高等工程热力学-第5讲概要课件

1、高等工程热力学第5讲 可压缩流体在管道内的流动1by Professor Liu Zhongliang高等工程热力学第5讲 可压缩流体在管道内的流动1by Pro本讲内容基本概念与基本方程理想气体的等熵流动范诺流等温摩擦流瑞利流2by Professor Liu Zhongliang本讲内容基本概念与基本方程2by Professor Liu一、基本概念与基本方程引言研究对象管流，或可以简化为一维流动的通道内的稳定流动一维：V/A很大，L/de1，流道的长度不是主要影响因素侧重点：热力学上的3by Professor Liu Zhongliang一、基本概念与基本方程引言3by Profess

2、or Liu管流的分类变截面流：喷管与扩压管等截面流：绝热摩擦流等温摩擦流可逆非绝热流天然气管道；煤气管道；蒸汽管道；换热器内的流动；4by Professor Liu Zhongliang管流的分类变截面流：喷管与扩压管4by Professor 滞止状态（Stagnation States)绝热滞止（adiabatic stagnation)与外界没有功量与热量的交换由流动状态逐步过渡到静止状态流体此时所处的状态：滞止状态滞止参数（stagnation parameters）滞止状态流体的参数用下标“0”表示5by Professor Liu Zhongliang滞止状态（Stagnati

3、on States)绝热滞止（ad滞止状态根据稳定流动能量方程：c, h, T, p,.Adiabatic stagnation0, h0, T0, p0,.h 流体的焓， J/kgc 流体的流动速度, m/sh0 流体的滞止焓, J/kg6by Professor Liu Zhongliang滞止状态根据稳定流动能量方程：c, h, T, p,.Ad滞止状态当流体在管道内作无轴功的绝热流动时：如果流动是可逆的，不存在摩擦损失流动过程中滞止焓保持不变流动过程中各点的滞止状态相同如果流动不是可逆的，存在摩擦损失流动过程中滞止焓保持不变流动过程中各点的滞止状态不同7by Professor Liu

4、 Zhongliang滞止状态当流体在管道内作无轴功的绝热流动时：7by Prof可压缩性可压缩流动：可压缩流体：compressible fluids流动过程中，不能忽略密度变化的流体密度的变化：源于压力的变化可压缩性 compressibility压力引起的密度变化：该值越大，说明其可压缩性越强8by Professor Liu Zhongliang可压缩性可压缩流动：该值越大，说明其可压缩性越强8by Pr声速 sound speed该量与微弱压力扰动的传播速度（声速，音速）a有关：For perfect gases,9by Professor Liu Zhongliang声速 soun

5、d speed该量与微弱压力扰动的传播速度（声声速 sound speed其中， 密度，kg/m3 densityv 比容, m3/kg specific volume p 压力, Pa N/m2 pressures 熵, J/(kgK) entropyR 气体常数, J/(kgK) gas constantk 比热比（绝热指数） adiabatic indexT 绝对温度, K absolute temperature10by Professor Liu Zhongliang声速 sound speed其中，10by Professo声速 sound speedIt can be shown

6、 that for real gases, the sound speed can be expressed as the following请大家给出相应的证明11by Professor Liu Zhongliang声速 sound speedIt can be shown 马赫数 Mach numberDefinitionClassification of Compressible flows:Subsonic flows: M 1 12by Professor Liu Zhongliang马赫数 Mach numberDefinitionClass用M表示滞止参数理想气体，一维绝热流动

7、13by Professor Liu Zhongliang用M表示滞止参数理想气体，一维绝热流动13by Profes用M表示滞止参数再利用绝热过程方程14by Professor Liu Zhongliang用M表示滞止参数再利用绝热过程方程14by Professo基本方程式Basic Equations15by Professor Liu Zhongliang基本方程式Basic Equations15by Profe连续性方程 Continuity equation 一维可压缩流，无化学反应xAdx(cA)x(cA)x+dx16by Professor Liu Zhongliang连续

