非线性控制系统仿真与CAD课件

1、非线性控制系统仿真与CAD非线性控制系统仿真与CAD目 录1. 概述2. 相轨迹分析及CAD3. Lyapunov稳定性理论 4. 非线性系统反馈线性化方法5. 滑模变结构控制方法4.1 精确反馈线性化4.2 模型参考反馈线性化目 录1. 概述2. 相轨迹分析及CAD3. Lyapun微分方程与系统分类非线性系统线性系统定常系统时变系统输入输出参数时间本质非线性系统非本质非线性系统控制系统微分方程一般表达式微分方程与系统分类非线性系统线性系统定常系统时变系统输入输出线性系统及其控制理论线性系统的定义线性系统的定义：用函数描述法表达被控对象时，能用线性常微分方程或方程组来描述的系统称为线性系统。

2、线性系统理论线性系统控制理论简称为线性系统理论(以下同)，历史悠久，理论上较完善、技术上较成熟、应用也最广泛。它可分为古典控制方法和现代控制方法两大类。 古典控制方法：时域法、根轨迹法和*频域法。现代控制方法：状态空间理论、多变量频域法和其它几何、代数方法。线性系统及其控制理论线性系统的定义非线性系统及其控制理论非线性系统的定义非线性系统的定义：用函数描述法表达被控对象时，只能用非线性常微分方程或方程组来描述的系统称为非线性系统，或称为本质非线性系统。在现实中，绝大多数被控对象是非线性的。被控对象的许多非线性现象是线性系统理论无法解决的。被控对象中的非线性现象：具有饱和特性；具有多个平衡点或多

3、个操作点；状态变量或极限环发生周期性变化；发生混沌、分岔等复杂现象。0非线性系统及其控制理论非线性系统的定义0非线性系统及其控制理论非线性系统理论非线性系统理论即非线性系统控制理论，同样可分为古典控制方法和现代控制方法两大类。 古典控制方法：近似线性化法相平面分析法精确线性化法渐近展开计算法谐波平衡法(描述函数法)现代控制方法滑模变结构控制法 反步设计法齐次控制法微分平滑法其它微分几何方法非线性系统及其控制理论非线性系统理论现代控制方法无模型系统及其控制理论无模型系统的概念人们在控制理论的研究过程中发现：要找到较大较复杂被控对象的模型是比较困难的；过于精细复杂的模型往往是不必要的，有时可能有害

4、；对被控对象的分析和控制可以不通过模型来进行。于是，“无模型系统”的概念产生了。当把被控对象看成一个黑箱时，一切被控对象就成为“无模型系统” 。无模型系统及其控制理论无模型系统的概念无模型系统及其控制理论无模型系统的控制理论就是智能控制方法。智能控制至今尚无一个统一的定义。智能控制方法是一种更好地模仿人类智能的非传统控制方法。所谓“传统控制方法”，指的是被控对象和环境特征有明确的数字描述、控制目标清晰、可以量化的控制方法,即指上述的有模型系统的控制理论。模糊集控制神经网络控制粗糙集控制可拓控制灰色控制微粒群控制蚁群控制遗传控制免疫控制进化控制递阶分布式控制模糊控制神经网络控制专家系统控制学习控

5、制无模型系统及其控制理论无模型系统的控制理论就是智能控制方法。其它控制方法鲁棒控制自适应控制前馈控制预测控制容错控制被控对象的多样性，造就了控制方法的多样性控制电气机械其它控制方法鲁棒控制电气机械非线性系统表达式一般非线性系统统一表达式，涵盖线性非线性仿射非线性系统最普遍的类型机电系统二阶微分方程组一阶状态方程非线性系统表达式一般非线性系统非线性的来源固有非线性特性在现实中，绝大多数被控对象是非线性的串联机械臂之间的非线性耦合关系含有二极管、非线性电阻等非线性元件的电路线性只是非线性在一定条件下的近似直流电机磁场不稳定，饱和，磁滞特性电子元件的温漂特性，集肤效应机械振动，不同温度下变形附加非线

6、性特性饱和非线性死区滞环继电器特性非线性的来源固有非线性特性目 录1. 概述2. 相轨迹分析及CAD3. Lyapunov稳定性理论 4. 非线性系统反馈线性化方法5. 滑模变结构控制方法4.1 精确反馈线性化4.2 模型参考反馈线性化目 录1. 概述2. 相轨迹分析及CAD3. Lyapun考虑二阶系统：式中 和 是 和 的函数 由于 和 都是时间t的函数，因此当t取特定值时，在 - 平面上对应一个点。当t连续变化时，将在 - 平面上留下一条轨迹相轨迹或相平面图。相平面和相轨迹的基本概念考虑二阶系统：式中 和 相平面和相轨迹的基本概念相平面和相轨迹的基本概念1）相轨迹上每一个点都有确定的斜率

