高等数学4-11常数项级数分解课件

1、无穷级数 无穷级数无穷级数是研究函数的工具表示函数研究性质数值计算数项级数幂级数傅氏级数第四章1无穷级数 无穷级数无穷级数是研究函数的工具表示函数研究性质数常数项级数的概念和性质 1.1常数项级数的概念 、性质与收敛原理1.2正项级数的审敛准则1.3变号级数的审敛准则第一节 第四章 2常数项级数的概念和性质 1.1常数项级数的概念 、性质与收1.1常数项级数的概念、性质与收敛原理引例1. 用圆内接正多边形面积逼近圆面积.依次作圆内接正边形, 这个和逼近于圆的面积 A .设 a0 表示即内接正三角形面积, ak 表示边数增加时增加的面积, 则圆内接正31.1常数项级数的概念、性质与收敛原理引例1

2、. 用圆内接引例2. (神秘的康托尔尘集)把0,1区间三等分, 舍弃中间的开区间将剩下的两个子区间分别三等分,并舍弃在中间的开区间,如此反复进行这种“弃中”操作,问丢弃部分的总长和剩下部分的总长各是多少？丢弃的各开区间长依次为故丢弃部分总长剩余部分总长 剩余部分总长虽然为0, 但康托尔证明了其成员和实数“一样多”, 它们象尘埃一样散落在0,1区间上, 人们称其为康托尔尘集.01(此式计算用到后面的例1)4引例2. (神秘的康托尔尘集)把0,1区间三等分, 舍弃引例3.小球从 1 m 高处自由落下, 每次跳起的高度减问小球是否会在某时刻停止运动? 说明道理.由自由落体运动方程知则小球运动的时间为

3、( s )设 tk 表示第 k 次小球落地的时间, (此式计算用到 后面的例1)少一半,5引例3.小球从 1 m 高处自由落下, 每次跳起的高度减问小定义1.1 给定一个数列将各项依即称上式为常数项无穷级数（常数项级数或级数）其中第 n 项叫做级数的通项（一般项）,级数的前 n 项和称为级数的部分和.次相加, 简记为收敛 ,则称无穷级数并称 S 为级数的和,记作6定义1.1 给定一个数列将各项依即称上式为常数项无穷级数（常当级数收敛时, 级数的和与部分和的差称为级数的余项.则称无穷级数发散 .显然7当级数收敛时, 级数的和与部分和的差称为级数的余项.则称无穷例1. 讨论等比级数 (又称几何级数

4、)( q 称为公比 ) 的敛散性. 解: 1) 若从而因此级数收敛 ,从而则部分和因此级数发散 .其和为8例1. 讨论等比级数 (又称几何级数)( q 称为公比 ) 2). 若因此级数发散 ;因此n 为奇数n 为偶数从而综合 1)、2)可知,时, 等比级数收敛 ;时, 等比级数发散 .则级数成为不存在 , 因此级数发散.92). 若因此级数发散 ;因此n 为奇数n 为偶数从而综合 例2. 判别下列级数的敛散性:解: (1) 所以级数 (1) 发散 ;技巧:利用 “拆项相消” 求和10例2. 判别下列级数的敛散性:解: (1) 所以级数 (1)(2) 所以级数 (2) 收敛, 其和为 1 .技巧

5、:利用 “拆项相消” 求和注：级数收敛,当且仅当它的部分和数列收敛这样就将级数的收敛性问题转化为了数列的收敛性问题 11(2) 所以级数 (2) 收敛, 其和为 1 .技巧:利用 例, 调和级数是发散的 .在第一章中已经证明过，它的部分和数列事实上 , 假设调和级数收敛于 S , 则但矛盾!所以假设不真 .12例, 调和级数是发散的 .在第一章中已经证明过，它的部分和数 例3.判别级数的敛散性 .解:故原级数收敛 , 其和为13 例3.判别级数的敛散性 .解:故原级数收敛 , 其和为13无穷级数的基本性质 性质1.1(1) 设有两个收敛级数则级数收敛, 其和为证: 令则这说明级数也收敛, 其和