8、性方程 Continuity equation 一维可压Continuity equation研究质量守恒情况d时间内在x处流入CV的质量为： mx=cA d (8)d时间内在x+dx处流出CV的质量为：mx+dx17by Professor Liu ZhongliangContinuity equation研究质量守恒情况17bContinuity equationd时间内CV质量增加了，按质量守恒原理，18by Professor Liu ZhongliangContinuity equationd时间内CV质量增加Continuity equation将式（9）和式（10）代入式（11）

9、，有，19by Professor Liu ZhongliangContinuity equation将式（9）和式（10）Continuity equationFor steady or incompressible flows,Or,Differentiating Eq. (14) to give,20by Professor Liu ZhongliangContinuity equationFor steady Continuity equationFor incompressible flows, dv=0, therefore That is, the velocity c alwa

10、ys decreases with the flow area AFor compressible flows?21by Professor Liu ZhongliangContinuity equationFor incomprMomentum equationSame assumptions as continuity equationForce balance analysis: xAdxpxSSpx+dx22by Professor Liu ZhongliangMomentum equationSame assumptiMomentum equation基本原理：冲量定理Where F

11、x Forces acting along x-direction d(mc)/d Increment of the x-direction momentum per unit time 23by Professor Liu ZhongliangMomentum equation基本原理：冲量定理WherMomentum equation单位时间内x 处流入系统的动量：单位时间内x+dx 处流出系统的动量：24by Professor Liu ZhongliangMomentum equation单位时间内x 处流入系统的Momentum equation将式（17）代入式（18）得到，单位时

12、间内CV内流体的动量增加了，25by Professor Liu ZhongliangMomentum equation将式（17）代入式（18）Momentum equation单位时间内，流体流过CV后，x方向的动量实际上增加了：将式（20）和式（19）代入上式得到：26by Professor Liu ZhongliangMomentum equation单位时间内，流体流过CV后Momentum equation按冲量定理，它应该等于作用在x方向上的合力。作用在x方向上的力包括：压力摩阻力体积力27by Professor Liu ZhongliangMomentum equation

13、按冲量定理，它应该等于作用Pressure forcesPressure forces:Pressure at xPressure at x+dxxAdxpxSSpx+dx28by Professor Liu ZhongliangPressure forcesPressure forces摩阻力S shear stressA flow areaD Hydraulic diameterxAdxpxSSpx+dxf 摩阻系数（skin friction factor)29by Professor Liu Zhongliang摩阻力S shear stressxAdxpxSSpx+d体积力（body

14、 force)F 单位质量物质的体积力 F与x正方向之间的夹角30by Professor Liu Zhongliang体积力（body force)F 单位质量物质的体积力3作用在x方向上的合力将（25）和（21）代入（16），整理后得到，31by Professor Liu Zhongliang作用在x方向上的合力将（25）和（21）代入（16），整理后Momentum equation或者写成如果忽略体积力，32by Professor Liu ZhongliangMomentum equation或者写成如果忽略体积力，3能量方程（Energy equation）Steady flow

15、 systems onlyThe equation is: If shaft work and potential energy change are neglected, then33by Professor Liu Zhongliang能量方程（Energy equation）Steady flEnergy equation If shaft work and potential energy change are neglected, then34by Professor Liu ZhongliangEnergy equation If shaft w熵方程(Entropy equati

16、on)开口系统稳定流动系统对于稳定流动系统，35by Professor Liu Zhongliang熵方程(Entropy equation)开口系统稳定流动系Entropy equation有，其中，令，36by Professor Liu ZhongliangEntropy equation有，其中，令，36by PrEntropy equation通道内的流动，在微元管段dx上，有37by Professor Liu ZhongliangEntropy equation通道内的流动，在微元管段dxEntropy equation按热力学基本方程，代入方程（33），38by Profes

17、sor Liu ZhongliangEntropy equation按热力学基本方程，代入方程（Entropy equation讨论：根据熵增原理于是，这一结果表明，流动过程中机械能只能减少，不可能增加！39by Professor Liu ZhongliangEntropy equation讨论：根据熵增原理于是，这一Entropy equation如果忽略位能的变化，那么 这一结果说明：动能的减少，不可能100地转化为压力能！40by Professor Liu ZhongliangEntropy equation如果忽略位能的变化，那么 理想气体的定常等熵流动Steady Isentro