7、二阶系统 或等号两边同时除以 得令 则相轨迹方程，相轨迹上每一点的斜率都满足该方程相轨迹的几个性质1）相轨迹上每一个点都有确定的斜率二阶系统 2）相轨迹只能相交于奇点 每个初始条件出发都会有一条相轨迹，不同初始条件出发的相轨迹不会相交。 满足 的点称为相轨迹奇点。该点处相轨迹的斜率为一个不确定值，因此有无数多条相轨迹通过该点，他们的斜率各不相同。相轨迹的几个性质2）相轨迹只能相交于奇点 每个初始条件出发都会有一条相轨迹，3）相轨迹正交于 轴 轴上所有点， 总为0，这些点上相轨迹斜率为，表示相轨迹与该轴正交。 相平面的上半平面相轨迹向右运动，相平面的下半平面相轨迹向左运动。4）相轨迹的运动方向确

8、定相轨迹的几个性质3）相轨迹正交于 轴 轴上所有点， 总为0，这些点上1）解析法当系统相轨迹方程比较简单或易于分段线性化时,可使用解析法求出相轨迹方程的解,再绘制相轨迹。 方法是直接解出 和 对 的表达 式，消去 得到 和 的关系，绘 制到相平面中即可。相轨迹的绘制1）解析法 方法是直接解出 和 对 的表达相轨迹【例】含有理想继电器特性的非线性系统如图所示，试绘制其相轨迹。 解 系统线性部分输入/输出关系为 非线性部分输入/输出关系为 引入变换 例：绘制相轨迹【例】含有理想继电器特性的非线性系统如图所示，试绘制其相轨迹故该系统的相轨迹方程式为 对所得相轨迹方程进行分离变量积分，得式中A1,A2

9、为积分常数,由初始条件求得。例：绘制相轨迹故该系统的相轨迹方程式为 对所得相轨迹方程进行分离变量积分，由此,可在相平面上作出系统的相轨迹如图所示。直线c=r将相平面分为两个区域,即I区及II区,它们分别对应于上述两个方程式；每个区域内的相轨迹都是一族抛物线例：绘制相轨迹由此,可在相平面上作出系统的相轨迹如图所示。直线c=r将相平2）等倾线法难以解析法求解时,可使用等倾线法绘制相轨迹对非线性系统：将上式表示为：其中d/dx是相轨迹的斜率,令d/dx= ,为一常数,上式称为等顷线方程，各相轨迹与该曲线交点的斜率相等, 且等于 。则有相轨迹的绘制2）等倾线法对非线性系统：将上式表示为：其中d/dx是

10、相轨迹方法总结：（1）对于给定斜率 ,求解等顷线方程,得到一条等顷曲线。（2）给定不同的值,可在相平面上绘制不同的等倾曲线。（3）由给定的初始条件出发,沿各条等倾曲线所决定相轨迹的切线方向,依次画出系统相轨迹 相轨迹的绘制方法总结：相轨迹的绘制【例】 线性二阶系统的运动方程为试用等倾线法绘制系统的相轨迹解:等倾线的方程即有 所以等倾线是通过相平面原点的一些直线，当时的等倾线如图所示 例：绘制相轨迹【例】 线性二阶系统的运动方程为解:等倾线的方程即有 所以等无论解析法或是等倾线法，均需要人为干预如何实现应用Matlab辅助绘制相轨迹？依靠它所提供的强大数值计算能力直接求解微分方程并绘制每根相轨迹

11、示例程序应用Matlab绘制相轨迹X0=;dX0=;for i=1:length(X0)for j=1:length(dX0)t,y=ode45(nonlinearfunc,0,Tmax,X0(i) dX0(j);hold on;plot(y(:,1),y(:,2);endend直接进行数值积分，获得包从初值的运动轨迹无论解析法或是等倾线法，均需要人为干预应用Matlab绘制相线性系统非线性系统应用Matlab绘制相轨迹function dy =nonlinearfunc( t,y )dy=zeros(2,1);dy(1)=y(2);dy(2)=-y(1)*sin(y(2)-2*y(1);en

12、dfunction dy =linearfunc( t,y )dy=zeros(2,1);dy(1)=y(2);dy(2)=-2*y(1);end线性系统应用Matlab绘制相轨迹function dy =线性系统绘制程序应用Matlab绘制相轨迹phase_chart_demo.slxglobal x0; for x1=-3:0.5:0 x0=x1;0; tt,xx,yy=sim(phase_chart_demo,10,); plot(yy(:,1),yy(:,2); hold on; pause(0.1);end线性系统应用Matlab绘制相轨迹phase_chart_d应用Matlab绘

13、制相轨迹function drawphaseportrait(func,x0,y0)x,y = meshgrid(x0,y0);u = zeros(size(x);v = u; t=0; for i = 1:numel(x) Yprime = func(t,x(i); y(i); u(i) = Yprime(1); v(i) = Yprime(2);end for i = 1:numel(x)Vmod = sqrt(u(i)2 + v(i)2);u(i) = u(i)/Vmod;v(i) = v(i)/Vmod;end quiver(x,y,u,v,r); figure(gcf)xlabel(

