中考数学平行四边形(大题培优)及答案

1、一、平行四边形真题与模拟题分类汇编(难题易错题)1.已知，在矩形ABCD中，AB=a,BC=b，动点M从点A出发沿边AD向点D运动.如图1,当b=2a，点M运动到边AD的中点时，请证明/BMC=90；如图2,当b2a时，点M在运动的过程中，是否存在/BMC=90，若存在，请给与证明；若不存在，请说明理由；如图3,当bV2a时，(2)中的结论是否仍然成立？请说明理由.【答案】(1)见解析；存在，理由见解析;不成立.理由如下见解析.【解析】试题分析：(1)由b=2a，点M是AD的中点，可得AB=AM=MD=DC=a，又由四边形ABCD是矩形，即可求得/AMB=ZDMC=45,则可求得/BMC=90

2、；由/BMC=90,易证得ABM-DMC，设AM=x,根据相似三角形的对应边成比例，即可得方程：X2-bx+a2=0,由b2a,a0,b0,即可判定厶0,即可确定方程有两个不相等的实数根，且两根均大于零，符合题意；由(2)，当bV2a,a0,b0,判定方程x2-bx+a2=0的根的情况，即可求得答案.试题解析：(1)Tb=2a，点M是AD的中点，AB=AM=MD=DC=a,又在矩形ABCD中，ZA=ZD=90,ZAMB=ZDMC=45,.ZBMC=90.(2)存在，理由：若ZBMC=90,则ZAMB+ZDMC=90,又:ZAMB+ZABM=90,.ZABM=ZDMC，又:ZA=ZD=90,AB

3、M-DMC,.AM_ABCD一DM，xa设AM=x，则一_,ab一x整理得：X2-bx+a2=0,vb2a,a0,b0.二=b2-4a20,方程有两个不相等的实数根，且两根均大于零，符合题意，当b2a时，存在ZBMC=90,(3)不成立理由：若/BMC=90,由(2)可知x2-bx+a2=0，vbV2a,a0,b0,=b2-4a20,方程没有实数根,当bV2a时，不存在/BMC=90,即(2)中的结论不成立.考点：1、相似三角形的判定与性质；2、根的判别式；3、矩形的性质2.如图，在正方形ABCD中，E是边BC上的一动点(不与点B、C重合)，连接DE、点C关于直线DE的对称点为U,连接AC并延

4、长交直线DE于点P,F是AC的中点，连接DF.求/FDP的度数；连接BP,请用等式表示AP、BP、DP三条线段之间的数量关系，并证明；连接AC,若正方形的边长为2，请直接写出ACC的面积最大值.【答案】(1)45；(2)BP+DP=、迈AP,证明详见解析；(3)-1.【解析】【分析】1证明上CDE=ZCDE和上ADF=ZCDF,可得上FDP=-乙ADC=45；作辅助线，构建全等三角形，证明BAPDAP(SAS)，得BP=DP,从而得PAP是等腰直角三角形,可得结论；先作高线CG,确定ACC的面积中底边AC为定值2,根据高的大小确定面积的大小，当C在BD上时，CG最大，其AACC的面积最大，并求

5、此时的面积.【详解】(1)由对称得：CD=CD,ZCDE=ZCDE,在正方形ABCD中,AD=CD,ZADC=90,AD=CD,TF是AC的中点，DF丄AC,ZADF=ZCDF,1.ZFDP=ZFDC+ZEDC=ZADC=45；2(2)结论：BP+DP=迈AP,理由是：如图，作AP1AP交PD的延长线于PZPAP=90,在正方形ABCD中，DA=BA,ZBAD=90,.ZDAP=ZBAP,由(1)可知：ZFDP=45TZDFP=90.ZAPD=45,.ZP=45,.AP=AP,在厶BAP和厶DAP中，BA=DAt/BAP=ADAP,AP=APBAPDAP(SAS),.BP=DP，.DP+BP=