18、pic Flow of Ideal Gases41by Professor Liu Zhongliang理想气体的定常等熵流动Steady Isentropic FBasic EquationsIsentropic, frictionless, zero body force42by Professor Liu ZhongliangBasic EquationsIsentropic, friBasic Equations特点：待求变量多方程数目多求解方法也多Adiabatic, without shaft work, zero potential energy variation!43by P

19、rofessor Liu ZhongliangBasic Equations特点：Adiabatic, w喷管内的一维流动One-dimensional flow in nozzles喷管：变截面流道研究重点：截面积变化对流动参数的影响对于理想气体，h=cpT=cppv/R所以，44by Professor Liu Zhongliang喷管内的一维流动One-dimensional flow One-dimensional flow in nozzles由过程方程，pvk=const代入方程（41a)，并注意到，代入能量方程（38），45by Professor Liu ZhongliangO

20、ne-dimensional flow in nozzleOne-dimensional flow in nozzles由声速的定义代入连续性方程46by Professor Liu ZhongliangOne-dimensional flow in nozzleOne-dimensional flow in nozzles再将（43）代入（44a）由过程方程47by Professor Liu ZhongliangOne-dimensional flow in nozzleOne-dimensional flow in nozzles于是我们得到：48by Professor Liu Zho

21、ngliangOne-dimensional flow in nozzle讨论可以看出：M1时A c , v , p (喷管，nozzles）A c , v , p （扩压管,pressure increaser)49by Professor Liu Zhongliang讨论可以看出：49by Professor Liu Zhon结论对于亚音速流，随着流通面积的减小，速度增大，直至M=1对于超音速流，随着流通面积的增大，速度增大，M能够将亚音速流连续变为超音速流的装置叫Laval nozzle50by Professor Liu Zhongliang结论对于亚音速流，随着流通面积的减小，速度增

22、大，直至M=15Laval NozzleM151by Professor Liu ZhongliangLaval NozzleM151by Prof流动参数在Laval喷管中的变化Av, c and Mp52by Professor Liu Zhongliang流动参数在Laval喷管中的变化Av, c and Mp52喷管的计算：出口流速及流量因为，下标“0”表示滞止参数53by Professor Liu Zhongliang喷管的计算：出口流速及流量因为，下标“0”表示滞止参数53b喷管的计算：出口流速及流量于是，54by Professor Liu Zhongliang喷管的计算：出口

23、流速及流量于是，54by Professor喷管的计算：出口流速及流量55by Professor Liu Zhongliang喷管的计算：出口流速及流量55by Professor Li喷管的计算：出口流速及流量56by Professor Liu Zhongliang喷管的计算：出口流速及流量56by Professor Li临界参数流速当地声速 临界截面57by Professor Liu Zhongliang临界参数流速当地声速 临界截面57by Professo临界参数说明:仅与k有关入口状态确定时，p*是一个定值从中可以解得，临界压比Critical pressure ratio5

24、8by Professor Liu Zhongliang临界参数说明:从中可以解得，临界压比58by Profess临界参数将（49）代入（48），得到，59by Professor Liu Zhongliang临界参数将（49）代入（48），得到，59by Profes临界参数临界流量60by Professor Liu Zhongliang临界参数临界流量60by Professor Liu Zho特别提示喷管计算时要考虑到出口截面是不是临界截面，其中有没有临界截面通过喷管的最大流量只取决于进口参数和最小截面面积入口参数一定时，临界参数（临界流量除外）是定值，与Amin的大小无关临界状态的

25、判定：出口背压压比与临界压比进行比较61by Professor Liu Zhongliang特别提示喷管计算时要考虑到出口截面是不是临界截面，其中有没有等截面管道中理想气体的有摩擦绝热流 范诺流0 xLCx=0, px=0,Cx=L, px=L,adiabatic62by Professor Liu Zhongliang等截面管道中理想气体的有摩擦绝热流 基本假设等截面圆管完全绝热无轴功输入输出体积力可以忽略位能变化可以忽略63by Professor Liu Zhongliang基本假设等截面圆管63by Professor Liu Zh基本特性总焓不变，维持一常数存在摩擦，属于不可逆过程