14、y_1)ylabel(y_2)axis tight equal;hold onfor i=1:length(x0) for j=1:2:length(y0) ts,ys = ode45(func,0,50,x0(i);y0(j); plot(ys(:,1),ys(:,2) endendhold offfunction dy =nonlinearfunc( t,y ) dy=zeros(2,1); dy(1)=y(1)-y(2)-y(1)3; dy(2)=y(1)+y(2)-y(2)3;enddrawphaseportrait(nonlinearfunc,-2:0.2:2,-2:0.2:2)应用

15、Matlab绘制相轨迹function drawphas一般二阶系统奇点及其相平面图 一般二阶系统奇点及其相平面图 非线性系统相轨迹非线性系统相轨迹目 录1. 概述2. 相轨迹分析及CAD3. Lyapunov稳定性理论 4. 非线性系统反馈线性化方法5. 滑模变结构控制方法4.1 精确反馈线性化4.2 模型参考反馈线性化目 录1. 概述2. 相轨迹分析及CAD3. Lyapun稳定与不稳定系统在受到外力作用后，偏离了正常工作点，而当外作用力消失后，系统能够返回到原来的工作点，则称系统是稳定的.如图(a)所示若系统在扰动作用消失后不能恢复平衡状态，且偏差越来越大，则称系统是不稳定的。如图(b)

16、所示.稳定与不稳定系统在受到外力作用后，偏离了正常工作点，而当外作临界稳定临界稳定：若系统在扰动消失后，输出与原始的平衡状态间存在恒定的偏差或输出维持等幅振荡，则系统处于临界稳定状态。注意：经典控制论中，临界稳定也视为不稳定。原因：(1)分析时依赖的模型通常是简化或线性化； (2)实际系统参数的时变特性； (3)系统必须具备一定的稳定裕量。临界稳定临界稳定：若系统在扰动消失后，输出与原始的平衡状态间绝对稳定与相对稳定系统的稳定性分绝对稳定性和相对稳定性两种。系统的绝对稳定性是指系统稳定（或不稳定）。系统的相对稳定性是指稳定系统的稳定程度。相对稳定性好相对稳定性差绝对稳定与相对稳定系统的稳定性分

17、绝对稳定性和相对稳定性两种。定义：系统受到干扰后恢复到平衡位置的能力！ 系统输入为单位脉冲函数 ，如果输出 随时间的推移趋于零，即 ，则系统稳定 若 ，则系统不稳定内涵：它是系统去掉扰动后本身自由运动的性质，是系统的固有性质，与输入无关。对于线性系统，只取决于系统的结构参数。稳定性的定义定义：系统受到干扰后恢复到平衡位置的能力！稳定性的定义一般二阶系统奇点及其相平面图 一般二阶系统奇点及其相平面图 一个非线性系统的例子一个非线性系统的例子如何判断非线性系统的稳定性？对于非线性、时变、多输入多输出控制系统稳定性问题的研究，经典控制理论无能为力。只有利用俄罗斯科学家李亚普诺夫（A. M. Lyap

18、unov）的稳定性理论来分析和研究。A. M. Lyapunov于1892年出版专著运动系统稳定性的一般问题，使得Lyapunov稳定性理论已经成为控制理论的最重要的几个柱石之一。主要内容：Lyapunov第一法Lyapunov第二法如何判断非线性系统的稳定性？对于非线性、时变、多输入多输出控Lyapunov第一法求出线性化以后的常微分方程的解，分析原系统的稳定性Lyapunov第二法不需要求解微分方程的解，而能够提供系统稳定性的信息对于非线性、时变、多输入多输出系统来说，第二种方法特别重要。李亚普诺夫第二法又称为直接法。这种方法是基于一种广义能量函数及其随时间变化的特性来研究系统稳定性的。能

19、量Lyapunov稳定性理论Lyapunov第一法能量Lyapunov稳定性理论例 一个弹簧质量阻尼器系统，如下图示。系统的运动由如下微分方程描述。令（1）选取状态变量则系统的状态方程为（2）从经典控制理论分析其稳定性从一个例子谈起例 一个弹簧质量阻尼器系统，如下图示。系统的运动由如下在任意时刻，系统的总能量显然，当 时 ，而当 时而总能量随时间的变化率为可见，只有在 时， 。在其他各处均有 ，这表明系统总能量是衰减的，因此系统是稳定的。 Lyapunov第二法是研究系统平衡状态稳定性的。从一个例子谈起动能弹性势能总机械能在任意时刻，系统的总能量显然，当 平衡点/状态平衡点X不再变化的点仿射非

