数学章《整式的乘除与因式分解》导学案

1、个人收集整理 勿做商业用途个人收集整理个人收集整理 勿做商业用途个人收集整理 勿做商业用途个人收集整理 勿做商业（）。八年级上第二十一章整式的乘除与因式分解授课教师： 主备教师： 燕桂凤 审核校对：初四数学组【学习目标】（1）了解整数指数幂的意义及基本性质；（2）了解整式的概念， 会进行简单的整式加、 减运算及简单的乘法运算；（3）会推导乘法公式并能进行简单运算；（4）会用提公因式法 、公式法进行因式分解；注：简单的整式乘法运算中，多项式相乘仅指一次式相乘；乘法公式指：(a+b)(a-b)=a2-b2,(a+b)2=a2+2ab+b2 ；因式分解（指数是正整数）时，直接用公式不超过二次【知识梳

2、理】一、同底数幂的乘法：同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即 （、都是正整数） .注意：（）这一运算性质可推广到三个或三个以上同底数幂相乘，即 （、都是正整数）。（）运算性质可以逆运用，即 。（）幂的底数可以是单项式，也可以是多项式。二、幂的乘方与积的乘方：（）幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘，即（ ） （、都是正整数） . 注意：（）不要把幂的乘方性质与同底数幂的乘法性质混淆。幂的乘方运算，是转化为指数的乘法运算（底数不变）；同底数幂的乘法，是转化为指数的加法运算（底数不变）。（）此性质可以逆运用，即 （ ） （ ）。（）积的乘方法则：积的乘方，等于各因数乘方的

3、积， 即（） （为正整数） 。注意：（）这一运算性质可推广到三个或三个以上的因数的积的乘方，即（） （为正整数）。用途（）此性质可以逆运用，即 三、同底数幂的除法：同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减，即1 / 11 个人收集整理 勿做商业用途个人收集整个人收集整理 勿做商业用途个人收集整个人收集整理 勿做商业用途注意：此性质可以逆运用，即 。四、零指数幂与负整数指数幂：在 中，当时，规定 （）当时，规定 。（）零指数幂的意义：任何不等于零的数的零次幂都等于，即 （）。（）负整数指数幂的意义：任何不等于零的数的（为正整数）次幂，等于这个数的次幂的倒数，即 （，为正整数）。注意：

4、（）在这两个幂的意义中，强调底数都不等于零，否则无意义。（）学习零指数幂与负整数指数幂后，正整数指数幂的运算性质推广到整数指的幂。五、科学计数法：利用科学计数法表示绝对值较大的数，即表示成 的形式，为正整数，。对于一些绝对值较小的数，我们可以仿照绝对值较大数的计法， 用的负整数次幂表示， 而将原式写成 的形式，其中为正整数， ， 这也称为科学计数法。个人收集整理 勿做商业用途六、单项式与单项式相乘：单项式与单项式相乘的法则：单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。理 勿做商业用途七、单项式与多项式相乘：单项式与多项式相

5、乘的法则：单项式与多项式相乘，就是根据分配率用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加，即。注意：单项式乘多项式实际上是用分配率向单项式相乘转化。八、多项式与多项式相乘：多项式与多项式相乘的法则：多项式与多项式相乘， 先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加，即（）（）。九、平方差公式：2 / 11 个人收集整理 个人收集整理 勿做（）（） 2（）意义：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。（）特征：左边是两个二项式相乘， 这两项中有一项相同， 另一项互为相反数；右边是乘式中两项的平方差；公式中的和可以使有理数，也可以是单项式或多项式。（）几何意义：平方差