6、PP=迈AP；1(3)如图，过C作CG丄AC于G,则沐ACC=2ACCG,RtAABC中，AB=BC=迈,二AC=弋(2)2+(2)2二2，即AC为定值，当CG最大值，ACC的面积最大，连接BD,交AC于0,当C1在BD上时，CG最大，此时G与0重合，,厂1CD=CD=：2，0D=-AC=1,二CG=込-1，11_二二ACC=-ACCG=-x2(迈-1)=迈-1.【点睛】本题考查四边形综合题、正方形的性质、等腰直角三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题3.如图，ABCD是正方形，点G是BC上的任意一点，DE丄AG于E，BFIID

7、E,交AG于F求证：AF=BF+EF.G【答案】详见解析.【解析】【分析】由四边形ABCD为正方形，可得出/BAD为90,AB=AD，进而得到/BAG与/EAD互余,又DE垂直于AG,得到/EAD与/ADE互余，根据同角的余角相等可得出/ADE=ZBAF,利用AAS可得出ABFDAE；利用全等三角的对应边相等可得出BF=AE，由AF-AE=EF,等量代换可得证.【详解】TABCD是正方形，AD=AB,ZBAD=90TDE丄AG,.ZDEG=ZAED=90.ZADE+ZDAE=90又TZBAF+ZDAE=ZBAD=90,.ZADE=ZBAFTBFIDE，ZAFB=ZDEG=ZAED.在厶ABF与

8、厶DAE中，rZAFB=/AED/ADE=/BAF,、AD=ABABF竺DAE（AAS）.BF=AE.TAF=AE+EF,.AF=BF+EF.点睛：此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，熟练掌握判定与性质是解本题的关键.4.如图，在ABC中，ZACB=90,ZCAB=30,以线段AB为边向外作等边厶ABD，点E是线段AB的中点，连接CE并延长交线段AD于点F.（1）求证：四边形BCFD为平行四边形；（2）若AB=6，求平行四边形ADBC的面积.【答案】（1）见解析；（2）S平行四边形C彳身彳.解析】分析】11(1)在RtAABC中，E为AB的中点，则CE=亍AB，B

9、E=3AB，得到ZBCE=ZEBC=60.由AEF竺BEC，得ZAFE=ZBCE=60.又ZD=60，得ZAFE=ZD=60度.所以FCIIBD,又因为ZBAD=ZABC=60，所以ADIIBC,即FD/BC，则四边形BCFD是平行四边形.（2）在RtAABC中，求出BC,AC即可解决问题；【详解】解：（1）证明：在厶ABC中，ZACB=90,ZCAB=30,.ZABC=60，在等边厶ABD中，ZBAD=60,ZBAD=ZABC=60,TE为AB的中点，.AE=BE,又：ZAEF=ZBEC,11.AEFBEC，在ABC中，ZACB=90,E为AB的中点，二CE=AB,BE=AB,22CE=AE

10、,ZEAC=ZECA=30,.ZBCE=ZEBC=60,又TAEF竺BEC,ZAFE=ZBCE=60,又TZD=60,.ZAFE=ZD=60,.FCIIBD,又:乙BAD=ZABC=60,ADIIBC,即FDIIBC,二四边形BCFD是平行四边形；解：在RfABC中，VZBAC=30，AB=6,BC=AF=3,AC=3爲，二S平行四边形bcfd=3x33=9爲,S“CF=2x3x人3=2,S平行四边形adbc2【点睛】本题考查平行四边形的判定和性质、直角三角形斜边中线定理、等边三角形的性质、解直角三角形、勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型.5.如图，在正方

11、形ABCD中，对角线AC与BD交于点0,在RtAPFE中，ZEPF=90，点E、F分别在边AD、AB上（1）如图1,若点P与点0重合：求证：AF=DE；若正方形的边长为2、巨，当ZD0E=15。时，求线段EF的长；（2）如图2,若RtAPFE的顶点P在线段0B上移动（不与点0、B重合），当BD=3BP时，证明：PE=2PF.Q(P)【答案】（1）证明见解析，2迈；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）根据正方形的性质和旋转的性质即可证得：A0思D0E根据全等三角形的性质证明；作0G丄AB于G,根据余弦的概念求出0F的长，根据勾股定理求值即可；（2）首先过点P作HP丄BD交AB于点H,根据相似

