中学数学解析几何中极点与极线知识的现状与应用研究

1、 15/15中学数学解析几何中极点与极线知识的现状与应用研究 2 x + x + =0F a 2 b 2 a 2 b 2 Cy + E Cy + E 解析几何中极点与极线知识的现状与应用研究 王文彬 极点与极线是圆锥曲线内在的几何特征，在解析几何中必然有所反映，有所体现 .现将 具体研究结果报告如下： 1.极点与极线的定义 A 1.1 几何定义 如图， P 是不在圆锥曲线上的点，过 P 点引 两条割线依次交圆锥曲线于四点 E, F , G , H ，连接 EH , FG F N E P 交于 N ，连接 EG, FH 交于 M ，则直线 MN 为点 P 对应的极线. 若 P 为圆锥曲线上的点，

2、则过 P 点的切线即为极线. 由图 1 可知，同理 PM 为点 N 对应的极线， PN 为点 H B G M 所对应的极线. MNP 称为自极三点形.若连接 MN 交圆锥曲线于 M 点 A, B ，则 P A, PB 恰为圆锥曲线的两条切线. 事实上，图 1 也给出了两切线交点 P 对应的极线的一种作法. 图 1 1.2 代数定义 已 知 圆 锥 曲 线 : Ax 2 + Cy 2 + 2Dx + 2Ey + F = 0 ， 则 称 点 P( x , y ) 和 直 线 0 0 l : A x + C y + y ( D x ) + ( E y) +y 是圆锥曲线 的一对极点和极线. 0 0

3、0 0 x + x 事实上，在圆锥曲线方程中，以 x x 替换 x 2 ，以 0 替换 x (另一变量 y 也是如此) 0 即可得到点 P( x , y ) 极线方程. 特别地： (1)对于椭圆 x 2 y 2 + a 2 b 2 xx y y = 1 ，与点 P( x , y ) 对应的极线方程为 0 + 0 = 1； 0 0 (2)对于双曲线 x 2 y 2 - a 2 b 2 xx y y = 1 ，与点 P( x , y ) 对应的极线方程为 0 - 0 = 1； 0 0 (3)对于抛物线 y 2 = 2 px ，与点 P( x , y ) 对应的极线方程为 y y = p ( x +

4、 x) . 0 0 2.极点与极线的基本结论 定理 1 (1)当 P 在圆锥曲线 上时，则极线 l 是曲线 在 P 点处的切线； (2)当 P 在 外时，则极线 l 是曲线 从点 P 所引两条切线的切点所确定的直线(即切点 弦所在直线)； (3) 当 P 在 内时，则极线 l 是曲线 过点 P 的割线两端点处的切线交点的轨迹. 证明：假设同以上代数定义，对 : Ax 2 + Cy 2 + 2Dx + 2Ey + F = 0 的方程，两边求 Ax + D 导得 2 A x + 2Cyy + 2D + 2Ey = 0 ，解得 y = - ，于是曲线 在 P 点处的切线斜率 Cy + E Ax +

5、D Ax + D 为 k =- ， 故 切 线 l 的 方 程 为 y - y =- 0 0 0 0 ( x - x ) ， 化 简 得 0 Ax x + Cy y - Ax 2 - Cy 2 + Dx + Ey - Dx - Ey = 0 ， 又 点 P 在 曲 线 上 ， 故 有 0 0 0 Ax 2 + Cy 2 + 2 D x + 2 E y + F = 0 ，从中解出 Ax 2 + Cy 2 ，然后代和可得曲线 在 P 点 M x + ) ) y y Ax m + Cy n + D( x + m ) + E ( y + n) + F = 0 ， P(x 0,y 0) Ax m + C

6、y n + D( x + m ) + E ( y + n) + F = 0 ， 处的切线为 l : Ax x + Cy y + D( x + x ) + E ( y + y ) + F = 0 . 0 0 0 0 (2)设过点 P 所作的两条切线的切点分别为 M ( x , y ), N ( x , y ) ，则由 (1)知，在点 1 1 2 2 M , N 处 的 切 线 方 程 分 别 为 A x + C +y (y D x + ( x + E + 和 0= F 1 1 1 1 Axx + Cyy + D( x + x) + E ( y + y) + F = 0 ，又点 2 2 2 2 P

7、 在切线上，所以有 Ax x + Cy y + D( x + x ) + E ( y + y ) + F = 0 和 0 1 0 1 1 1 Ax x + Cy y + D( x + x ) + E ( y + y ) + F = 0 ， 0 2 0 2 2 2 P 观察这两个式子，可发现点 M ( x , y ), N ( x , y ) 都在直线 1 1 2 2 Ax x + Cy y + D( x + x ) + E ( y + y ) + F = 0 上， N 图 2 又 两 点 确 定 一 条 直 线 ， 故 切 点 弦 MN 所 在 的 直 线 方 程 为 Ax x + Cy y