6、公式的几何意义也就是图形变换过程中面积相等的表达式。（）拓展：立方和公式：（）（ 22）33；立方差公式：（）（ 22）33。（）（ 22 ） 。十、完全平方公式：（）内容：（）222；（）222。（）意义：两数和的平方，等于它们的平方和，加上它们积的倍。两数差的平方，等于它们的平方和，减去它们积的倍。（）特征：左边是一个二项式的完全平方， 右边是一个二次三项式， 其中有两项是公式左边二项式中每一项的平方， 另一项是左边二项式中两项乘积的倍，可简记为“首平方，尾平方，积的倍在中央。”商业用途公式中的、可以是单项式，也可以是多项式。（）几何意义：（）推广：（） 2222；（）33322；（）33

7、322。十一、单项式与单项式相除：单项式与单项式相除的法则：3 / 11 个人个人收集整理 勿做商业用途个人收集整理 勿做商业用个单项式与单项式相除，个人个人收集整理 勿做商业用途个人收集整理 勿做商业用个对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。收集整理 勿做商业用途注意：（）两个单项式相除，只要将系数及同底数幂分别相除即可。（）只在被除式里含有的字母不不要漏掉。十二、多项式与单项式相除：多项式与单项式相除的法则：一般地，多项式除以单项式， 先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加，即（）。注意：这个法则的使用范围必须是多项式除以单项式，反之，单项式除以多项式

8、是不能这样计算的。十三、整式的混合运算：关键是注意运算顺序，先乘方，在乘除，后加减，有括号时，先去小括号，再去中括号，最后去大括号，先做括号里的。途十四、因式分解的意义：把一个多项式化为几个整式积的形式， 这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式，即多项式化为几个整式的积。人收集整理 勿做商业用途注意：（）因式分解的要求：结果一定是积的形式，分解的对象是多项式；每个因式必须是整式；各因式要分解到不能分解为止。（）因式分解与整式乘法的关系：是两种不同的变形过程，即互逆关系。十五、因式分解的方法：（）提公因式法分解因式：（） ，这个变形就是提公因式法分解因式。这里的可以代表单项

9、式，也可以代表多项式，称为公因式。确定公因式方法：系数：取多项式各项系数的最大公约数。字母（或多项式因式）：取各项都含有的字母（或多项式因式）的最低次幂。（）利用公式法分解因式：4 / 11 个人收集整理 勿做商业用途个人收集整理 勿做个人收集个人收集整理 勿做商业用x2xy3y24x4（2）8a42a2（3）个人收集整理 勿做商业用途个人收集整理 勿做个人收集个人收集整理 勿做商业用x2xy3y24x4（2）8a42a2（3）m2n23m3n（4）完全平方公式： 22（） 2；22（） 2。立方和与立方差公式： 33（）（22） ；33（）（22） 。注意：（）公式中的字母、可代表一个数、一

10、个单项式或一个多项式。（）选择使用公式的方法：主要从项数上看，若多项式是二项式应考虑平方差或立方和、立方差公式；若多项式是三项式，可考虑用完全平方公式。（）分组分解法：将多项式的项适当的分组后， 组与组之间能提公因式或运用公式分解。适用范围：适合四项以上的多项式的分解。分组的标准为：分组后能提公因式或分组后能运用公式。（）其他方法：十字相乘法： 2（）（）（）。求根公式法： 若2（）的两根是、，2（）（）。商业用途十六、因式分解的一般步骤及注意问题：（）对多项式各项有公因式时，应先提供因式。（）多项式各项没有公因式时，如果是二项式就考虑是否符合平方差公式；如果是三项式就考虑是否符合完全平方公式

11、或二次三项式的因式分解；如果是四项或四项以上的多项式，通常采用分组分解法。整理 勿做商业用途分解因式，必须进行到每一个多项式都不能再分解为止。十七、添括号法则：添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号。途【知识应用】1、分解因式：（1）x25 / 11 2x6x34x y2a x4 a9 a b3p x22a 1 1能被22x242y2b21 yy225xy6x2y3b26 a b210 x8整除。x32y x9 2a128y（ 2x6x34x y2a x4 a9 a b3p x22a 1 1能被22x242y2b21 yy225