12、三角形的判定和性质求出PE与PF的数量关系.【详解】（1）证明：V四边形ABCD是正方形，OA=OD,ZOAF=ZODE=45,ZAOD=90,ZAOE+ZDOE=90,VZEPF=90,.ZA0F+ZA0E=90,.ZD0E=ZA0F,在厶AOF和厶DOE中,ZOAF=ZODEOA=ODZAOF=ZDOEAOF竺DOE,AF=DE；解：过点O作OG丄AB于G,T正方形的边长为2运,10G=2bc=,TZDOE=15,AOF竺DOE,ZAOF=15,.ZFOG=45-15=30，OGOF=2,cosZDOGEF=pOF2+OE2=2、；2；(2)证明：如图2,过点P作HP丄BD交AB于点H,團

13、2则厶HPB为等腰直角三角形，ZHPD=90,.HP=BP，TBD=3BP，.PD=2BP，.PD=2HP，又TZHPF+ZHPE=90，ZDPE+ZHPE=90，.ZHPF=ZDPE，又TZBHP=ZEDP=45,PHF-PDE,.PF_PH_1PEPD2，.PE=2PF【点睛】此题属于四边形的综合题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质以及勾股定理注意准确作出辅助线是解此题的关键6定义：我们把三角形被一边中线分成的两个三角形叫做“友好三角形”性质：如果两个三角形是“友好三角形”,那么这两个三角形的面积相等理解：如图，在ABC中，CD是AB边上的中线，那么ACD和

14、厶BCD是“友好三角形”，并且S“cd=SaBCD*应用：如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，点E在AD上，点F在BC上，AE=BF，AF与BE交于点0.（1）求证：A0B和厶A0E是“友好三角形”；（2）连接0。，若厶A0E和厶D0E是友好三角形”，求四边形CDOF的面积.探究：在厶ABC中，ZA=30，AB=4，点D在线段AB上，连接CD，ACD和厶BCD是“友好三角形”，将厶ACD沿CD所在直线翻折，得到AZCD，若厶AZCD与厶ABC重合部分的面1【答案】（1）见解析；（2）12；探究：2或2：.【解析】试题分析：（1）利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，得到四边形AB

15、FE是平行四边形，然后根据平行四边形的性质证得OE=OB,即可证得厶AOE和厶AOB是友好三角形；（2）AOE和厶DOE是友好三角形”，即可得到E是AD的中点，则可以求得ABE、ABF的面积，根据S=SaBCD-2S“Bf即可求解.探究：画出符合条件的两种情况：求出四边形ADCB是平行四边形，求出BC和AD推出ZACB=90,根据三角形面积公式求出即可；求出高CQ,求出ADC的面积.即可求出厶ABC的面积.试题解析：（1）T四边形ABCD是矩形，.ADIIBC，TAE=BF，四边形ABFE是平行四边形，OE=OB,AOE和厶AOB是友好三角形.(2)TAOE和厶DOE是友好三角形,1S“OE=

16、SADOE,AE=ED=D=3，AOB与厶AOE是友好三角形,SOB=SAAOE,/AOE竺FOB,S=S,AOEFOBS=S,AODABF=4x6-2加x4x3=12.=4x6-2加x4x3=12.四边形CDOF矩形ABCDABF探究：解：分为两种情况：如图1,解：分为两种情况：如图1,图1SACD=SaBCD1AD=BD=-AB,T沿CD折叠A和AD=BD=-AB,T沿CD折叠A和A重合,AD=AD=AB=x4=2,TAZCD与厶ABC重合部分的面积等于ABC面积的！,DOC=ABC=BDC=ADC=SADC?DO=OB,AO=CO,四边形A0CB是平行四边形,BC=AD=2,过B作BM丄

17、AC于M,AB=4,ZBAC=30,BM=AB=2=BC,即C和M重合,ZACB=90,由勾股定理得：AC=J-,11.ABC的面积是:，BCxAC=】x2x2：=2.-；如图2,Saacd=SaBCD1AD=BD=AB,T沿CD折叠A和A重合,11AD=AD=AB=x4=2,TACD与厶ABC重合部分的面积等于ABC面积的！,1111.doc=abc=abdc=aadc=_SaADC.DO=OA,BO=CO,.四边形ABDC是平行四边形,.AC=BD=2,过C作CQ丄AD于Q,TAC=2,ZDAC=ZBAC=30,.CQ=：Wc=1,11.1abc=2Saadc=2SaadcGxADxCQg