26、熵一定是增大的摩擦效应一定转变为其它能量，因此必然会引起焓及其它流动参数的变化焓与熵之间的变化关系反映了流动参数的变化规律64by Professor Liu Zhongliang基本特性总焓不变，维持一常数64by Professor L基本特性基本方程65by Professor Liu Zhongliang基本特性基本方程65by Professor Liu Zho基本特性由状态方程，由连续性方程，由能量方程，由热力学基本方程，66by Professor Liu Zhongliang基本特性由状态方程，由连续性方程，由能量方程，由热力学基本方基本特性方程（55）和（56）联立，消去密度

27、项，将方程（59）代入（58），状态方程: p=RTp/(T)=R p/=RT67by Professor Liu Zhongliang基本特性方程（55）和（56）联立，消去密度项，将方程（59基本特性下面设法消去速度项。按能量方程（57）代入方程（60）声速的计算公式: a2=kRTRT=a2/k68by Professor Liu Zhongliang基本特性下面设法消去速度项。按能量方程（57）代入方程（60基本特性理想气体的焓：hcpT69by Professor Liu Zhongliang基本特性理想气体的焓：hcpT69by Professor基本特性于是70by Profes

28、sor Liu Zhongliang基本特性于是70by Professor Liu Zhong基本特性摩擦效应使得过程只能向着熵增大的方向进行shM=1M171by Professor Liu Zhongliang基本特性摩擦效应使得过程只能向着熵增大的方向进行shM=1M基本特性从图中可以看出：如果气体的入口是亚音速流，那么随着流动过程的进行，流速逐渐增大，直到达到当地音速h，c：这说明摩擦所产生的热效应不足以弥补由于速度增加而引起的内热能的减小这实际上是一个由于摩擦作用而引发的内热能转变为动能的过程72by Professor Liu Zhongliang基本特性从图中可以看出：72by

29、 Professor Liu基本特性从图中可以看出：如果气体的入口是超音速流，那么随着流动过程的进行，流速逐渐减小，直到达到当地音速h ，c ：这说明不仅摩擦所产生的热效应转变为流体的内热能，流体的动能也同时被转换为流体的内热能这实际上是一个由于摩擦作用而引发的动能转化为热能和压力能的过程73by Professor Liu Zhongliang基本特性从图中可以看出：73by Professor Liu基本特性结论：范诺流的极限出口状态只能是M=1的临界状态绝热条件下在等截面流道中实现跨音速流动是不可能的74by Professor Liu Zhongliang基本特性结论：74by Pro

30、fessor Liu Zhon范诺流熵增的计算由方程（60），对上式从x0积分至x，得75by Professor Liu Zhongliang范诺流熵增的计算由方程（60），对上式从x0积分至x，得7范诺流熵增的计算另一方面，按能量方程76by Professor Liu Zhongliang范诺流熵增的计算另一方面，按能量方程76by Profess范诺流熵增的计算于是代入（64）77by Professor Liu Zhongliang范诺流熵增的计算于是代入（64）77by Professor范诺流熵增的计算由于绝热摩擦流动必然是一个熵增加的过程，于是，78by Professor L

31、iu Zhongliang范诺流熵增的计算由于绝热摩擦流动必然是一个熵增加的过程，于是范诺流极限管长的计算极限管长：气体从M1变化到M1所需要的管长极限管长的确定：确定M随x的变化由动量方程等截面A常数79by Professor Liu Zhongliang范诺流极限管长的计算极限管长：等截面79by Profess范诺流极限管长的计算按连续性方程， c=常数同除p=RT由连续性方程， c=常数80by Professor Liu Zhongliang范诺流极限管长的计算按连续性方程， c=常数同除p=RT范诺流极限管长的计算对上式取微分，得到在式（70）中，声速: a2=kRT81by P