20、线性系统平衡点开环平衡点闭环平衡点平衡点/状态平衡点则非线性时变系统定义 对于任意给定的实数 ，都对应存在实数 ，使满足的任意初始状态 出发的轨线 有 （对所有 t t0）成立，则称 为Lyapunov意义下是稳定的。李亚普诺夫意义下稳定性的定义则非线性时变系统定义 对于任意给定的实数 Lyapunov意义下稳定渐进稳定如果系统的平衡状态 是稳定的。从平衡状态的某个充分小的领域内出发的状态轨线 ，当 时，收敛于 ，则称 为渐近稳定。李亚普诺夫意义下稳定性的定义Lyapunov意义下稳定渐进稳定如果系统的平衡状态 一致渐进稳定全局渐进稳定不稳定李亚普诺夫意义下稳定性的定义一致渐进稳定全局渐进稳定

21、不稳定李亚普诺夫意义下稳定性的定义用Lyapunov第一近似理论分析非线性系统稳定性非线性定常系统方程为如果当 ，有 ，则 为高阶无穷小项。 设 在 的邻域内，可以展开成台劳级数：李亚普诺夫第一法用Lyapunov第一近似理论分析非线性系统稳定性非线性定常忽略高阶无穷小，得到非线性系统的线性化模型其中这是一个雅可比矩阵李亚普诺夫第一法忽略高阶无穷小，得到非线性系统的线性化模型其中这是一个雅可比设线性定常系统状态方程为4.1 线性二次型最优控制器设计设线性定常系统状态方程为4.1 线性二次型最优控制器设计定理4-6 如果式（20）所描述的线性化系统，A 的所有特征值具有负实部，则式（18）所描述

22、的非线性系统在 处为渐近稳定。定理4-7 如果式（20）所描述的线性化系统，A 的所有特征值中如果有一个（或一个以上）具有正实部，则式（18）所描述的非线性系统在 处为不稳定。Lyapunov第一法由以下3个定理组成：定理4-8 如果式（20）所描述的线性化系统，A 的特征值中有实部为零的，而其余的特征值实部均为负，则式（18）所描述的非线性系统在 处是否为稳定则不能确定。（要取决于高阶项）李亚普诺夫第一法定理4-6 如果式（20）所描述的线性化系统，A 的所有李亚普诺夫第二法李亚普诺夫第二法少了第3个条件，不能保证渐近稳定，只能保证一致稳定李亚普诺夫第二法少了第3个条件，不能保证渐近稳定，只

23、能保证一致稳定李亚普诺夫 到目前为止，人类还没有找到构造Lyapunov函数的一般方法。因为Lyapunov第二法给出的结果是系统稳定性的充分条件。因此，对于某个系统来说，找不到合适的Lyapunov函数，既不能说系统稳定，也不能说系统不稳定，只能说无法提供有关该系统稳定性的信息（即：inconclusive 没有得出结论）。李亚普诺夫第二法 到目前为止，人类还没有找到构造Lyapuno目 录1. 概述2. 相轨迹分析及CAD3. Lyapunov稳定性理论 4. 非线性系统反馈线性化方法5. 滑模变结构控制方法4.1 精确反馈线性化4.2 模型参考反馈线性化目 录1. 概述2. 相轨迹分析及

24、CAD3. Lyapun目 录非线性系统线性化方法条件苛刻，计算复杂基本思想：一阶近似适用于工作点范围不大情况基本思想：通过坐标变换把强非线性系统变换成弱非线性系统或通过状态反馈以保持线性系统的部分特点。传统近似线性化精确线性化现代近似线性化目 录非线性系统线性化方法条件苛刻，计算复杂基本思想：一阶近似线性化传统近似线性化最小二乘法泰勒展开傅里叶级数展开误差最小忽略高阶项忽略高次谐波雅可比矩阵忽略高阶项传统近似线性化方法近似线性化传统近似线性化最小二乘法泰勒展开傅里叶级数展开误差近似线性化局部近似线性化方法近似线性化局部近似线性化方法 目前反馈线性化的方法主要有两种：1）精确线性化方法(exa

25、ct linearization method)，如微分几何方法，隐函数方法和逆系统方法等；2）基于参考模型的渐近线性化方法，如模型参考方法及模型参考自适应方法等。而确切地说，这两种线性化方法都是模型参考方法，不过前者可称为隐含模型参考方法（implicit model reference approach），而后者为实际模型参考方法（real model refernce approach）。非线性系统反馈线性化绪论 非线性系统的反馈线性化是近年来引起人们极大兴趣的一种非线性控制系统设计方法。这种方法的思路是通过状态或输出的反馈，将一个非线性系统的动态特性变成（全部或部分）线性的动态特性，从

26、而可以应用熟知的线性控制的方法对系统进行设计与控制。反馈线性化通过严格的状态变换与反馈变换来达到，线性化过程中没有忽略任何高阶非线性项，因而这种线性化是精确的。 目前反馈线性化的方法主要有两种：非线性系统反馈例 控制水箱液面高度考虑将水箱中液面的高度h，控制在指定的高度 ，控制输入是进入水箱的液体流量u，初始高度为 。 其中 是水箱的横截面积，a是出水管的横截面积。如果初始高度 与期望高度 相差悬殊，h的控制就是一个非线性调节问题。 动态方程式可重写为:水箱的动态模型为 反馈线性化与标准型h最简单形式的反馈线性化是将非线性系统中的非线性抵消掉，使闭环动态特性变成线性形式例 控制水箱液面高度 其

