第讲几何证明与计算K字型的妙用资料

1、文档编码 : CX1C9H5Y1Y7 HY10I8N5K6C7 ZL8W4V6H2F8精品文档 其次轮复习 第 74 讲 几何证明与运算 （“ K”字型的妙用） 三角形和四边形作为中学几何的核心学问, 是近几年重庆中考重点考查的内容, 试卷显现的有关几何题问题的运算, 证明与探究, 能较好地考察同学的规律思维 才能和分析问题,解决问题的才能,常考的学问包括：全等三角形,特别三角形 和特别四边形性质与判定, 线段中垂线, 角平分线的性质与判定等相关学问, 灵 活地把握帮忙线的做法是解决这类问题的关键； 学习目标： 1. 学会识别,构造 “ K”字型,积存作帮忙线的数学体会 2. 经受识别,构造基

2、本图形的过程,提高综合分析问题的才能 学习重点： 会用 “K”字型的性质解决问题 学习难点： “K”字型的构造 学习过程： 一,温故知新 观看以下基本图形,你能得出什么结论？ （ 1）如图,已知：点 B,C,D 在同始终线上, ACEC,AB BD,EDDB. E A B CD追问 1：这个图形有什么特点？ 追问 2：如 AC=CE,如 ACCE,你有什么新的发觉？ （ 2）如图,已知： ABC= ACE=D,问： A, ECD 有何关系？ A E B C D（ 3） “K”字型显现形式： 精品文档 第 1 页,共 13 页精品文档 二,自主练习： 1如图,等边 ABC 的边长为 9,BD=3

3、,ADE=60 度,就 AE 长为 . 2如图,F 是正方形 ABCD 的边 CD 上的一个动点, BF 的垂直平分线交对角线 AC 于点 E,连接 BE,FE,就 EBF 的度数是（ ）. A 45 B 50 C60 D不确定 三,经典例题： 例： 如图,在 ABC 中, ABC 连接 AE,BE. 90 ,过点 C 作 AC 的垂线 CE,且 CE=CA, （1）如 tan BAC 3, AE 2 ,求四边形 ABCE 的面积； 3（2）如 EA EB ,求证 AB 2BC . 四,赢在中考： 精品文档 第 2 页,共 13 页精品文档 1小明课间把老师的三角板的直角顶点放在黑板的两条平行

4、线 a,b 上（如图）, 已知 2=35,就 1的度数为（ ）. A 55 B 35 C 45 D 125 2如图,在平面直角坐标系中,正方形 ABCD顶点 A 的坐标为（ 0, 2）,B 点 在 x 轴上,对角线 AC,BD 交于点 M, OM= 3 2 ,就点 C 的坐标为 y DMCA O B x 3正方形 ABCD 中,E 是对角线 BD 上一点,过点 E 作 EFCE 交 AB 于点 F如 BF=2, BC=6,求 FE 的长. 五,感悟数学： 精品文档 第 3 页,共 13 页精品文档 六,课后作业： 21 如图,已知第一象限内的点 A 在反比例函数 y = x 的图象上,其次象限

5、内的 k 3点 B 在反比例函数 y = x 的图象上,且 OAOB , tanB= 3, 就 k 的值 2. 如图,在 Rt ABC 中, ABC 90 ,点 B 在 x 轴上,且 B 1,0,A 点的横坐 标是 2,AB=3BC ,双曲线 y 4m m0 经过 A 点,双曲线 y m 经过 C 点, x x 就 m 的值为（ ） C6 D3 A12 B9 精品文档 第 4 页,共 13 页精品文档 6 3如图, 矩形 ABCD 的顶点 A,D 在反比例函数 y x 0 的图象上,顶点 x C, B 分别在 x 轴, y 轴的正半轴上,且 AB 2,再在其右侧作正方形 DEFG, BC FP

6、QR（如以下图）,顶点 F,R 在反比例函数 y 6 x 0 的图象上,顶点 E,Q x 在 x 轴的正半轴上,就点 R 的坐标为 4已知：在 ABCD 中,AECD,垂足为 E,点 M 为 AE 上一点, 且 ME=AB , AM=CE ,连接 CM 并延长交 AD 于点 F （ 1）如点 E 是 CD 的中点,求证： ABC 是等腰三角形 （ 2）求证： AFM=3 BCF 德中命制人：邓宏书 审稿人：刘加勇 精品文档 第 5 页,共 13 页精品文档 “ K”字型的妙用参考答案 二,自主练习： 17 2. 【考点】 全等三角形的判定与性质；正方形的性质 【专题】 几何图形问题 【分析】

