解：以 B 为坐标原点,取AC 所在的直线为x 轴,以垂直于AC 且经过 B 点的直线为y 轴,建立平面直角坐标系设ABD和BCE的边长分别为a 和 c ,就A a,0,Ec,3 c,C c ,0,Da,3a,就|AC2222|AE|ca23 c02a2ac2 c,|CD|ac23 a022 aacc2,所以|AE| |CD 2222变式 2 证明平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和证明：如图,以顶点A 为坐标原点,AB 所在直线为 x 轴,建立直角坐标系,有A 0,0设B a ,0,D b c ,由平行四边形的性质的点C 的坐