18、J2*2；即厶ABC的面积是2或2I考点：四边形综合题17.如图，抛物线；“交x轴的正半轴于点人，点B(,a)在抛物线上，点C是抛物线对称轴上的一点，连接AB、BC,以AB、BC为邻边作ABCD，记点C纵坐标为n,(1)求a的值及点A的坐标；当点D恰好落在抛物线上时，求n的值；记CD与抛物线的交点为E,连接AE,BE，当AEB的面积为7时，【解析】试题解析：(1)把点B的坐标代入抛物线的解析式中，即可求出a的值，令尸0即可求出点A的坐标.(2)求出点D的坐标即可求解；(3)运用AEB的面积为7,列式计算即可得解.a时，1121a时，试题解析：(1)当/时丄24(舍去)，由心得(舍去)，A(3,

19、0)(2)过D(2)过D作DG丄轴于G,BH丄轴于H.TCDIIAB,CD=AB8TCDIIAB,CD=AB如图，在等边三角形ABC中，点M为BC边上异于B、C的一点，以AM为边作等边三角形AMN,连接CN,NC与AB的位置关系为;（2）深入探究：如图，在等腰三角形ABC中，BA=BC，点M为BC边上异于B、C的一点，以AM为边作等腰三角形AMN,使/ABC=ZAMN，AM=MN，连接CN，试探究ZABC与/ACN的数量关系，并说明理由；（3）拓展延伸：如图，在正方形ADBC中，AD=AC，点M为BC边上异于B、C的一点,方形AMEF，点N为正方形AMEF的中点，连接CN,若BC=10，CN=

20、2,AADa以AM为边作正试求EF的长【答案】（1）NCIAB；理由见解析；（2）ZABC=ZACN；理由见解析；（以AM为边作正试求EF的长【解析】分析：（1）根据ABC,AMN为等边三角形，得到AB=AC,AM=AN且ZBAC=ZMAN=60从而得到ZBAC-ZCAM=ZMAN-ZCAM，即ZBAM=ZCAN,证明BAM竺CAN,即可得到BM=CN.（2）根据ABC,AMN为等腰三角形，得到AB：BC=1：1且ZABC=ZAMN,根据相似ABAC三角形的性质得到二，利用等腰三角形的性质得到ZBAC=ZMAN,根据相似三AMAN角形的性质即可得到结论；（3）如图3,连接AB,AN,根据正方形

21、的性质得到ZABC=ZBAC=45,ZMAN=45,根据BMAB相似三角形的性质得出二，得到BM=2,CM=8，再根据勾股定理即可得到答案.CNAC详解：（1）NCIIAB，理由如下:ABC与氐MN是等边三角形，AB=AC,AM=AN,ZBAC=ZMAN=60,ZBAM=ZCAN,在厶ABM与厶ACN中，AB=ACZBAM=/CAN,AM=AN.ABM竺ACN(SAS),.ZB=ZACN=60，TZANC+ZACN+ZCAN=ZANC+60+ZCAN=180,.ZANC+ZMAN+ZBAM=ZANC+60+ZCAN=ZBAN+ZANC=180.CNIIAB；ZABC=ZACN,理由如下：ABA

22、MT=1且ZABC=ZAMN,BCMN.ABCAMNABACAMAN,TAB=BC，1.ZBAC=(180-ZABC),2TAM=MN1.ZMAN=(180-ZAMN),2TZABC=ZAMN，.ZBAC=ZMAN，.ZBAM=ZCAN，ABMAACN,.ZABC=ZACN；如图3，连接AB，AN，T四边形ADBC，AMEF为正方形，.ZABC=ZBAC=45，ZMAN=45，.ZBAC-ZMAC=ZMAN-ZMAC即ZBAM=ZCAN,.AB=AM=汀BCANX,.AB=ACAMAN,ABMAACNBM=ABCNACCNBMCNBMACAB=cos45=:.BM=2,CM=BC-BM=8,在