8、+ D( x + x ) + E ( y + y ) + F = 0 . (3)设曲线 过 P( x , y ) 的弦的两端点分别为 S ( x , y ), T ( x , y ) ，则由(1)知，曲线在 1 1 2 2 这 两 点 处 的 切 线 方 程 分 别 为 Ax x + Cy y + D( x + x) + E ( y + y) + F = 0 和 1 1 1 1 Ax x + Cy y + D( x + x) + E ( y + y) + F = 0 ， 2 2 2 2 设两切线的交点为 Q(m , n ) ，则有 T . 1 1 1 1 Q(m,n) 2 2 2 2 观察两式

9、可发现 S ( x , y ), T ( x , y ) 在直线 1 1 2 2 Axm + Cyn + D( x + m ) + E ( y + n ) + F = 0 上， S 图 3 又两点确定一条直线，所以直线 ST 的方程为 Axm + Cyn + D( x + m ) + E ( y + n ) + F = 0 ， 又直线 ST 过点 P( x , y ) ，所以 Ax m + Cy n + D( x + m ) + E ( y + n) + F = 0 ，因而点 0 0 0 0 0 0 Q(m , n ) 在直线 Ax x + Cy y + D( x + x) + E ( y +

10、 y) + F = 0 上. 0 0 0 0 所以两切线的交点的轨迹方程是 Ax x + Cy y + D( x + x) + E ( y + y) + F = 0 . 0 0 0 0 定理 2 若圆锥曲线中有一些极线共点于点 P ，则这些极线相应的极点共线于点 P 相 应的极线，反之亦然. P B 点 P 的极线 点 P 的极线 P A 图 4(1) 即极点与极线具有对偶性.如图 4(1)(2)所示. 图 4(2) . ) 22 a 2 b 2 c 2 y 2 y 证明：由于 F ( ,0) , A( 1 , y ) ， B( 2 , y ) ，故 2 2 p 2 p 2 2 p 2 p 2

11、 1 2 2 2 2 y y 2 - p 2 OC = y p ( , , ( ) k OC = + p y p py 3.极点与极线在教材中的体现 极点与极线反映的是圆锥曲线的基本几何性质，所以在解析几何教材中必然有所体现 3.1 圆锥曲线的焦点与准线是一对特殊的极点与极线 如果圆锥曲线是椭圆 x 2 y 2 + a 2 b 2 = 1 ， 当 P( x , y ) 为 其 焦 点 F (c , 0 时 ， 极 线 0 0 x x y y a 2 x 2 y 2 0 + 0 = 1 变为 x = ，恰是椭圆的准线；如果圆锥曲线是双曲线 - a b 2 c a b 2 = 1 ，当 x x y

12、 y a 2 P( x , y ) 为其焦点 F (c,0) 时，极线 0 - 0 = 1变为 x = ，恰是双曲线的准线；如果 0 0 p 圆锥曲线是抛物线 y 2 = 2 px ，当 P( x , y ) 为其焦点 F ( ,0) 时，极线 y y = p ( x + x) 变 0 0 0 0 p 为 x =- ，恰是抛物线的准线. 2 3.2 许多习题都有极点与极线的背景，均可借助极点与极线方法求解 【例 1】过抛物线 y 2 = 2 px 的焦点的一条直线和此抛物线相交，两个交点的纵坐标为 y , y ，求证： y y = - p 2 . 1 2 1 2 三点对应的极线方程分别是 p

13、y 2 1 2 A p y 2 y 2 x =- ， y y = p ( 1 + x) 和 y y = p ( 2 + x) ， 1 2 C O F B x 由于 A, F , B 三点共线，根据定理 2 可知，对应的 p 三条极线共点，将 x = - 代入后面两式得 2 图 5 1 p 2 1 p 2 y y 2 - p 2 y y = y 2 - ， y y = y 2 - ，两式相除得 1 = 1 ? y y = - p 2 . 1 2 1 2 2 2 作为课本一习题，2001 年全国高考试卷 19 题以此为背景命制.利用本例结论可迅速证明 这一高考题. 设抛物线 y 2 = 2 px

14、的焦点为 F ，过焦点 F 的直线交抛物线于两点 A, B ，点 C 在抛物线的准线上，且 BC 平行于 x 轴，证明直线 AC 必过原点. 简证：如图 5，设 Ax y )Bx, y) 1 1 2 2 p ，则 C (- , y 2 2 ， 从而 k O A = y 1 = x 1 2 p y ， 1 - 2 2 =- 点. 3.3 教材中涉及到直线与圆锥曲线位置关系的判定问题，均可化为极点与 圆锥曲线的位置关系问题来解决 【例 2】(1)已知抛物线的方程为 y 2 = 4 x ，直线 l 过定点 P(-2,1) ，斜率为 k ，问 k 为 何值时，直线 l 与抛物线只有一个公共点，有两个公