32、rofessor Liu Zhongliang范诺流极限管长的计算对上式取微分，得到在式（70）中，声速:范诺流极限管长的计算将（71）、（72）和（73）代入（70）同除kM2，得到，下面关键是要消去dT/T82by Professor Liu Zhongliang范诺流极限管长的计算将（71）、（72）和（73）代入（70范诺流极限管长的计算按能量方程83by Professor Liu Zhongliang范诺流极限管长的计算按能量方程83by Professor 范诺流极限管长的计算或者，代入方程（74），整理化简后得到，M1，随着x的增大，M减小84by Professor Liu

33、Zhongliang范诺流极限管长的计算或者，代入方程（74），整理化简后得到，范诺流极限管长的计算对方程（76）积分，定义平均摩擦系数，85by Professor Liu Zhongliang范诺流极限管长的计算对方程（76）积分，定义平均摩擦系数，8范诺流极限管长的计算得到其中，M0 入口处(x=0)的Mach数M 任意位置x处的Mach数86by Professor Liu Zhongliang范诺流极限管长的计算得到其中，86by Professor 范诺流极限管长的计算M00.1k=1.487by Professor Liu Zhongliang范诺流极限管长的计算M00.187b

34、y Professor范诺流极限管长的计算M0=10, k=1.488by Professor Liu Zhongliang范诺流极限管长的计算M0=10, k=1.488by Pro范诺流极限管长的计算从以上两图可以看出：绝热摩擦流的出口Mach数只能是1在给定的入口条件下，要想不改变入口条件而使流体流过超过与入口条件对应的极限管长Lmax的管道是不可能的如果L Lmax,，且入口条件不可变，那么管道将出现壅塞现象89by Professor Liu Zhongliang范诺流极限管长的计算从以上两图可以看出：89by Profe范诺流极限管长的计算在（78）中令M1，即得到对应入口条件下的

35、极限管长Lmax的计算公式90by Professor Liu Zhongliang范诺流极限管长的计算在（78）中令M1，即得到对应入口条件范诺流极限管长的计算k1.491by Professor Liu Zhongliang范诺流极限管长的计算k1.491by Professor 范诺流极限管长的计算根据方程（79）：如果M0、管径D和摩擦系数f为已知，那么就可以求得Lmax；如果流量Q、管长L和摩擦系数f为已知，那么就可以求得入口Mach数和管径D92by Professor Liu Zhongliang范诺流极限管长的计算根据方程（79）：92by Profes管长对范诺流的影响按方程

36、（76a），当M1时，必然有于是，如果M0 Lmax，则在Lmax处流动状态发生突变，整个管长内的流动状态也随之发生变化，自动调整到Lmax L入口状态93by Professor Liu Zhongliang管长对范诺流的影响按方程（76a），当M1时，必然有于是，管长对范诺流的影响如果M01，即入口处为超音速流，x， M ，直到达到极限管长Lmax时的音速流M1如果L Lmax，则在Lmax处流动状态发生突变，整个管长内的流动状态也随之发生变化，自动调整到Lmax L入口状态94by Professor Liu Zhongliang管长对范诺流的影响如果M01，即入口处为超音速流，94by

37、管长对范诺流的影响结论不论入口状态如何，如果L Lmax，那么管道内气体的流动状态将唯一地由L决定，亦即调整到与Lmax L相对应的入口状态95by Professor Liu Zhongliang管长对范诺流的影响结论95by Professor Liu 管长对范诺流的影响LLmax96by Professor Liu Zhongliang管长对范诺流的影响LLmax96by Professor L范诺流中其它参数的变化Mach 数：对于超音速流，Mach数随着流动过程的进行是减小的对于亚音速流，Mach数随着流动过程的进行是增大的97by Professor Liu Zhongliang范

38、诺流中其它参数的变化Mach 数：97by Profess范诺流中其它参数的变化温度对于超音速流，T/Tx=0 1, 也即超音速流中的温度是升高的对于亚音速流， T/Tx=0 0， 即流体被加热，则dc0, 流体速度增大如果q0， 即流体被冷却，则dc0，即，即，x，p，c必为放热过程（流体被冷却）112by Professor Liu Zhongliang等温摩擦流各参数沿管长的变化压力、速度的变化规律即，x，p等温摩擦流各参数沿管长的变化压力、速度的变化规律如果kM2-10, dp0/dx 0, 即x, p0 分子分母同时大于零：116by Professor Liu Zhongliang

