中考数学专题训练-圆与相似的综合题分类附答案

1、中考数学专题训练圆与相似的综合题分类附答案、相似1.如图，在O0中，直径AB经过弦CD的中点E,点M在OD,AM的延长线交O0于点G,交过D的直线于F,且ZBDF二ZCDB,BD与CG交于点N.(2)连结MN,猜想MN与AB的位置有关系，并给出证明.【答案】(1)证明：直径AB经过弦CD的中点E,:ABa9:ZBOD二2ZCDB.：ZBDF=ZCDB,:ZBOD=上CDF,:.ZBOD十ZODE=90,:ZODE+ZCDF二90。，即ZODF=90,:刃是6)C的切线(2)解：猜想：MNIIAB.证明：连结CB.直径AB经过弦CD的中点E,/.ACAb,BCBb,ZCBA=ZDBA,CB二BD

2、.OB=0D,ZDBA=ZODB:.ZAOD二ZDBA+ZODB=2ZDBA=ZCBD,ZBCG=ZBAG,.4CBNsjAOM,.AO_OM刁-丽AO=OD.CB=BD,.DO_OM亦-丽DO_DM亦一丽ZODB=ZMDN,.4MDNsj砂ZDMN=ZDOB,MNIIAB【解析】【分析】(1)要证DF是OO的切线，由切线的判定知，只须证Z0DF=90即可。由垂径定理可得AB丄CD,则ZBOD+ZODE。，而ZODF=ZCDF+ZODE,由已知易得ZBOD=ZCDF,则结论可得证：(2)猜想：MNIIAB.理由：连结CB,由已知易证CBN-AOM,可得比例式AO_OMDO_DMCB则，于是由已

3、知条件可转化为DN,ZODB是公共角，所以可得MDNODB,则ZDMN=ZDOB,根据平行线的判定可得MNIIAB。2.如图，在ZkABC中，AB=AC,ZBAC=90,AHBC于点H,过点C作CD丄AC,连接AD,点M为AC上一点，且AM二CD,连接BM交AH于点N,交AD于点E若AB=3,AD二Y冗，求BMC的面积；点E为AD的中点时，求证：AD=BN.【答案】(1)解：如图1中，A在厶ABM和CAD中，AB=AC,ZBAM=ZACD=90,AM二CD,/.ABM雯CAD,11BM=AD=顾,AM=QbM-=1,CM=CA-AM=2,/.Bcm=2CMBA=2x23=3.(2)解：如图2中

4、，连接EC、CN,作EQ丄BC于Q,EP丄BA于PE2AE=ED,ZACD=90,/.AE=CE=ED,/.ZEAC=ZECA,TABMCAD,ZABM=ZCAD,ZABM=ZMCE,TZAMB=ZEMC,/.ZCEM=ZBAM=90,BMJABMCM厶ABM-ECM,CM0,.AMEk,/zAME=ZBMC,/.AMEBMC,ZAEM=ZACB=45,/.ZAEC=135,易知ZPEQ=135,/.ZPEQ=ZAEC,ZAEQ二ZEQC,/ZP=ZEQC=90,二EPA雯EQC,二EP=EQ,TEP丄BP,EQ丄BCBE平分ZABC,ZNBC=ZABN=22.5,TAH垂直平分BC,/.NB

5、=NC,/.ZNCB=ZNBC=22.5/.ZENC=ZNBC+ZNCB=45,/.ENC的等腰直角三角形,ANC=花EC,.AD=2EC,2NC=&AD,AD=ANC,/BN=NC,/.AD=ABN【解析】【分析】(1)首先利用SAS判断出ABM妥CAD,根据全等三角形对应边相等得出BM=AD=V,根据勾股定理可以算出AM,根据线段的和差得出CM的长，利用Sabcm=2CMBA即可得出答案；（2）连接EC、CN,作EQ丄BC于Q,EP丄BA于P.根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出AE=CE=ED,根据等边对等角得出ZEAUZECA,根据全等三角形对应角相等得出ZABM=ZCAD,从