15、共点，没有公共点？ (2)已知双曲线 x 2 - 是线段 AB 的中点？ y 2 2 = 1 ，过点 P(1,1)能否作直线 l ，与双曲线交于 A, B 两点，且 P x + 0 ，故 ? ， ? 2ky + y = 2 x ? 0 k 当 k 0 时， ? ， 直 线 l 与 抛 物 线 有 两 个 公 共 点 ? P( x , y ) 在 抛 物 线 外 2 ? y = ? 0 2 故 ? ，两式相减得 4 x - 2 y = 2 ，即 2 x - 0 = 1 ，而 2 x - = 1 ?(2 - x )2 - (2 - y 0 )2 = 1 2 2 ? 2 . 解：(1)设点 P( x

16、 , -1), A( x , y ), B( x , y ) ， A, B, F 三点共线，故相应的三极线共点于 P( x , -1) ，代入极线方程得 ? 1 0 x x = 2( y - 1) ? 2 0 解： (1)直线 l 的方程为 y - 1 = k ( x + 2) ，即 y = kx + 2k + 1 . 设直线 l 对应的极点为 P( x , y ) ，则相应的极线应为 y y = 2( x + x ) x ，即 y = 0 0 0 0 2 y 0 y ? 1 x = + 2 0 0 ? 0 k ? y 2 4 x ? 0 0 4 1 1 1 4( + 2) ，解得 -1 时直

17、线与抛物线没有公共点. 2 (2)设 A( x , y ) ，则由 P 是线段 AB 的中点得 B(2 - x , 2 - y ) ，而 A, B 在双曲线上， 0 ? y 2 x 2 - 0 = 1 2 y 2 y 0 0 0 0 是点 (2, 2) 对应的极线，但点 (2, 2) 在双曲线内，故极线与双曲线相离，这和已知“直线与 双曲线相交”矛盾，故这样的直线不存在. 4.极点与极线在各种考试中的深层体现 4.1 高考试题中的极点与极线 极点与极线作为具体的知识点尽管不是高中数学课程标准规定的学习内容，当然也 不属于高考考查的范围，但是极点与极线作为圆锥曲线的一种基本特征，在高考试题中必然

18、 会有所反映.事实上，极点与极线的知识常常是解析几何高考试题的命题背景 【例 3】(2006 年全国试卷 II21)已知抛物线 x 2 = 4 y 的焦点为 F ， A, B 是抛物线上的两动点，且 y B AF = F B( 0) ，过 A, B 两点分别作抛物线的切线， 并设其交点为 P . F (1)证明 FP ? AB 为定值； (2)设 ?ABP 的面积为 S ，写出 S = f ( ) 的表达式， 并求 S 的最小值. A O P x 0 1 1 2 2 图 6 F , A, B 三点对应的极线方程分别为 y = -1 ， x x = 2( y + y) ， x x = 2( y

19、+ y) ，由于 1 1 2 2 0 ? x x = 2( y - 1) 1 2 ， 两式相减得 ( x - x ) x = 2( y - y ) . 1 2 1 2 又 FP = ( x , -2), AB = ( x - x , y - y ) ，故 FP ? AB = x ( x - x ) - 2( y - y ) = 0 . 0 2 1 2 1 2 1 2 1 (2)设 AB 的方程为 y = kx + 1 ，与抛物线的极线方程 x x = 2( y + y) 对比可知直线 AB 对应的极点为 P(2k , -1) ，把 y = kx + 1 代入 x 2 = 4 y 并由弦长公式得

20、 AB = 4(1+ k 2) ，所 以 2 y + - 2 1 k 设 AB : y - 2 = k ( x - ) ， 可 化 为 = x ， 故 直 线 AB 对 应 的 极 点 为 2 = k k + ? 3 2 ? k 2 - k + 4 + - 2 k 2 - + 2 ? y = 2 2 ? 2 2 2 4 2 4 4 FP ? FA cos AFP = = 2 4 4 = 4 4 = 1 2 4 . 1 FP ? FA FP FP x 2 + ( x 2 - )2 4 4 1 1 x + x FP ? FB 同理 cos AFP = = S ?ABP = 1 2 AB FP =

21、2(1+ k 2 ) 4(1+ k 2 ) . 显然，当 k = 0 时， S 取最小值 4 . 【例 4】(2005 江西卷 22)设抛物线 C : y = x 2 的焦点为 F ，动点 P 在直线 l : x - y - 2 = 0 上运动，过 P 作抛物线的两条切线 P A, PB ， 且与抛物线分别相切于 A, B 两点. (1)求 ?APB 的重心 G 的轨迹方程； y B 与 (2)证明 PFA = PFB . 解：(1)设点 P( x , y ), A( x , y ), B( x , y ) ， 0 0 1 1 2 2 y + y 0 = x x 对比知直线 l : x - y