39、等温摩擦流各参数沿管长的变化总压力（滞止压力）116by P等温摩擦流各参数沿管长的变化在该区域内，显然有：J0, dp0/dx 0, 即x, p0 , p , c, 流体被冷却M流体被加热，速度增大，压力降低流体被冷却，速度降低，压力升高117by Professor Liu Zhongliang等温摩擦流各参数沿管长的变化在该区域内，显然有：M流体被加热等温摩擦流各参数沿管长的变化总压力（滞止压力）J0, dp0/dx 0, 即x, p0 分子分母同时小于零：无解！118by Professor Liu Zhongliang等温摩擦流各参数沿管长的变化总压力（滞止压力）无解！118b等温摩

40、擦流各参数沿管长的变化总压力（滞止压力）J0, dp0/dx 0, 即x, p0 分子大于零，分母小于零：119by Professor Liu Zhongliang等温摩擦流各参数沿管长的变化总压力（滞止压力）119by P等温摩擦流各参数沿管长的变化在该区域内，显然有：J0, dp0/dx 0, 即x, p0 , p, c, 流体被加热M流体被加热，速度增大，压力降低流体被冷却，速度降低，压力升高120by Professor Liu Zhongliang等温摩擦流各参数沿管长的变化在该区域内，显然有：M流体被加热等温摩擦流各参数沿管长的变化总压力（滞止压力）J0, 即x, p0 分子小于

41、零，分母大于零：121by Professor Liu Zhongliang等温摩擦流各参数沿管长的变化总压力（滞止压力）121by P等温摩擦流各参数沿管长的变化在该区域内，显然有：J0, dp0/dx 0, 即x, p0 , p , c , 流体被冷却M流体被加热，速度增大，压力降低流体被冷却，速度降低，压力升高122by Professor Liu Zhongliang等温摩擦流各参数沿管长的变化在该区域内，显然有：M流体被加热等温摩擦流各参数沿管长的变化流体被加热，速度增大，压力降低，总压力降低流体被冷却，速度降低，压力升高，总压力降低M流体被冷却，速度降低，压力升高，总压力升高123

42、by Professor Liu Zhongliang等温摩擦流各参数沿管长的变化流体被加热，速度增大，压力降低，等温摩擦流各参数沿管长的变化特别的地，如果M(1/k)0.5那么： p0, p, c等参数都将发生突变。于是： 不论入口处的Mach数如何，流体的出口Mach数将随着流动过程的进行而向M(1/k)0.5 逼近；为了实现等温流动，当M(1/k)0.5 时，必须对流体进行冷却。 124by Professor Liu Zhongliang等温摩擦流各参数沿管长的变化特别的地，如果M(1/k)0.极限管长Lmax流速沿流动方向的变化情况：由方程（84）和（92），知，125by Prof

43、essor Liu Zhongliang极限管长Lmax流速沿流动方向的变化情况：125by Pro极限管长Lmax积分，假定f常数，或取其平均值，得到，126by Professor Liu Zhongliang极限管长Lmax积分，假定f常数，或取其平均值，得到，12M0=0.1k=1.4Impossible region!极限管长Lmax127by Professor Liu ZhongliangM0=0.1Impossible region!极限管长LmM0=5k=1.4极限管长LmaxImpossible region!128by Professor Liu ZhongliangM0

44、=5极限管长LmaxImpossible128by Pr极限管长Lmax将Mk-代入方程（105）得到，129by Professor Liu Zhongliang极限管长Lmax将Mk-代入方程（105）得到，129b极限管长Lmax130by Professor Liu Zhongliang极限管长Lmax130by Professor Liu Zh关于极限管长的说明实际中很难达到极限管长：M0一般很小（否则不能按等温流处理）换热量非常大例子：输气管道，温度300K，M00.01取f0.005Lmax=3.6105Dq=43.04kJ/kg131by Professor Liu Zhong