6、而得出ZABM=ZMCE,根据对顶角相等及三角形的内角和得出ZCEM=ZBAM=90从而判断出ABMECM,由相似三角形对应边成比例得出BM:CM=AM:EM,从而得出BM:AM=CM:EM,根据两边对应成比例及夹角相等得出AME-BMC,故ZAEM=ZACB=45,ZAEC=135%易知ZPEQ=135%故ZPEQ=ZAEC,zAEQ=ZEQC,又ZP=ZEQC=90,故厶EPA仝EQC,故EP=EQ,根据角平分线的判定得出BE平分ZABC,故ZNBC=ZABN=22.5,根据中垂线定理得出NB=NC,根据等腰三角形的性质得出ZNCB=ZNBC=22.5,故ZENC=ZNBC+ZNCB=45

7、,ENC的等腰直角三角形，根据等腰直角三角形边之间的关系得出NU&EC,根据AD=2EC,2NC=&AD,adMnc,又bn二nc,故ad二N3如图，在一间黑屋子里用一盏白炽灯照一个球.itQ9球在地面上的影子是什么形状？当把白炽灯向上平移时，影子的人小会怎样变化？若白炽灯到球心的距离是1g到地面的距离是3m,球的半径是0.2m,则球在地面上影子的面积是多少？【答案】(2)解:解：球在地面上的影子的形状是圆.当把白炽灯向上平移时,影子会变小.【答案】(2)解:由已知可作轴截面,如图所示:(3)解：由已知可作轴截面,如图所示:依题可得：OE=lm,AE=0.2m,OF=3m,AB丄OF于H,在R

8、tAOAE中,2x60A=M亦-力二W-=f(m),ZAOH=ZEOA,ZAHO=ZEAO=90,OA_0E亦一习,又ZOAE=ZAHE=90,ZAEO=ZHEA,.OAEAHE,OhAh.刀二金，OAAE2xb1X一/.AH=OE=5*2625(m)依题可得：AHOCFO,AHCF=OHOF,CF=AH-OFOH=2625x32425=64（m）,S影子=nPB：MD=AB：PD,由PD=XttanZPDM=tanZPFC=2,a/525V?jyX”易得：DN=,PN=,CN=2-5趴庁-5xPH=2x,FH=2,CH=2“x,x(25-x)由PB：MD=AB：PD可得MD二2,从而可得MN

9、,在RtAPCN中利用勾股定理町得PC,由PC：PM=CH：MH可得PM,在在RtAPMN中利用勾股定理可得关于x的方程，解得x二5,综上：PD的长为：乐1或5【解析】【分析】（1）要求三角形ABF的面积，由题意只须求出BF的长即可。根据同角AB_BF_1的余角相等町得ZBAF=ZADB,所以tanZPBF=tanZADB=AB2,结合已知即町求得BF的长，三角形ABF的面积=2ABBF：（2）要求y与x之间的函数关系式，由题意只须证得ABAP-4FPE,从而得出比例ABBF式;孑瓦现在需求出PF的长，代入比例式即可得y与x的关系式。（3）由己知条件过点P作PF丄BD,交射线BC于点F可知，点

10、F可能在线段CE,也可在CE的延长线上，所以分两种情况求解即可。5.(1)【探索发现】如图1,AABC中，点D,E,F分别在边BC,AC,AB上，且AD,BE,CF相交于同一点0.用S表示三角形的面枳，有SAabd：S“cd=BD：CD,这一结论可通过以下推理得到：过点B作BM丄AD,交AD延长线于点M,过点C作CN丄AD于点N,可得11(-A0BM):(-A0CN)%abd：S“CD=22,又可证ABDIVIZkCDN,/.BM：CN=BD：CD,二ABD：SaACD=BD：CD由此可得BAO：BCO=；CAO：CBO=；若D,E,F分别是BC,AC,AB的中点，则Bfo：S“bc=iMiM

11、图1(2)【灵活运用】如图2,正方形ABCD中，点E,F分别在边AD,CD,连接AF,BE和CE,AF分别交BE,CE于点G,M.團2若AE=DF.判断AF与BE的位置关系与数量关系，并说明理由；若点E,F分别是边AD,CD的中点，且AB=4.则四边形EMFD的面积是多少？【拓展应用】如图3,正方形ABCD中，AB=4,对角线AC,BD相交于点0.点F是边CD的中点.AF与BD相交于点P,BG丄AF于点G,连接0G,请直接写出2ogp的值.DFBC團3【答案】(1)AE：EC；AF：BF：1：6(2)解：结论：AF=BE,AF丄BE.理由：如图2中,H2四边形ABCD是正方形，AB=AD,ZB

