中考数学复习锐角三角函数专项易错题含详细答案

1、8181一、锐角三角函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题）811.如图，在ABC中，AB=7.5,AC=9,SABC.动点P从A点出发，沿AB方向以每秒5个单位长度的速度向B点匀速运动，动点Q从C点同时出发，以相同的速度沿CA方向向A点匀速运动，当点P运动到B点时，P、Q两点同时停止运动，以PQ为边作正厶PQM（P、Q、M按逆时针排序），以QC为边在AC上方作正厶QCN，设点P运动时间为t秒.（1）求cosA的值；9（2）当厶PQM与厶QCN的面积满足沐PQM=5沐QCN时，求t的值；（3）当t为何值时，PQM的某个顶点（Q点除外）落在QCN的边上.AQcAQcTSTS“bc439”【答案】（

2、1）coaA=5;（2）当t=5时，满足沐PQM=5SaQCn；（3）当t=违尹s或27；严3s时，PQM的某个顶点（Q点除外）落在QCN的边上.26【解析】分析：（1）如图1中，作BE丄AC于E.利用三角形的面积公式求出BE,利用勾股定理求出AE即可解决问题；9（2）如图2中，作PH丄AC于H.利用沐PQM=5沐QCN构建方程即可解决问题；（3）分两种情形如图3中，当点M落在QN上时，作PH丄AC于H.如图4中，当点M在CQ上时，作PH丄AC于H.分别构建方程求解即可；详解：（1）如图1中，作BE丄AC于E.ACBE=7BE=92在RtAABE中，AE=Jab2-be2=6，TOC o 1-

3、5 h z HYPERLINK l bookmark14 o Current Document .AAE64coaA=AB755(2)如图2中，作PH丄AC于H.TPA=5t,PH=3t,AH=4t,HQ=AC-AH-CQ=9-9t,PQ2=PH2+HQ2=9t2+(9-9t)2，旦PQ2=9芒CQ2,4549t2+(9-9t)2=5x(5t)2,整理得：5t2-18t+9=0,3解得t=3(舍弃)或5.3当t3当t=5时，满足沐PQM95沐QCN(3)如图3中，当点M落在QN上时，作PH丄AC于H.易知：PMIIAC,ZMPQ=ZPQH=60,PH=J3HQ,3t=、.3(9-9t),.t=

4、27.t=27-3朽26如图4中，当点M在CQ上时，作PH丄AC于H.同法可得PH3QH,.3t=；3(9t-9),.t=27+3亦26-，综上所述，当t=27-33s或27+3s时，PQM的某个顶点(Q点除外)落在QCN2626的边上点睛：本题考查三角形综合题、等边三角形的性质、勾股定理锐角三角函数、解直角三角形等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型2.如图，等腰ABC中，AB=AC，ZBAC=36,BC=1，点D在边AC上且BD平分/ABC，设CD=x求证：ABC-BCD；求x的值；答案】(1)证明见解析；求cos36-cos72。答案

5、】(1)证明见解析；j+、忑；(3)氏5+8216【解析】试题分析：(1)由等腰三角形ABC中，顶角的度数求出两底角度数，再由BD为角平分线44求出/DBC的度数，得到ZDBC=ZA,再由/C为公共角，利用两对角相等的三角形相似得到三角形ABC与三角形BCD相似；（2）根据（1）结论得到AD=BD=BC，根据AD+DC表示出AC，由（1）两三角形相似得比例求出x的值即可；（3）过B作BE垂直于AC，交AC于点E,在直角三角形ABE和直角三角形BCE中，利用锐角三角函数定义求出cos36。与COS72。的值，代入原式计算即可得到结果.试题解析：（1）T等腰AABC中，AB=AC，ZBAC=36，

6、ZABC=ZC=72，TBD平分ZABC，.ZABD=ZCBD=36，TZCBD=ZA=36，ZC=ZC，ABC-BCD；（2）TZA=ZABD=36，.AD=BD，TBD=BC，.AD=BD=CD=1，设CD=x，则有AB=AC=x+1,TABC-BCD，整理得：x2+x-1=0，解得：X1=亠尹，F亠产（负值，舍去）则x=-1/52（3则x=-1/52（3）过B作BE丄AC，交AC于点E，TBD=CD，.E为CD中点，即DE=CE=-1+、5,22在RtABE在RtABE中，AEcosA=cos36=AB-1+55+141+5在RtABCE中，cosC=cos72=EC_4_1+J5,BC

