微积分不定积分的概念及性质_第1页
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文档简介

1、关于微积分不定积分的概念及性质第1页,共32页,2022年,5月20日,15点8分,星期三运算是一种对应法则。设A是一个非空集合,对于A中的任意两个元素a,b,根据某种法则,使A中有唯一确定的元素c与它们对应,我们就说这个法则是A中的一种运算。给了A的任意两个元素a和b,通过所给的运算,可以得到一个结果c。反过来,如果已知元素c,以及元素a,b中的一个,按照某种法则,可以得到另一个元素,这样的法则也定义了一种运算,这样的运算叫做原来运算的逆运算。如:加法与减法,乘法与除法,指数与对数。微分与积分也互为逆运算。逆运算第2页,共32页,2022年,5月20日,15点8分,星期三?运算求导运算与逆运

2、算幂开方第3页,共32页,2022年,5月20日,15点8分,星期三例定义:一、原函数与不定积分的概念( primitive function )定义第4页,共32页,2022年,5月20日,15点8分,星期三原函数存在定理:简言之:连续函数一定有原函数.问题:(1) 原函数是否唯一?例( 为任意常数)(2) 若不唯一它们之间有什么联系?定理第5页,共32页,2022年,5月20日,15点8分,星期三关于原函数的说明:(1)若 ,则对于任意常数 ,(2)若 和 都是 的原函数,则( 为任意常数)证( 为任意常数)第6页,共32页,2022年,5月20日,15点8分,星期三任意常数积分号被积函数

3、不定积分(indefinite integral)的定义:被积表达式积分变量定义原函数 函数的全体原函数等于它的某个原函数加上一个任意常数!求和:sum第7页,共32页,2022年,5月20日,15点8分,星期三4. 被积函数是原函数的导数,被积表达式是原函数的微分。5. 不定积分表示那些导数等于被积函数的所有函数,或者其微分等于被积表达式的所有函数,因此决不能漏写积分常数C.2. 求已知函数的全体原函数或不定积分的运算称为积分运算。 3. 已知原函数求导函数,用微分运算;已知导函数求原函数,用积分运算。微分和积分是互逆的运算。1. 直接函数和反函数是一对概念;原函数和导函数是一对概念,不可混

4、淆。第8页,共32页,2022年,5月20日,15点8分,星期三例1 求解解例2 求第9页,共32页,2022年,5月20日,15点8分,星期三例3 某商品的边际成本为 , 求总成 解其中 为任意常数本函数 . 第10页,共32页,2022年,5月20日,15点8分,星期三二、不定积分的几何意义显然,求不定积分得到一积分曲线族,横坐标 处,任一曲线的切线有相同的斜率.0 xy在同一第11页,共32页,2022年,5月20日,15点8分,星期三微分(求导)运算与求不定积分的运算是互逆的.三、 不定积分的性质例第12页,共32页,2022年,5月20日,15点8分,星期三实例启示能否根据求导公式得

5、出积分公式?结论既然积分运算和微分运算是互逆的,因此可以根据求导公式得出积分公式.四、 基本积分表第13页,共32页,2022年,5月20日,15点8分,星期三基本积分表是常数);说明:第14页,共32页,2022年,5月20日,15点8分,星期三第15页,共32页,2022年,5月20日,15点8分,星期三第16页,共32页,2022年,5月20日,15点8分,星期三例4 求积分解第17页,共32页,2022年,5月20日,15点8分,星期三证等式成立.(此性质可推广到有限多个函数之和的情况)四、 不定积分的性质第18页,共32页,2022年,5月20日,15点8分,星期三例5 求积分解称为

6、定积分的线性性质。第19页,共32页,2022年,5月20日,15点8分,星期三20练习 求积分解不能直接利用积分公式,需先变形基本积分公式第20页,共32页,2022年,5月20日,15点8分,星期三例6 求积分解第21页,共32页,2022年,5月20日,15点8分,星期三例7 求积分解第22页,共32页,2022年,5月20日,15点8分,星期三练习 求积分解:第23页,共32页,2022年,5月20日,15点8分,星期三例8 求积分解说明:以上几例中的被积函数都需要进行恒等变形,才能使用基本积分表.化积分为代数和的积分第24页,共32页,2022年,5月20日,15点8分,星期三25练

7、习 求积分解:第25页,共32页,2022年,5月20日,15点8分,星期三例9 求积分解:第26页,共32页,2022年,5月20日,15点8分,星期三解所求曲线方程为第27页,共32页,2022年,5月20日,15点8分,星期三基本积分表(1)(13)不定积分的性质 原函数的概念:不定积分的概念:求微分与求积分的互逆关系五、 小结第28页,共32页,2022年,5月20日,15点8分,星期三思考题符号函数在 内是否存在原函数?为什么?第29页,共32页,2022年,5月20日,15点8分,星期三思考题解答不存在.假设有原函数故假设错误所以 在 内不存在原函数.结论每一个含有第一类间断点的函数都没

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