12、AE=ZADF=90%AE=DF,.BAE仝aADF(SAS),BE=AF,ZABE=ZDAF,ZABE+ZAEB=90,ZDAF+ZAEB=90%ZAGE=90,AF丄BE.(3)解：如图2-1中，连接DM.根据对称性可知厶DME,DMF,关于直线DM对称,二DME=SDMF,AE=DE,.AEM=SDME=SDMF,1adf=么x4x2=4,4二AEM=SziDME=SDMF=，6-S叫边形EMFD=j6故答案为二拓展应用：如图3中,四边形ABCD是正方形，AB=BC=CD=AD=4,AC=BD=4Z0A=0B=0D=0C=2QDF=FC,DF=FC=2,DFIIAB,DFDP_1亦亦一N

13、.OP：OB=OP：OA=1：3,/BG丄PA,AO丄OB,ZAGB=ZAOB=90%ZOAP+ZAPO=90,ZPBG+ZBPG=90,ZPAO=ZPBG,ZAPO=ZBPG,AOP-BGP,一一一一-,ZGPO=ZBPA,GPO-BPA,SAGFD_OP2_1sMAPA16,216S“bp=Saabd=3,8-SaGOP=I：【解析】【解答】(1)探索发现：由题意：SAbao：Sabco=AE：EC；Sacao：Sacbo=AF：BF；若D,E,F分别是BC,AC,AB的中点，则Sabfo：Saabc=1：6,故答案为:AE：EC,AF：BF,1：6.【分析】【探索发现】利用等高模型，解决

14、问题即可【灵活运用】(1)结论：AF=BE,AF丄BE.证明BAE妥ADF(SAS)即可解决问题.(2)根据对称性可知厶DME,DMF,关于直线DM对称,推出SAdme=Sadmff由AE=DE,推出aem=dme=dmf求出OP21紡OP21紡r即ADF的面积即可解决问题.【拓展应用】由厶GPOBPA,推出Sza可解决问题.6.如图，在AABC中，ZACB=90,AC=6cm,BC=8cm,点D从点C出发，以2cm/s的速度沿折线CTATB向点B运动，同时点E从点B出发，以lcm/s的速度沿BC边向点C运动，设点E运动的时间为t（单位：s）（0t8）.（1）当ABDE是直角三角形时，求t的值

15、：（2）若四边形CDEF是以CD、DE为一组邻边的平行四边形，设它的面积为S,求S关于t的函数关系式；是否存在某个时刻t,使平行四边形CDEF为菱形?若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）解：如图1,当ZBED=90时，ABDE是直角三角形，图1则BE=t,AC+AD=2t,BD=6+10-2t=16-2t,ZBED=ZC=90,DEIIAC,BEJ)E:.BCAC,tJDE:.86,3t:.DE=4,DE3=sinB=BD5,3t4_3:.16-2t_1,64t=13；图2则BE=t,BD=16-2t,BD_8cosB=BEAB1G,16-2t_8:.t-_1G,46t=7

16、；6446答：当ABDE是直角三角形时，t的值为亦或丁(2)解:如图3,当0t3时,BE=t,CD=2t,CE=8-t,Scdef=2Scde=2x/x2tx(8-t)=-2t+16t如图4,当3t8时，BE二t,CE=8-t,过D作DH丄BC,垂足为H,DHIIAC,D/f_BL:.acaL,DH_16-2t:.6103(163(16一2t)DH=o,TOC o 1-5 h z13(16-2t)696384:.S.Cdef=2Scde=2xxCExDH=CExDH=(8-t)x5=t2-5*t+亍；S于t的函数关系式为：当0t3时，S=-2t2+16t,696384当3t8时，S=2-5i+