7、14-cos36-cos72=_5cos36-cos72=_5+141+T=2【考点】1.相似三角形的判定与性质；2.等腰三角形的性质；3.黄金分割；4.解直角三角形3.已知：ABC内接于OO,D是弧BC上一点，OD丄BC,垂足为H.如图1,当圆心O在AB边上时，求证：AC=2OH；如图2,当圆心O在厶ABC外部时，连接AD、CD，AD与BC交于点P,求证：ZACD=ZAPB；在(2)的条件下，如图3,连接BD,E为OO上一点，连接DE交BC于点Q、交AB于点N,连接OE,BF为OO的弦，BF丄OE于点R交DE于点G,若ZACD-ZABD=2ZBDN,AC干亦,BN尸,tanZABC=；，求B

8、F的长.ACC占ACC占【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)24.【解析】试题分析：(1)易证OH为氐ABC的中位线，可得AC=2OH；(2)ZAPB=ZPAC+ZACP,ZACD=ZACB+ZBCD,又:ZPAC=ZBCD，可证ZACD=ZAPB；(3)连接AO延长交于OO于点丨，连接IC,AB与OD相交于点M,连接OB,易证ZGBN=ZABC，所以BG=BQ.1在RtABNQ中，根据tanZABC=;，可求得NQ、BQ的长.利用圆周角定理可求得IC和AI的长度，设QH=x，利用勾股定理可求出QH和HD的长度，利用垂径定理可求得ED的长1度，最后利用tanZOED=；即可求得R

9、G的长度，最后由垂径定理可求得BF的长度.试题解析：(1)在OO中，VOD丄BC,BH=HC,V点O是AB的中点，二AC=2OH；(2)在OO中，VOD丄BC,弧8。=弧CD,ZPAC=ZBCD,VZAPB=ZPAC+ZACP,ZACD=ZACB+ZBCD,AZACD=ZAPB；(3)连接AO延长交于OO于点I,连接IC,AB与OD相交于点M,连接OB,TZACD-ZABD=2ZBDN,AZACD-ZBDN=ZABD+ZBDN,VZABD+ZBDN=ZAND,AZACD-AZACD-ZBDN=ZAND,VZACD+ZABD=180,A2ZAND=180,AZAND=90,AZOED=ZQDH,

10、VZERG=90,AZOED=ZGBN,AZGBN=ZABC,VAB丄ED,VZACI=90,tanZAIC=tanZABC=,2CI_1=,2aIc=_：.jy,a由勾股定理可求得:AI=25，1OH125“设QH=x,VtanZABC=tanZODE=；,HD=2?.HD=2x,AOH=OD-HD=BG=BQ=1515z15+X2十25-2xJ、-j2丿VOB2=BH2+OH2,Ag59，解得：，当QH=t时,AQD=,lj-1595AND=,AMN=,MD=15,V一：匚；：，AQH=；不符合题意，舍去，当QH=时,AQD=HAND=NQ+QD=_*,ED=二頁，AGD=GN+ND=,A

11、EG=ED-GD=MVtanZOED=RGVtanZOED=RG_1ER2AEG=RG,9ARG=,ABR=RG+BG=12,ABF=2BR=24.考点：1圆；2相似三角形；3三角函数；4直角三角形.4.如图，在RtAABC中，ZBAC=90,ZB=60,BC=16cm,AD是斜边BC上的高，垂足为D,BE=1cm.点M从点B出发沿BC方向以1cm/s的速度运动，点N从点E出发，与点M同时同方向以相同的速度运动，以MN为边在BC的上方作正方形MNGH.点M到达点D时停止运动，点N到达点C时停止运动.设运动时间为t(s).当t为何值时，点G刚好落在线段AD上？设正方形MNGH与RtAABC重叠部

12、分的图形的面积为S,当重叠部分的图形是正方形时，求出S关于t的函数关系式并写出自变量t的取值范围.设正方形MNGH的边NG所在直线与线段AC交于点P,连接DP,当t为何值时，CPD是等腰三角形？【答案】(1)3【答案】(1)3；t6)(3)t=9s或t=(15-6)s.【解析】试题分析：(1)求出ED的距离即可求出相对应的时间t.先求出t的取值范围，分为H在AB上时，此时BM的距离，进而求出相应的时间.同样当G在AC上时，求出MN的长度，继而算出EN的长度即可求出时间，再通过正方形的面积公式求出正方形的面积.分DP=PC和DC=PC两种情况，分别由EN的长度便可求出t的值.试题解析：ZBAC=