12、xy6x2y3b26 a b210 x8整除。x32y x9 2a128y（ 6 ）24c xb（13）6p45的值均为正数。2x yxy42y214x 1 y2（9）x2252a x133p xxy22yxy1xy3b x19（ 7）2yy24x4（8）（10）（11）（12）（14）2、求证：不论 x、y为何有理数， x3、若 a为整数，证明6 / 11 20022002a2ab5x xx5a6x2x33232y 1 xab3c323y2200222a82xy 1310ab2 b2x2x200222003b2a24a3b331 3x320006b2x2 x3220022002a2ab5x

13、xx5a6x2x33232y 1 xab3c323y2200222a82xy 1310ab2 b2x2x200222003b2a24a3b331 3x320006b2x2 x322y 9y210a18a2bab2 x4x202323 x，求 a、b的值。b9a5b2325、已知6、计算：（1）（2）（3）（4） （4）3（5）（6） （6）（7）7 / 11 112xx ,y 2）a6）xy）xaa1 b）x2x2y136a222ab21 b33y2xa3xx2y2的结果是（1 b2124y3a93y2B、）B、2x22x9x3ya18x6xay12xy3B、B、21123xy2a2xxybx

14、23xy62y222y2，a3x2C、C、35x2paa9C、21C、xp112xx ,y 2）a6）xy）xaa1 b）x2x2y136a222ab21 b33y2xa3xx2y2的结果是（1 b2124y3a93y2B、）B、2x22x9x3ya18x6xay12xy3B、B、21123xy2a2xxybx23xy62y222y2，a3x2C、C、35x2paa9C、21C、xpb2a214D、63D、a3x8ma2D、2D、n22（9）10）化简，再求值：其中7、下列运算正确的是（A、a8、下列运算中，正确的是（A、x9、下列多项式中，能够因式分解的是（A、10、分解因式A、1 b11、

15、下列多项式能利用平方差公式分解的是（8 / 11 2xD、4个）C、实数B、无限不循环小数B、2是 8的立方根a 2，则 aC、0 aca b a b ca b a b c3x4a y x y）x yx2x分y2D、整数C、不循环小数1D、16的平方根是 4 1aD、bcB、b 2 364，则 m3y解B、x4xD、22a24a2a b a b c与42x_因2xD、4个）C、实数B、无限不循环小数B、2是 8的立方根a 2，则 aC、0 aca b a b ca b a b c3x4a y x y）x yx2x分y2D、整数C、不循环小数1D、16的平方根是 4 1aD、bcB、b 2 36

16、4，则 m3y解B、x4xD、22a24a2a b a b c与42x_因24,1的平方根是1b2C、13B、_12x2y式y216a2,x1的值为（分解因式的结果是（a b a b ca bx3y3a3C、2）是同类项，那么这两个单项式的积2化简2a2x21,x2C、aay2xy832_D、y2x3y2，x2中是完全平方式的22a a计y2D、2算x6y的结果是412、在多项式有（ ）A、1个 B、2个 C、3个13、数轴上的每一个点都表示一个（A、无理数 B、有理数14、无理数是（ ）A、无限循环小数有限小数15、下列说法中正确的是（ ）A、1的平方根是 1 C、16、若A、2 B、4 1

17、7、多项式A、D、18、如果单项式是（A、19、若 m20、_。21 、9 / 11 200424xxyxax23xa bb aa22224,xy2bx 1 2x3ab a bb等于多少？b25mxy 9y22ax3，则 xx k与12x2 17x，其 中200424xxyxax23xa bb aa22224,xy2bx 1 2x3ab a bb等于多少？b25mxy 9y22ax3，则 xx k与12x2 17x，其 中 a， b 为实 数， 则3a_是一个完全平方式。162x210 mx6b能写成一个多项式的平方的形式，y2123x能被25则a的值为_ 。2成立，那么 k=_。1的乘积展开式中不含2有最小值，并x3mx2