17、5.图5由CD=DE得:CH=HE,4(16-2t)8-tBH=5,BE=t,EH=2,BH=BE+EH,4（16-2t）8-t:.-=t+2,88:.t=21,88即当匸刁时，CDEF为菱形.【解析】【分析】（1）因为ABDE是直角三角形有两种情况：当ZBED=90时，可得DEIIAC,根据平行于三角形一边的直线和其它两边（或其延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似可得4BED巧G,于是可得比例式将DEDt用含t的代数式表示，再根据sinB=莎可得关于t的方程，解方程即可求解；当ZEDB=90时，同理可求解;（2）当03时，S-cDEF=2SiCDE可得S与t的关系式；当3t8时，过D作

18、DH丄BC,垂足为H,根据平行于三角形一边的直线和其它两边（或其延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似可得4BHD、及同于是可得比例式将DH用含t的代数式表示，则S-cdef=2S&cde可得s与t的关系式;当3t8时，同上；存在，当-CDEF为菱形时，DH丄CE,根据BH=BE+EH可得关于t的方程，解方程即可求解。37.37.如图1,直线I：V与x轴交于点A(4,0),与y轴交于点B,点C是线16以点A为圆心，AC长为半径作OA以点A为圆心，AC长为半径作OA交x轴于另一点D,求直线I的函数表达式和tanZBAO的值；如图2,连结CE,当CE=EF时，求证：OCE-OEA；求点E的坐标

19、；当点求直线I的函数表达式和tanZBAO的值；如图2,连结CE,当CE=EF时，求证：OCE-OEA；求点E的坐标；当点C在线段0A上运动时，求OEEF的最人值.3【答案】(1)解：把A(4,0)代入.解得b=3,j4x4+b=0,3y-x+j直线I的函数表达式为.4B(0,3)，TAO丄BO,0A=4,B0=3,tanZBAO=4.ZCAE=ZEAF,又ac=ae=af,ZACE=ZAEF,ZOCE=ZOEA,又ZCOE=ZEOA,OCEOEA.解：如图，过点E作EH丄x轴于点H,JTtanZBAO=4,设EH=3x,AH=4x,/.AE=AC=5x,OH=4-4x,OC=4-5xzTOC

20、EOEA,OhOC即OE2=OAOC,(4-4X)2+(3x)2=4(4-5x)z12解得x讦习，X2=o(不合题意，舍去)5236E(习，习)tanZBAO=J4/.cosZBAO=，16/.AN=OA-cosZBAO=59设AC=AE=rz16:.EN=5-r,TON丄AB,AM丄OF,!:.ZONE=ZAME=90%EM=EFZ又ZOEN=ZAEM,OEN-AEM,OkEh:.応瓦116116即0E2EF二AEEN,OEEF=2AEEN=2r32OE-EF=-2r32OE-EF=-2r2+5r-2128(“)2+25(0r16了）,8128.当时，OEEF有最人值，最大值为少父【解析】【

21、分析】（1）将点A坐标代入直线I解析式即可求出b值从而得直线I的函数表达式，根据锐角三角函数正切定义即可求得答案.（2）如图，连结AF,根据等腰三角形性质等边对等角可得两组对应角相等，根据相似三角形的判定即可得证.如图，过点E作EHx轴于点H,根据锐角三角函数正切值即可设EH=3x,AH=4x,从而得出AE、OH、0C,由中相似三角形的性质可得0E2=0A0C,代入数值即可得一个关于x的方程，解之即可求出E点坐标.（3）如图，过点A作AM丄OF于点M,过点0作ON丄AB于点N,根据锐角三角函数定义0E可求得AN=OAcosZBAO=乙设AC=AE=r,则EN=可求得AN=OAcosZBAO=乙

22、设AC=AE=r,则EN=也，即OEEF=22+5r=(0r了根据相似三角形判定和性质可知五二），由二次函数的性质即可求此最人值.&如图，过O0外一点P作O0的切线PA切O0于点A,连接P0并延长，与O0交于求证：CM2=MNMA；若求证：CM2=MNMA；若ZP=30,PC=2,求CM的长.【答案】（1）解:E（3CM二DJ1,中，血点是半圆e的中点,:zcm二ZDa,又TZQ1A=ZNMC,4磁“力的（2）解：连接创、叽PCNOD:刊是GC的切线，:ZPAO=90,又TZP二30,11:OAPO（PC+CO）9设06的半径为上，IPC二2,1：解得：2*,又：皿是直径，:ZCMD=90,:

23、.C取=DM,：是等腰直角三角形，:在Rt4CMD中，由勾股定理得C谚+D牌=CM,即2CW=（21）2=16,则胡=8,：CM=22,回12【解析】【分析】（1）由CMDM知ZCAM二N2O,根zCMA=ZNMC据证AMCACMN即可得；（2）连接0A、DM,由直角三角形PAO中ZP=30知110A=-P0二-（PC十CO）22,据此求得0A=0C=2,再证三角形CMD是等腰直角三角形得CM的长.二、圆的综合0C的长为_:D是OA上一点，以BD为直径作OM,OM交AB于点Q.当OM与y轴相切时，sinZBOQ=；如图2,动点P以每秒1个单位长度的速度，从点0沿线段0A向点A运动：同时动点D以

24、相同的速度，从点B沿折线B-C-0向点0运动.当点P到达点A时，两点同时停止运动.过点P作直线PEII0C,与折线0-B-A交于点E.设点P运动的时间为t(秒).求当以B、D、E为顶点的三角形是直角三角形时点E的坐标.【答案】4：(2)-；(3)点E的坐标为(1,2)、(-,).(4,2)533【解析】分析：(1)过点B作丄少于H,如图1(1),易证四边形OCBH是矩形，从而有OC=BH,只需在AHB中运用三角函数求出BH即可.过点B作丄0A于H,过点G作GF丄0A于F,过点B作BR丄0G于R,连接MN、DG,如图1(2),则有0H=2,BH=4,MN丄0C.设圆的半径为r,贝ljMN=MB=

25、MD=r.在RtABHD中运用勾股定理可求出r=2,从而得到点D与点H重合.易证AAFG-aADB9从而可求出AF、GF、OF、OG、OB、AB.BG.设OR*利用BR2=OB2-OR2=BG2-RG2可求出x,进而可求出BR.在RtAORB中运用三角函数就可解决问题.由于BDE的直角不确定，故需分情况讨论，可分三种情况(ZBDQ90。，ZBED=90。，ZDBE=90。)讨论，然后运用相似三角形的性质及三角函数等知识建立关于r的方程就可解决问题.详解：(1)过点B作BH丄0A于H,如图1(1),则有ZBH4=90=ZCOA,:.OCWBH./BCWOA,四边形OCBH是矩形,OC=BH.BC

26、=OH./OA=69BC=2,AH=0A-OH=OABC=62=4ZBHA=909ZBAO=45BHtanZBAH=1,:.BH二HA=4,OC=BH=4HA故答案为4.(2)过点B作BH丄OA于H,过点G作GF丄0A于F,过点B作BR丄0G于R,连接MN、DG,如图1(2).由(1)得：0H=2,BH=40C与OM相切于A/t:.MN丄OC.设圆的半径为r.则M/V二MB二MDwBC丄OC,OA丄OC,.BCWMNWOA.:BM=DM,.CN=ON9:.MN=-(BC+OD),OD=2r-2,2:.DH=OD-OH=2r-4.在RtABHD中，/ZBHD=90BD2=BH2WH/.(2r)2

27、=42+(2厂-4)解得：r=2,DH=0,即点D与点H重合BD丄OA,BD=AD.BD是OM的直径,/.ZBGD=90,即DGAB,BG=AG.GF丄OA,BD丄04GFIIBD,二AFG-ADB9AFGFAG111=AF=-AD=2,GF=BD=2,.0F=4,ADBDAB222G=y/oF2+GF2=2y/5同理可得：0B=2jJ,AB=4Q.BGnaB=2迈.2设OR二x,则RG=2y/5xBR丄0G,ZBRO二ZBRG=90。,/.BR2=OB20R2=BG2-RG2,（25）2-x2=（22）2-/5PEWOC,ZOP=ZBOC.ZOPENBCO=90:.OPE-BCO,OEOPO