13、90,ZB=60,BC=16cmAB=8cm,BD=4cm,AC=8.em,DC=12cm,AD=4em.当g刚好落在线段AD上时，ED=BD-BE=3cmt=s=3s.当MH没有到达AD时，此时正方形MNGH是边长为1的正方形，令H点在AB上，则上HMB=90,ZB=60,MH=1当MH到达AD时，那么此时的正方形MNGH的边长随着N点的继续运动而增大，令G点在AC上,-1设MN=xcm,贝GH=DH=x,AH=x,4TAD=AH+DH=x+x=x=4.x=3.当血4时，SMNGN=1Cm2.当40）,MPQ的面积为S.点A的坐标为，直线丨的解析式为;试求点Q与点M相遇前S与t的函数关系式，

14、并写出相应的t的取值范围；试求(2)中当t为何值时，S的值最大，并求出S的最大值；随着P，Q两点的运动，当点M在线段DC上运动时，设PM的延长线与直线l相交于点N,试探究：当t为何值时，QMN为等腰三角形？请直接写出t的值.【答案】解：(1)(-4,0)；y=x+4.(2)在点P、Q运动的过程中：当0VtW1时，如图1，过点C作CF丄x轴于点F,则CF=4,BF=3，由勾股定理得BC=5.3过点Q作QE丄x轴于点E,则BE=BQcosZCBF=5t5=3t.PE=PB-BE=(14-2t)-3t=14-5t,11S=PMPE=x2tx(14-5t)=-5t2+14t.22当1t2时，如图2,2

15、2过点C、Q分别作x轴的垂线，垂足分别为F,E,则CQ=5t-5,PE=AF-AP-EF=11-2t-(5t-5)=16-7t.11S=PMPE=x2tx(16-7t)=-7t2+16t.22当点M与点Q相遇时，DM+CQ=CD=7,即(2t-4)+(5t-5)=7，解得t=岁.当2VtV16时，如图3,MQ=CD-DM-CQ=7-(当2VtV16时，如图3,MQ=CD-DM-CQ=7-(2t-4)-(5t-5)=16-7t,11S=PMMQ=x4x(16-7t)=-14t+32.22-5t2+14t(0t1)S=-7t2+16t(1vt2)综上所述，点Q与点M相遇前S与t的函数关系式为(16

16、i-14t+322vtvl7丿(3)当OVtWI时,(7、2S=-5t2+14t=-5t-l5丿49+-5a=-5V0,抛物线开口向下，对称轴为直线t=-,5当OVtWI时，S随t的增大而增大.当t=1时，S有最大值，最大值为9.当ivtw2时，S=7t2+16t=7t8i2647丿8a=-7V0,抛物线开口向下，对称轴为直线t=-，7-64当t=时，S有最大值，最大值为丁.16当2VtV时，S=-14t+32k=-14V0,S随t的增大而减小.16又:当t=2时，S=4；当t=时，S=0,0VSV4.综上所述，当t=-时，S有最大值，最大值为学2012(4)t=或t=时，QMN为等腰二角形.

17、解析】（1）利用梯形性质确定点D的坐标，由sinzDAB=，利用特殊三角函数值，得到2AOD为等腰直角三角形，从而得到点A的坐标；由点A、点D的坐标，利用待定系数法求出直线I的解析式：TC（7，4），ABIICD，D（0，4）.TsinzDAB-2，.zDAB=45.OA=OD=4.A（-4，0）.24k+b二0k二1设直线I的解析式为：y=kx+b，则有b_4，解得：匕_4y=x+4.点A坐标为（-4，0），直线I的解析式为：y=x+4（2）弄清动点的运动过程分别求解：当OVtWI时，如图1；当Kt0或x0或x21x2+bx+c2（3）如图，过D点作x轴的垂线，交x轴于点E,13由y=2x2