45、liang关于极限管长的说明实际中很难达到极限管长：131by Pro关于极限管长的说明实际管道中的流动应该介于绝热流与等温流之间给出了两种极端情况132by Professor Liu Zhongliang关于极限管长的说明实际管道中的流动应该介于绝热流与等温流之间等温摩擦流熵产的计算熵增（entropy change)状态参数，理想气体，等温过程熵流（entropy flow)热量交换熵流133by Professor Liu Zhongliang等温摩擦流熵产的计算熵增（entropy change)熵流等温摩擦流熵产的计算熵产因为，134by Professor Liu Zhongli

46、ang等温摩擦流熵产的计算熵产因为，134by Professor等温摩擦流熵产的计算注意：熵产与过程的不可逆损失相联系熵产存在一个极大值，可以证明该极大值与Mk相对应135by Professor Liu Zhongliang等温摩擦流熵产的计算注意：熵产与过程的不可逆损失相联系135等截面流道中理想气体的可逆非绝热流动（瑞利流）136by Professor Liu Zhongliang等截面流道中理想气体的可逆非绝热流动（瑞利流）136by P瑞利流在h-s图上的表示流动过程是可逆的存在明显的热作用流体的焓和熵必然发生相应的变化于是：137by Professor Liu Zhongli

47、ang瑞利流在h-s图上的表示流动过程是可逆的137by Prof瑞利流在h-s图上的表示由方程（112）得到，Ideal gases:h=cpT由动量方程得到，138by Professor Liu Zhongliang瑞利流在h-s图上的表示由方程（112）得到，Ideal g瑞利流在h-s图上的表示所以，Ideal gases:p/RT微分，139by Professor Liu Zhongliang瑞利流在h-s图上的表示所以，Ideal gases:微分，瑞利流在h-s图上的表示另一方面，按连续性方程微分，从中可以解得，140by Professor Liu Zhongliang瑞利

48、流在h-s图上的表示另一方面，按连续性方程微分，从中可以瑞利流在h-s图上的表示将（119）代入（116），得到141by Professor Liu Zhongliang瑞利流在h-s图上的表示将（119）代入（116），得到14瑞利流在h-s图上的表示将（120）代入（113），得到：p=RT142by Professor Liu Zhongliang瑞利流在h-s图上的表示将（120）代入（113），得到：p瑞利流在h-s图上的表示整理后得到，由方程（121）可以看出，143by Professor Liu Zhongliang瑞利流在h-s图上的表示整理后得到，由方程（121）可以看出

49、瑞利流在h-s图上的表示可以看出：当M1时，h/s0当M=1时，h/s，熵取最大值当M1时：M0Mk-1/2时，h/s0，焓取最大值Mk-1/2时，h/s0144by Professor Liu Zhongliang瑞利流在h-s图上的表示可以看出：144by Profess瑞利流在h-s图上的表示shabcdM1, 加热M1, 加热M1M1, 冷却164145by Professor Liu Zhongliang瑞利流在h-s图上的表示shabcdM1, 瑞利流在h-s图上的表示从上面的图可以看出：单纯加热或单纯冷却都不可能使亚音速流连续地变为超音速流，也不能使超音速流连续地转变为亚音速流1

50、46by Professor Liu Zhongliang瑞利流在h-s图上的表示从上面的图可以看出：146by Pr流速沿管长的变化假定：单位管长对单位流体的加热量为qL按能量方程147by Professor Liu Zhongliang流速沿管长的变化假定：147by Professor Liu流速沿管长的变化将（125）代入（123）有，两边同除 cconst，取微分，148by Professor Liu Zhongliang流速沿管长的变化将（125）代入（123）有，两边同除 流速沿管长的变化将（127）代入（122）149by Professor Liu Zhongliang流速沿管长的变化将（127）代入（122）149by Pro流速沿管长的变化该式告诉我们：如果M1，则：150by Professor Liu Zhongliang流速沿管长的变化该式告诉我们：150by Professor流速沿管长的变化流速与x的变化关系，按方程（122）：假定qL常数，相应的定解条件为：对方程（122）积分，151by Professor Liu Zhongliang流速沿管长的变化流速与x的变化关系，按方程（1