23、RtAAMC,AM=、：AC2+MC2.102+82=2J4T，EF=AM=2J4T.点睛：本题是四边形综合题目,考查了正方形的性质、等边三角形的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的性质定理和判定定理、相似三角形的性质定理和判定定理等知识；本题综合性强,有一定难度,证明三角形全等和三角形相似是解决问题的关键.已知边长为1的正方形ABCD中，P是对角线AC上的一个动点（与点A、C不重合），过点P作PE丄PB，PE交射线DC于点E,过点E作EF丄AC,垂足为点F.（1）当点E落在线段CD上时（如图），求证：PB=PE；在点P的运动过程中，PF的长度是否发生变化？若不变，试求出这个不变的值，若变化，

24、试说明理由；（2）当点E落在线段DC的延长线上时，在备用图上画出符合要求的大致图形，并判断上述（1）中的结论是否仍然成立（只需写出结论，不需要证明）；（3）在点P的运动过程中，PEC能否为等腰三角形？如果能，试求出AP的长，如果不能，试说明理由.AD【答案】（1）证明见解析；点PP在运动过程中，PF的长度不变，值为亍；（2）画图见解析，成立；（3）能，1.【解析】分析：（1）过点P作PG丄BC于G,过点P作PH丄DC于H,如图1.要证PB=PE，只需证到PGBPHE即可；连接BD,如图2.易证BOPPFE,则有BO=PF,只需求出BO的长即可.（2）根据条件即可画出符合要求的图形,同理可得（1

25、）中的结论仍然成立.（3）可分点E在线段DC上和点E在线段DC的延长线上两种情况讨论，通过计算就可求出符合要求的AP的长.详解：（1）证明：过点P作PG丄BC于G,过点P作PH丄DC于H,如图1.T四边形ABCD是正方形，PG丄BC,PH丄DC,ZGPC=ZACB=ZACD=ZHPC=45.PG=PH,ZGPH=ZPGB=ZPHE=90.TPE丄PB即ZBPE=90,ZBPG=90-ZGPE=ZEPH.在厶PGB和厶PHE中，rZPGB=ZPHEPG=PH,ZBPG=ZEPHPGB竺PHE(ASA),.PB=PE.连接BD,如图2.T四边形ABCD是正方形，.ZBOP=90.TPE丄PB即ZB

26、PE=90,ZPBO=90-ZBPO=ZEPF.TEF丄PC即ZPFE=90,.ZBOP=ZPFE.在厶BOP和厶PFE中，BO=ZEPF90.若厶PEC为等腰三角形，则EP=EC.ZEPC=ZECP=45,.ZPEC=90，与ZPEC90。矛盾，当点E在线段DC上时，PEC不可能是等腰三角形.若厶PEC是等腰三角形，TZPCE=135,.CP=CE，.ZCPE=ZCEP=22.5.ZAPB=180-90-22.5=67.5.TZPRC=90+ZPBR=90+ZCER，.ZPBR=ZCER=22.5，.ZABP=67.5，.ZABP=ZAPB.AP=AB=1.AP的长为1.点睛：本题主要考查了

27、正方形的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、角平分线的性质、勾股定理、四边形的内角和定理、三角形的内角和定理及外角性质等知识，有一定的综合性，而通过添加辅助线证明三角形全等是解决本题的关键.（本题14分）小明在学习平行线相关知识时总结了如下结论：端点分别在两条平行线上的所有线段中，垂直于平行线的线段最短.小明应用这个结论进行了下列探索活动和问题解决.问题1：如图1,在RtAABC中，ZC=90，AC=4,BC=3，P为AC边上的一动点，以PB，PA为边构造APAPBQ,求对角线PQ的最小值及PQ最小时的值.在解决这个问题时，小明构造出了如图2的辅助线，则PQ的最小值为，当PQ最小时APAC=；小明对问题1做了简单的变式思考.如图3,P为AB边上的一动点，延长PA到点E,使AE=nPA(n为大于0的常数).以PE，PC为边作dPCQE,试求对角线PQ长的最小值，并求PQ最小AP时一的值；问题2：在四边形ABCD中,ADIIBC,AB丄BC,AD=1,AB=2,BC=3.(1)如图4,若为沐上任意一点，以为边作口皿1：；试求对角线小长的最小值AP和PQ最小时-二的值.(2)若为X上任意一点，延长到，使二久，再以为