18、-2x+2令y=0，解得：x1=1,x2=-4,二C0=1,A0=4,13设点D的坐标为(m,2m2-2m+2)，22ZDAC=ACBO,tanZDAC=tanZCBO,DECO.在RtAADE和RtABOC中有=AEBO当D当D在x轴上方时,1一一m22解得：m1=0,m2=-4（不合题意,舍去）.点D的坐标为（0,2）当D当D在x轴下方时,+2)解得：m1=2,m2=-4（不合题意,舍去）.点D的坐标为（2,-3）,故满足条件的D故满足条件的D点坐标为（0,2）或（2,-3）【点睛】本题是二次函数综合题型,主要考查了一次函数图象上点的坐标特征,待定系数法求二次函数解析式解题的关键是能够熟练

19、掌握一次函数和二次函数的有关知识解决问题,分类讨论是第（3）题的难点如图，在正方形ABCD中，E是边AB上的一动点，点F在边BC的延长线上，且CF=AE，连接DE，DF，EF.FH平分ZEFB交BD于点H.求证：DE丄DF；求证：DH=DF:过点H作HM丄EF于点M,用等式表示线段AB，HM与EF之间的数量关系，并证明.【答案】(1)详见解析；(2)详见解析；(3)EF=2AB-2HM，证明详见解析.【解析】【分析】根据正方形性质，CF=AE得到DE丄DF.由AAEDCFD，得DE=DF.由ZABC=90。，BD平分ZABC，得ZDBF=45。.因为FH平分ZEFB，所以ZEFH=ZBFH.由

20、于ZDHF=ZDBF+ZBFH=45O+ZBFH,ZDFH=ZDFE+ZEFH=45O+ZEFH,所以DH=DF.过点H作HN丄BC于点N，由正方形ABCD性质，得bd=Jab2+ad2=、；2ab由fh平分ZEFB，HM丄EF,HN丄BC,得HM=HN.因为ZHBN=45。，ZHNB=90。，所以BH=HN=2hN=J2hM.sin45odf由EF=p2dF=p2dH，得EF=2AB-2HM.cos45o【详解】证明：t四边形ABCD是正方形，AD=CD，ZEAD=ZBCD=ZADC=90。.ZEAD=ZFCD=90。.CF=AE。.AEDCFD.ZADE=ZCDF.ZEDF=ZEDC+ZC

21、DF=ZEDC+ZADE=ZADC=90.DE丄DF.证明：tAEDCFD,.DE=DF.tZEDF=90,ZDEF=ZDFE=45.tZABC=90,BD平分ZABC,.ZDBF=45.tFH平分ZEFB,.ZEFH=ZBFH.tZDHF=ZDBF+ZBFH=45+ZBFHJZDFH=ZDFE+ZEFH=45+ZEFH,.ZDHF=ZDFH.DH=DF.EF=2AB-2HM.BD=7AB2+AD2=、.2AB-tFH平分ZEFB,HM丄EF,HN丄BC,.HM=HN.tZHBN=45，ZHNB=90，.BH=H=、JiHN=：HMsin45.DH=BD-BH=2AB-迈HM.EF二F=dF=

22、DH,cos45EF=2AB-2HM.【点睛】本题考查正方形的性质、勾股定理、角平分线的性质、三角函数，题目难度较大，解题的关键是熟练掌握正方形的性质、勾股定理、角平分线的性质、三角函数.8阅读下面材料：观察与思考：阅读下列材料，并解决后面的问题.在锐角厶ABC中，ZA、ZB、ZC的对TOC o 1-5 h zADAD边分别是a、b、c,过A作AD丄BC于D(如图)，则sinB=,sinC=，即AD=cbbccacsinB，AD=bsinC,于是csinB=bsinC，即=.同理有：=，sinBsinCsinCsinA HYPERLINK l bookmark187 o Current Doc

23、ument ababc=，所以宀二士二宀.sinAsinBsinAsinBsinC即：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等在锐角三角形中，若已知三个元素(至少有一条边)，运用上述结论和有关定理就可以求出其余三个未知元素根据上述材料，完成下列各题如图，ABC中，ZB=75，ZC=45，BC=60，贝AB=；如图，一货轮在C处测得灯塔A在货轮的北偏西30的方向上，随后货轮以60海里/时的速度按北偏东30的方向航行，半小时后到达B处，此时又测得灯塔A在货轮的北偏西75。的方向上(如图)，求此时货轮距灯塔A的距离AB.3)在(2)的条件下，试求75的正弦值.(结果保留根号)A3D南西卜东北3)