6、为14无穷级数的基本性质 性质1.1(1) 设有两个收敛级数则级性质1.1(2) 若级数收敛于 S ,则各项乘以常数 c 所得级数也收敛 ,证: 令则这说明收敛 , 其和为 c S . 说明: 级数各项乘以非零常数后其敛散性不变 .即其和为 c S .15性质1.1(2) 若级数收敛于 S ,则各项乘以常数 c 所性质1.1(3) 若则说明:(2) 若两级数中一个收敛一个发散 , 则必发散 . 但若二级数都发散 ,不一定发散.例如, (1) 性质1.1(1) 表明收敛级数可逐项相加或相减 .(用反证法可证)16性质1.1(3) 若则说明:(2) 若两级数中一个收敛一个发性质1.2任意删去、增加

7、或改变有限项, 不改变级数的敛散性.证: 将级数的前 k 项去掉,的部分和为数敛散性相同. 当级数收敛时, 其和的关系为类似可证前面加上有限项的情况 .极限状况相同, 故新旧两级所得新级数17性质1.2任意删去、增加或改变有限项, 不改变级数的敛散性.性质1.3设级数则证: 可见: 若级数的一般项不趋于0 , 则级数必发散 .例如,其一般项为不趋于0,因此这个级数发散.18性质1.3设级数则证: 可见: 若级数的一般项不趋于0 ,注意:并非级数收敛的充分条件.例如, 调和级数虽然但此级数发散 .19注意:并非级数收敛的充分条件.例如, 调和级数虽然但此级数发性质1.4 对收敛的级数，不改变各项

8、次序，任意加括号后所得到的级数仍收敛且级数的和不变.证: 设收敛级数中任意加入括号,便得一新级数：因此为原级数部分和数列从而，新级数收敛，而且有部分和数列为在该级数记它的部分和序列为, 则的一个子列20性质1.4 对收敛的级数，不改变各项次序，任意加括号后所得到推论: 若加括弧后的级数发散, 则原级数必发散.注意: 收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛.但发散.例如，用反证法可证21推论: 若加括弧后的级数发散, 则原级数必发散.注意: 收敛例4.判断级数的敛散性:解: 考虑加括号后的级数发散 ,从而原级数发散 .22例4.判断级数的敛散性:解: 考虑加括号后的级数发散 ,从而例5. 判断下列

9、级数的敛散性, 若收敛求其和:解: (1) 令则故从而这说明级数(1) 发散.23例5. 判断下列级数的敛散性, 若收敛求其和:解: (1) 因进行拆项相消这说明原级数收敛 ,其和为(2) 24因进行拆项相消这说明原级数收敛 ,其和为(2) 24这说明原级数收敛, 其和为 3 .(3) 25这说明原级数收敛, 其和为 3 .(3) 25级数研究的两个基本问题：一，任给一个级数，判断它的敛散性二，如果级数收敛，怎么样求出级数的和求级数的和, 有时候比较难，但可以用部分和来近似.第二个问题比较难, 但第一个问题更重要.将判断数列收敛的Cauchy(柯西)原理转化到级数中,就可以得到如下的判别级数敛散性的基本原理.26级数研究的两个基本问题：一，任给一个级数，判断它的敛散性二的充要条件是:定理1.1 (Cauchy审敛原理) 有证: 设所给级数部分和数列为因为所以利用数列 的柯西审敛原理(第一章) , 即得本定理的结论.27的充要条件是:定理1.1 (Cauchy审敛原理) 有证:例6. 解: (1)有利用柯西审敛原理证明:(1)级数 (2)调和级数 28例6. 解: (1)有利用柯西审敛原理证明:(1)级数 (2当 nN 时,都