28、Et=，7=0E=、/5tOBBC2/5270E+BE=0B=2応7?t+t=2V55解得：t=|,/.0P=|,0E=-,:.PE=y/oE2-OP2=点E的坐标为（二二-）33当ZDBE=90时，如图4.此时PE=PA=6匚OD=OC+BC-t=6-t.BE=BA-EA=4近-PEWOD,OD=PE,则有OD二PE,EA二Jpe+PA，二迈（BE=BA-EA=4近-PEWOD,OD=PE,DE=OP二t,DEWOP,ZDOP=90,:.四边形ODEP是矩形，ZBEDDE=OP二t,DEWOP,在R5E中，CSED堆鲁，山的,：t=我迈t2迈）=2t-4.解得:t=4,A0P=4,PE=64

29、=2,点E的坐标为（4,2）综上所述：当以3、D、E为顶点的三角形是直角三角形时点E的坐标为（1,2）、点睛：本题考查了圆周角定理、切线的性质.相似三角形的判定与性质、三角函数的定义、平行线分线段成比例、矩形的判定与性质、勾股定理等知识，还考查了分类讨论的数学思想，有一定的综合性.10.如图，AB是O0的直径，弦CD丄AB,垂足为H,连结AC,过*）上一点E作EGIIAC交CD的延长线于点G,连结AE交CD于点F,且EG=FG,连结CE.（1）求证：ZG=ZCEF：（2）求证：EG是OO的切线；3（3）延长AB交GE的延长线于点若tanG=-,求EM的值.4【答案】（1）证明见解析：（2）证明

30、见解析；（3）兰迥.8【解析】试题分析：（1）由ACIIEG,推出ZG=ZACG9由AB丄CD推出AD=AC推出ZCEFNACD、推出ZG=ZCEF.由此即可证明；（2）欲证明EG是OO的切线只要证明EG丄OF即可；（3）连接0C.设O0的半径为几在RtAOCH中，利用勾股定理求出门证明4HHeAAHC-MEO,可得由此即可解决问题：EMOE试题解析：（1）证明：如图1ACIIEG,ZG二ZACG,：ABCDf:.AD=ACZCEFNACD,:.ZG=ZCEF,TZECF=ZECG,二ECF-GCEZOAE=ZOEA,/ZAFH+AFAH=9Q:.ZGEF+ZAEO=90:.ZGEO=90:.

31、GE丄OE,EG是OO的切线.AH=3HC=4羽,在RtAHOC中,HC4OC=r,OH=r3HC=4*，(r-3/3)2+(4/3)2=r2,AAHHCGMIIAC,ZCAH=AM9/ZOEM二ZAHC,.AHC-MEO,二=EMOE巫=婕2S/JEM25/3EM=_86点睛：本题考查圆综合题、垂径定理、相似三角形的判定和性质、锐角三角函数、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用所学知识解决问题，正确寻找相似三角形，构建方程解决问题吗，属于中考压轴题.11.在O0中，点C是朋上的一个动点（不与点A,B重合），ZACB=12O,点丨是ZABC的内心，CI的延长线交O0于点D,

32、连结AD,BD.（2）猜想线段AB与DI的数量关系，并说明理由.（3）若O0的半径为2,点E,F是AB的三等分点，当点C从点E运动到点F时，求点I随之运动形成的路径长.【答案】（1）证明见解析：（2）AB=DI,理由见解析（3）巫冗9【解析】分析：（1）根据内心的定义可得CI平分ZACB,可得出角相等，再根据圆周角定理，可证得结论；根据ZACB=12O,ZACD=ZBCD,可求出ZBAD的度数，再根据AD=BD,可证得ABD是等边三角形，再根据内心的定义及三角形的外角性质，证明ZBID=ZIBD,得出ID=BD,再根据AB=BD,即可证得结论；(3)连接DO,延长DO根据题意可知点I随之运动形成的图形式以D为圆心，DI】为半径的弧，根据已知及圆周角定理、解直角三角形，可求出AD的长，再根据点E,F是弧AB-的三等分点，AABD是等边三角形，可证得ZDAh=ZAkD,然后利用弧长的公式可求出点I随之运动形成的路径长.详解：(1)证明：点I是ZABC的内心CI平分ZACBZACD=ZBCD弧AD二弧BDAD=BD(2)AB=DIZBCD=4x12O=6O弧BD二弧