22、 - 2 = 0 对应的 0 A F O P l x 1 极点为 ( , 2) ， P 为直线 l 上的动点，则点 P 对应 2 图 7 1 的极线 AB 必恒过点 ( , 2) . 2 k 2 2 2 2 k k k ( , - 2 )， 将 直 线 AB 的 方 程 代 入 抛 物 线 方 程 得 x 2 - kx + - 2 = 0 ，由此得 2 2 2 x + x = k , y + y = k ( x + x - 1) + 4 = k 2 - k + 4 ， ?APB 的重心 G 的轨迹方程为 1 2 1 2 1 2 ? k ? x = 1 ? ，消去 k 即得 y = (4 x 2

23、 - x + 2) . k k 3 = 3 3 k k k (2)由(1)可设点 P( , - 2) ， A ( x , x 2 ), B( x , x 2 ) ，且 x + x = k , x x = - 2 ，所以 1 1 2 2 1 2 1 2 1 1 1 FA = ( x , x 2 - ) ， FP = ( 1 2 , x x - ) ， FB = ( x , x 2 - ) . 1 1 1 2 2 2 x + x 1 1 1 1 1 1 2 x + ( x x - )( x 2 - ) ( x x + )( x 2 + ) x x + 1 1 2 1 1 2 1 1 FP ( x

24、2 + ) 1 x x + 1 2 FP ? FB FP 1 4 . 所以有 PFA = PFB . 评析：上述解法不仅简洁易懂，而且适用范围很广，很多解析几何试题，尤其是共点 共线问题，往往都能起到事半功倍的效果.这里不再一一列举. 4.2 竞赛试题中的极点与极线 作为更高要求的数学竞赛，有关极点与极线的试题更是频频出现，而且越来越受到重视. A B 2 a b 2 2a y )2 】 ( 评析：该题实质上就是求椭圆 + 】( 点 评析：显然该定直线为点 M ( , ) 对应的极线： + = 1 . . 【例 5】(2002 澳大利亚国家数学竞赛)已知 ?ABC 为锐角三角形，以 AB 为直

25、径的 K 分别交 AC, BC 于 P , Q ，分别过 A 和 Q 作 K 的两条切线交于点 R ，分别过 B 和 P 作 K 的两条切线交于点 S ，证明点 C 在线段 RS 上. R R (-a,y 2) y C C P Q S P S (a,y 1) Q K 下面将圆加强为椭圆，并给出证明. A 图 8 K B x 证明：以 AB 为 x 轴，线段 AB 为 y 轴建立直角坐标系，设椭圆方程为 x 2 y 2 + a b 2 = 1 ， - x y y 并设点 S (a, y ), R(-a, y ) ，则 R 点对应的极线 AQ : + 2 = 1 ，代入椭圆方程解得点 1 2 a(

26、 y 2 - b 2 ) 2b 2 y y Q( , 2 ) ， 直 线 B Q: = - 2 ( x - a ， 同 理 我 们 可 以 得 到 直 线 y 2 + b 2 y 2 + b 2 a 2 2 y y - y 2 y y AP : y = 1 ( x + a) ，将直线 BQ 的方程与 AP 的方程联立解得 C ( 2 1 a, 1 2 ) ，可验 a y + y y + y 1 2 1 2 y - y 证其坐标满足直线 RS : y - y = 1 2 ( x - a) 的方程，所以三点共线. 1 评析：原题用纯平面几何方法证明，难度较大【1 ，而用极点与极线方法证明不仅显得

27、简洁，而且此结论显然还可推广到其他圆锥曲线上. 【例 6】中等数学2006 年第 8 期 P 42)过椭圆 x 2 y 2 + = 1 内一点 M (3,2) 作直线 AB 25 9 与椭圆交于点 A, B ，作直线 C D 与椭圆交于点 C, D ，过 A, B 分别作椭圆的切线交于点 P ， 过 C, D 分别作椭圆的切线交于点 Q ，求 P , Q 连线所在的直线方程 x 2 y 2 25 9 = 1 内一点 M (3,2) 对应的极线方程，由定理 1 立即可得答案为 3x 2 y + = 1 . 25 9 【例 7 中学数学2006 年第 7 期新题征展 77)设椭圆方程为 x 2 1 1 + y 2 = 1 ， M ( , ) ， 2 2 2 过点 M 的动直线与椭圆相交于点 A, B ，点 A, B 处的切线相交于点 N ，求证点 N