27、中 是水箱的横截面 式中 为待求的“等效输入” 选取 为其中 为液面高度误差，a为一严格正常数，则得到闭环动态方程为： 这说明当时 ， 。实际的输入流量由下列非线性控制律确定：式中，右端第一项用来提供输出流量 ，第二项则是用来根据期望的线性动态特性式去改变液面高度。反馈线性化与标准型若选 ？exp(-bt) 反馈线性化与标准型若选 ？exp(-bt)类似地，如果期望高度是一个已知的时变函数 ，则等效输入 可选为： 从而仍得到 时 的结果。反馈线性化与标准型类似地，如果期望高度是一个已知的时变函数 反馈线性化与标准型反馈线性化与标准型 反馈线性化的想法，即抵消非线性并施加一个期望的线性动态特性，

28、可以直接应用于一类由所谓伴随型或能控标准形所描述的非线性系统。 所谓一个系统是伴随型的，是指其动态方程可以表示为 其中u是标量控制输入，x是所关注的标量输出， 是状态矢量， 与 是状态的非线性函数。这种形式的特点是尽管方程中出现x的各阶导数，但是不出现输入u的导数。若用状态空间表示，可写为：反馈线性化与标准型 反馈线性化的想法，即抵消非线性并施加一个期望的线性动反馈线性化与标准型机电系统统一动力学模型反馈线性化与标准型机电系统统一动力学模型若使用控制输入 （假定 不为零）就能抵消掉非线性特性而获得一个简单的输入输出关系因此控制可选为其中 选择使得多项式 的所有根均严格位于左半平面从而导致指数稳

29、定的动态特性反馈线性化与标准型若使用控制输入反馈线性化与标准型 对于跟踪期望轨迹 的任务，控制律可选为：其中 为跟踪误差，该控制律导致指数收敛跟踪。若标量x换成矢量，标量b换成可逆方阵，亦可获得类似的结果。 反馈线性化与标准型 对于跟踪期望轨迹 的任务，控制律可选一维机械手位置伺服控制系统选定状态变量原系统状态方程形式引入虚拟输入反馈线性化与标准型一维机械手位置伺服控制系统反馈线性化与标准型非线性控制系统仿真与CAD课件非线性控制系统仿真与CAD课件反馈线性化与标准型一般假设对于形如可以定义进而有最后应用模型中x,u可以为向量也可以对系统中一部分进行反馈线性化反馈线性化与标准型一般假设2DOF

30、机械手伺服控制系统选择状态变量反馈线性化与标准型惯性力项离心力重力/保守力外力2DOF机械手伺服控制系统反馈线性化与标准型惯性力项离心力重2DOF机械手伺服控制系统虚拟输入转换关系反馈控制律反馈线性化与标准型2DOF机械手伺服控制系统反馈线性化与标准型反馈线性化与标准型反馈线性化与标准型function plot2arm(u)q1=u(1);q2=u(2);q1d=u(3);q2d=u(4); l1=1;l2=2; x1=l1*cos(q1);y1=l1*sin(q1);x2=l1*cos(q1)+l2*cos(q1+q2);y2=l1*sin(q1)+l2*sin(q1+q2); x1d=l

31、1*cos(q1d);y1d=l1*sin(q1d);x2d=l1*cos(q1d)+l2*cos(q1d+q2d);y2d=l1*sin(q1d)+l2*sin(q1d+q2d); clf;plot(0 x1 x2,0 y1 y2,*-);hold on;plot(0 x1d x2d,0 y1d y2d,ro-);axis(-3 3 -3 3);反馈线性化与标准型function plot2arm(u)反馈线性化与标准型结合运动学模型设计目标轨迹反馈线性化与标准型结合运动学模型设计目标轨迹反馈线性化与标准型反馈线性化与标准型function ts,dd1,d1,q1,dd2,d2,q2=tr

32、ansformx2theta(w,d,r)deltaT=0.001;t=0:deltaT:11;ts=t;x=d+r*cos(w*t);y=r*sin(w*t);theta2=pi-acos(5-(x.2+y.2)/4);theta1=atan(y./x)-atan(2*sin(theta2)./(1+2*cos(theta2); dtheta1=diff(theta1)/deltaT;ddtheta1=diff(dtheta1)/deltaT;dtheta2=diff(theta2)/deltaT;ddtheta2=diff(dtheta2)/deltaT; dtheta1=dtheta1(