24、在(2)的条件下，试求75的正弦值.(结果保留根号)A3D南西卜东北3D囹囹2【答案】(1)20：6；(2)15、；6海里;【解析】【分析】根据材料：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，写出比例关系，代入数值即可求得AB的值.此题可先由速度和时间求出BC的距离，再由各方向角得出ZA的角度，过B作BM丄AC于M,求出ZMBC=30，求出MC,由勾股定理求出BM,求出AM、BM的长，由勾股定理求出AB即可；(3)在三角形ABC中，ZA=45,ZABC=75,ZACB=60,过点C作AC的垂线BD,构造直角三角形ABD，BCD，在直角三角形ABD中可求出AD的长，进而可求出sin75的值.

25、【详解】解：(1)在厶ABC中，ZB=75，ZC=45，BC=60，则ZA=60，.ABBC.一sinCsinA.AB60一sin45sin60ABo60。即22-23，解得：AB=20j6.(2)如图，AB30h(2)如图，AB30hI：依题意：BC=60 x0.5=30（海里）TCDIIBE，ZDCB+ZCBE=180TZDCB=30，ZCBE=150TZABE=75.ZABC=75，ZA=45，在厶ABC中,ABBCAB30sinZACBsinZA即sin60?sin45?在厶ABC中,解之得：AB=15j6.答：货轮距灯塔的距离AB=16海里.过点B作AC的垂线BM,垂足为M.EBCE

26、BC在直角三角形ABM中，ZA=45,AB=15；6,所以AM=153，在直角三角形BDC中，ZBCM=60,BC=30，可求得CM=15,所以AC=15f3+15，由题意得，15U=亞，汕5=咅sin75sin604【点睛】。本题考查方向角的含义，三角形的内角和定理，含30度角的直角三角形，等腰三角形的性质和判定等知识点，解题关键是熟练掌握解直角三角形方法9.如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的边AB在x轴上，点B坐标（-6,0）,点3C在y轴正半轴上，且cosB=5，动点P从点C出发，以每秒一个单位长度的速度向D点移动（P点到达D点时停止运动），移动时间为t秒，过点P作平行于y轴的直线

27、l与菱形的其它边交于点Q.（1）求点D坐标；（2）求厶OPQ的面积S关于t的函数关系式，并求出S的最大值；3（3）在直线l移动过程中，是否存在t值，使S=S?若存在，求出t的值；若20菱形ABCD【答案】（1）点D的坐标为（10,8）.（2）S关于t的函数关系式为S=4t(0t4)220“、，S的最大值为50.（3）3或5+-3殳垢t(4t10)3【解析】【分析】、（1）在RtABOC中，求BCQC,根据菱形性质再求D的坐标；（2）分两种情况分析：当0t4时和当4t10时，根据面积公式列出解析式，再求函数的最值；（3）分两220种情况分析：当0t4时，4t=12,；当4t10时，一-12+t=

28、12详解】3解：(1)在RtABOC中，ZBOC=90，OB=6，cosB=5，:.BC=10cosB:OCBC2_OB2=8四边形ABCD为菱形，CDIIx轴,点D的坐标为（10，8）.（2）AB=BC=10，点B的坐标为（-6，0），点A的坐标为（4，0）.分两种情况考虑，如图1所示.当0t4时，PQ=OC=8,OQ=t,一1SPQOQ=4t，240，当t=4时，S取得最大值，最大值为16；当4t10时，设直线AD的解析式为y=kx+b（30）,将A（4，0），D（10，8）代入y=kx+b，得：4k+b=010k+b=8，解得:416直线AD的解析式为y=4x-33416当x=t时，y=

29、3t-3，TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark81 o Current Document (4164:PQ=8t=(10-1) HYPERLINK l bookmark122 o Current Document 133丿3:.S=1PQ-OP=-12+色t233S=31+201=3(t-5)2+_!0当t=5时，S取得最大值，最大值为50综上所述：S关于综上所述：S关于t的函数关系式为S=4t(0t4)s的最大值为50.12，12，(3)S菱TABc=8.当0t4时，4t=12,解得：t=3；当4Vt10时,解得：=5-7(舍去)，t2=5+、门.、一、3、l综上所述：在直线l移动过程中，存在t值，使S=S菱形，t的值为3或5+7.20菱形ABCD【点睛】考核知