33、1) dtheta1;ddtheta1=ddtheta1(1) ddtheta1(1) ddtheta1;dtheta2=dtheta2(1) dtheta2;ddtheta2=ddtheta2(1) ddtheta2(1) ddtheta2; dd1=ddtheta1;d1=dtheta1;q1=theta1;dd2=ddtheta2;d2=dtheta2;q2=theta2;反馈线性化与标准型function ts,dd1,d1,q反馈线性化与标准型反馈线性化与标准型需要精确模型结构与参数能控标准形下通过输入抵消非线性项变换完成系统结构高阶微分方程控制系统结构 反馈线性化小结需要精确模型结

34、构与参数反馈线性化小结 在非线性系统的模型参考方法中，基于李亚普诺夫直接方法的非线性系统反馈线性化方法是最重要和最有效的一种设计方法。 运用控制系统动平衡状态的概念，提出一种建立在控制系统动平衡状态渐近稳定概念上的新的设计方法。本方法认为：控制系统的输入直接控制的是系统的动平衡状态。系统的输出和状态是在系统结构的约束下运动的。当系统对其平衡状态大范围渐近稳定时，其状态将在系统结构约束下渐近收敛于系统的平衡状态。当其平衡状态运动时，系统的状态亦将跟踪其平衡状态运动。因此控制系统平衡状态的运动，即可实现对系统运动状态及输出的控制。 模型参考方法在跟踪控制系统设计中是一种十分有效的方法。这一方法不仅

35、在相对复杂的非线性系统设计中得到应用，即使在线性定常系统的设计中同样也得到大量的应用。模型参考反馈线性化方法动平衡状态自由运动期望运动 在非线性系统的模型参考方法中，基于李亚普诺夫直接方法按上述思想，提出如下的基于平衡状态控制原理的非线性控制系统反馈线性化的直接方法：（1）按系统的动态性能要求设计一满足希望特性的线性动态系统作为模型参考系统。（2）以模型参考系统的状态作为实际被控系统的被控平衡状态。利用李亚普诺夫直接方法设计控制律使系统对动平衡状态渐进稳定。从而被控系统近似具有模型参考系统的动态特性，实现非线性系统的反馈线性化。 为此，控制系统的设计可分为两步：首先，设计控制律使系统的平衡状态

36、按预定的方式运动。然后，按某一指标设计系统，使其状态按最佳方式向平衡状态收敛，从而实现对状态的控制。这一方法很好地解决了将仅适用于自由动态系统分析与设计的李亚普诺夫直接方法应用于跟踪控制问题所带来的理论冲突，将稳定性问题（调节问题）与跟踪问题统一起来。为控制系统的分析与设计提供了一条新的思路。模型参考反馈线性化方法动平衡状态原始模型参考模型按上述思想，提出如下的基于平衡状态控制原理的非线性控制系统反其中， 为状态向量， 为控制向量， 为向量函数。 其中 为状态向量， 为控制向量， , 为常数矩阵，并且 的所有特征值均具有负实部。则下述基于李雅普诺夫第二方法的设计可以实现系统状态 对 的渐近跟踪

37、，从而实现非线性系统动态特性的线性化。考虑一般的非线性系统设希望的线性系统动态特性为令状态偏差为 ，则有 由以上两式可得系统的状态偏差方程为：基于动平衡状态理论的反馈线性化直接方法其中， 为状态向量， 为控制向量其中 ，且 。则有 的导数为： 其中 ， 为标量函数。取状态偏差的二次型函数 因为当状态偏差 的欧几里德范数 时， ，平衡状态 是在大范围内渐近稳定的。从而有 时， 。 由于 的所有特征值均具有负实部，因此可找到正定矩阵 ，使 为一负定矩阵。若能选取控制向量 （ 为可能用到的 的各阶导数），使 ，则 为李雅普诺夫函数。基于动平衡状态理论的反馈线性化直接方法其中 ，且 。 定理1 给定上

38、述非线性时变系统及模型参考系统 。设 稳 定， 是模型参考自由系统（对应于 ）在原点平衡状态的李雅普诺夫函数。那么，若存在控制 使 若能选择 使 在所考虑的系统参数变化范围内非正，则可保证系统具有参数不确定时反馈线性化的鲁棒性。 若选取的 使 ，则称非线性系统被精确线性化。则偏差系统的原点平衡状态是大范围一致渐近稳定的。基于动平衡状态理论的反馈线性化直接方法 定理1 给定上述非线性证明： 因为 是偏差自由系统在平衡状态的李雅普诺夫函数，因此有 负定。 定理2 考虑前述状态偏差系统。设其对应的自由动态系统 在平衡状态 大范围一致渐近稳定， 是自由系统在平衡状态的李雅普诺夫函数。如果控制策略 使则

39、被控的状态偏差系统是大范围一致渐近稳定。将 作为偏差控制系统的可能的李亚普诺夫函数，有 由于上式右端第一项负定，显然若定理中公式成立，则 负定。被控状态偏差系统大范围一致渐近稳定。平衡状态基于动平衡状态理论的反馈线性化直接方法证明： 定理2 考虑前述状态偏差系设系统由下述微分方程表示 其中为 输入， 为输出。取输出及其前n-1阶导数为状态变量，原始方程可表示为如下的状态空间表达形式：简记为SISO反馈线性化直接方法及鲁棒设计 其中 为状态向量， 表示控制 及其前m阶导数。原始模型设系统由下述微分方程表示 其中为 输入， 设上述系统的希望动态特性可用下述线性定常模型系统表示： 其中 为希望输出，

40、 为模型的输入， ， 为常数。同样取 及其前n-1阶导数为状态变量，可得其对应的可控型状态空间表达式为： 其中 为模型的状态向量； ， ， 为常数。SISO反馈线性化直接方法及鲁棒设计期望模型线性系统能控标准型设上述系统的希望动态特性可用下述线性定常模型系统表示： 根据动平衡状态理论，我们可以将 作为被控系统的动平衡状态，通过设计合适的控制律，使所构成的控制系统中被控状态 对动平衡状态 在大范围内渐近稳定。从而实现 对 ，亦即 对 的渐近逼近，使被控系统具有所希望的动态特性。实现上述目标的一个直接方法便是利用李雅普诺夫第二方法。为此，以 为动平衡状态，定义误差向量由 及 可得取状态偏差的二次型

41、函数其中 ，且 。则有 的导数为：SISO反馈线性化直接方法及鲁棒设计 根据动平衡状态理论，我们可以将 作为被控系统的动 其中： 为标量函数。 由于原始系统和参考系统均为可控型， 的确定可以进一步简化。我们有： 其中：SISO反馈线性化直接方法及鲁棒设计 其中： 由于原始系统和参考系统均为可控型， ， 为标量，以后的计算中，只需根据 可确定控制规律 。 因为当状态偏差 的欧几里德范数 时， ，平衡状态 是在大范围内渐近稳定的，即 为控制系统的大范围渐近稳定的动平衡状态。从而有 时， 。 由上面的分析可直接给出如下定理： 定理3 给定非线性时变系统及模型参考系统。设 稳定， 为模型参考自由系统（

42、 ）在原点平衡状态的李亚普诺夫函数。那么，若存在控制 使则偏差系统 的原点平衡状态是大范围一致渐近稳定的。非线性时变系统的输出渐近跟踪参考模型的输出。 若能选择 使 在所考虑的系统参数变化范围内非正，则可保证系统具有参数不确定时反馈线性化的鲁棒性。 在这一方法中，若令 ，即可实现系统的精确线性化。若非线性系统是仿射非线性的，则其结果同微分几何方法。SISO反馈线性化直接方法及鲁棒设计 ， 为标量，以后的计算中，只需根据 考虑仿射非线性系统 选取 及其前n-1阶导数为状态变量，可将其转换为式（2.1）形式的状态空间表达式，且其中 由定理3，令 ，可实现仿射非线性系统的精确线性化。精确线性化得控制

43、策略为1.精确线性化仿射非线性系统输入输出线性化及鲁棒设计 考虑仿射非线性系统 选取 及其前n-1阶导数为状（1）设仿射非线性系统具有不确定性 其中 ，则控制策略 将使系统鲁棒线性化。证明： 将 代入 整理后有 ，于是有： 由定理3，偏差系统的原点平衡状态是大范围一致渐近稳定的。非线性时变系统的输出渐近跟踪参考模型的输出。仿射非线性系统输入输出线性化及鲁棒设计 2.鲁棒线性化设计（1）设仿射非线性系统具有不确定性 其中 其中 ， 。不失一般性，设则控制策略将使系统鲁棒线性化。证明： 将 代入 整理后有由定理3，偏差系统的原点平衡状态是大范围一致渐近稳定的。非线性时变系统的输出渐近跟踪参考模型的

44、输出。仿射非线性系统输入输出线性化及鲁棒设计 （2）设仿射非线性系统具有不确定性 其中 ， 单自由度机械臂假设存在不同负载会改变其质量m和相应I研究它的鲁棒性线性化控制器设计原始模型参考模型例：单自由度机械臂的鲁棒设计单自由度机械臂原始模型参考模型例：单自由度机械臂的鲁棒设计原始模型参考模型例：单自由度机械臂的鲁棒设计原始模型参考模型例：单自由度机械臂的鲁棒设计例：单自由度机械臂的鲁棒设计例：单自由度机械臂的鲁棒设计例：单自由度机械臂的鲁棒设计质量变化曲线输出响应曲线误差变化曲线力矩输入曲线例：单自由度机械臂的鲁棒设计质量变化曲线输出响应曲线误差变化目 录1. 概述2. 相轨迹分析及CAD3.

45、 Lyapunov稳定性理论 4. 非线性系统反馈线性化方法5. 滑模变结构控制方法4.1 精确反馈线性化4.2 模型参考反馈线性化目 录1. 概述2. 相轨迹分析及CAD3. Lyapun变结构控制（VSC）概念 本质上是一类特殊的非线性控制，其非线性表现为控制作用的不连续性。与其他控制策略的不同之处：系统的“结构”并不固定，而是在动态过程中，根据系统当前的状态有目的地不断变化。 结构的变化若能启动“滑动模态”运动，称这样的控制为滑模控制。注意：不是所有的变结构控制都能滑模控制，而滑模控制是变结构控制中最主流的设计方法。 所以，一般将变结构控制就称为滑模控制(SMC)，为了突出变结构这个特点

46、，本书统称为滑模变结构控制。滑模变结构控制变结构控制（VSC）概念滑模变结构控制滑动模态定义 人为设定一经过平衡点的相轨迹，通过适当设计，系统状态点沿着此相轨迹渐近稳定到平衡点，或形象地称为滑向平衡点的一种运动，滑动模态的”滑动“二字即来源于此。系统结构定义 系统的一种模型，即由某一组数学方程描述的模型，称为系统的一种结构，系统有几种不同的结构，就是说它有几种(组)不同数学表达式表达的模型。滑模变结构控制滑动模态定义 滑模变结构控制滑模控制优点 滑动模态可以设计且与对象参数和扰动无关，具有快速响应、对参数变化和扰动不灵敏（ 鲁棒性）、无须系统在线辨识、物理实现简单。 滑模控制缺点 当状态轨迹到

47、达滑动模态面后，难以严格沿着滑动模态面向平衡点滑动，而是在其两侧来回穿越地趋近平衡点，从而产生抖振滑模控制实际应用中的主要障碍。滑模变结构控制滑模控制优点 滑模变结构控制20世纪50年代： 前苏联学者Utkin和Emelyanov提出了变结构控制的概念，研究对象：二阶线性系统。20世纪60年代： 研究对象：高阶线性单输入单输出系统。主要讨论高阶线性系统在线性切换函数下控制受限与不受限及二次型切换函数的情况。1977年： Utkin发表一篇有关变结构控制方面的综述论文，系统提出变结构控制VSC和滑模控制SMC的方法。滑模变结构控制20世纪50年代：滑模变结构控制右端不连续微分方程 一般地，具有右

48、端不连续微分方程的系统可以描述为其中： 是状态 的函数，称为切换函数。满足可微分，即 存在。微分方程的右端不连续， 结构变化得到体现，即根据条件 的正负改变结构 为一种系统结构， 为另一种系统结构。从而满足一定的控制要求。滑模变结构控制基本原理右端不连续微分方程滑模变结构控制基本原理由此,可在相平面上作出系统的相轨迹如图所示。直线c=r将相平面分为两个区域,即I区及II区,它们分别对应于上述两个方程式；每个区域内的相轨迹都是一族抛物线例：绘制相轨迹由此,可在相平面上作出系统的相轨迹如图所示。直线c=r将相平 微分方程在 上没有定义，因此需确定其上系统微分方程： 独立变量变为n-1个，滑模面上方

49、程较原方程阶数降低。 我们称 为不连续面、滑模面、切换面。它将状态空间分为两部分，如图所示。 右端不连续微分方程右端不连续微分方程在切换面上的运动点有3种情况。 (1)常点状态点处在切换面上附近时，从切换面上的这个点穿越切换面而过，切换面上这样的点就称做作常点，如图中点A所示。 (2)起点状态点处在切换面上某点附近时，将从切换面的两边中的一边离开切换面上的这个点，切换面上这样的点就称做作起点，如图中点B所示。 (3)止点状态点处在切换面上某点附近时，将从切换面的两边中的一边趋向该点，切换面上这样的点就称做作止点，如图中点C所示。右端不连续微分方程在切换面上的运动点有3种情况。右端不连续微分方程

50、 若切换面上某一区域内所有点都是止点，则一旦状态点趋近该区域，就会被“吸引”到该区域内运动。此时，称在切换面上所有的点都是止点的区域为“滑动模态”区域。系统在滑动模态区域中的运动就叫做“滑动模态运动”。按照滑动模态区域上的点都必须是止点这一要求，当状态点到达切换面附近时，必有：上式称为局部到达条件。右端不连续微分方程 若切换面上某一区域内所有点都是止点，则一旦状态 对局部到达条件扩展可得全局到达条件： 相应地，构造李雅普诺夫型到达条件：满足上述到达条件，状态点将向切换面趋近，切换面为止点区。右端不连续微分方程 对局部到达条件扩展可得全局到达条件：右端不连续微分方程有一控制系统状态方程为需要确定切换函数 求解控制作用滑模变结构控制三要素：满足可达性条件，即在切换面以外的运动点都将在有限时间内到达切换面；(2) 滑动模态存在性；(3) 保证滑动模态运动的渐近稳定性并具有良好的动态品质。滑模变结构控制的定义有一控制系统状态方程为滑模变结构控制的定义设二阶系统的运动微