7、过 E 作 HI BC ,分别交 AB , CD 于点 H, I,证明 Rt BHE Rt EIF,可得 IEF+ HEB=90,再依据 BE=EF 即可解题 【解答】 解：如以下图, 过 E 作 HI BC,分别交 E 是 BF 的垂直平分线 EM 上的点, EF=EB , E 是 BCD 角平分线上一点, E 到 BC 和 CD 的距离相等,即 BH=EI , Rt BHE 和 Rt EIF 中, , Rt BHE Rt EIF（ HL）, HBE= IEF, HBE+ HEB=90 , IEF+ HEB=90, BEF=90 ,BE=EF , EBF= EFB=45 应选： A AB ,

8、CD 于点 H,I,就 BHE= EIF=90 , 【点评】 此题考查了正方形角平分线和对角线重合的性质,考查了直角三角形全等的判定, 全等三角形对应角相等的性质 三,经典例题： 【考点】 全等三角形的判定与性质； 等腰三角形的性质； 矩形的判定与性质； 解直角三角形 【分析】（ 1）易求得 AC 的长,即可求得 BC , AC 的长,依据四边形 ABCE 的面积 =SABC +SACE 即可解题； （2）作 ED AB ,EF BC 延长线于 F 点, 易证 BAC= ECF,即可证明 ABC CFE, 可得 EF=BC ,再依据等腰三角形底边三线合一即可求得 【解答】 解：（ 1） AC

9、CE, CE=CA , AC=CE= AE= , tanBAC= , 精品文档 AD=BD ,即可解题 精品文档 BAC=30, BC= AC= , AB= BC= , 四边形 ABCE 的面积 =S ABC+SACE= AB .BC+ AC .CE = + = +1 ； （2）作 EDAB , EF BC 延长线于 F 点, 就四边形 BDEF 为矩形, EF=BD , ACB+ ECF=90 , ACB+ BAC=90 , BAC= ECF, 在 ABC 和 CFE 中, , ABC CFE,（AAS ）EF=BC , ABE 中, AE=BE , ED AB , AD=BD , AB=A

10、D+BD=2BD=2EF=2BC , 即 AB=2BC 【点评】 此题考查了全等三角形的判定,考查了全等三角形的性质,此题中求证 ABC CFE 是解题的关键 四,赢在中考： 1.【考点】 平行线的性质；余角和补角 【分析】 依据 ACB=90, 2=35求出 3的度数,依据平行线的性质得出 1= 3,代入 即可得出答案 【解答】 解： ACB=90, 2=35, 3=180 9035=55, a b, 1= 3=55 精品文档 第 7 页,共 13 页精品文档 应选 A 【点评】 此题考查了平行线的性质和邻补角的定义,解此题的关键是求出 3 的度数和得出 1= 3,题目比较典型,难度适中 2

11、. 【考点】 正方形的性质；坐标与图形性质；全等三角形的判定与性质 【专题】 压轴题 【分析】 过点 C 作 CE x 轴于点 E,过点 M 作 MF x 轴于点 F, MPy 轴,依据正方形 的性质可以得出 MB=MA ,可证明 AMP BMF ,就可以得出 PM=MF ,就可以证明四边 形 OFMP 是正方形, 由勾股定理就可以求出 点的纵坐标 OF 的值, 再由 AOBP BECF ,从而得出 C【解答】 解：过点 C 作 CE x 轴于点 E,过点 M 作 MF x 轴于点 F,连结 EM , MFO= CEO= AOB= APM=90 , 四边形 POFM 是矩形, PMF=90 ,

12、四边形 ABCD 是正方形, ABC= AMB=90 , AM=BM , OAB= EBC , AMP= BMF , AMP BMF （ AAS ）, PM=FM , PA=BF , 四边形 POFM 是正方形, P OP=OF= OM =3 , 2A （ 0, 2）, OA=2 , AP=BF=3-2=1 , OB=3+1=4 , 在 AOB 和 BEC 中, , AOB BEC （ AAS ）, OB=CE=4 , AO=BE=2 OE=4+2=6 , C（ 6,4） 故答 案为：（ 6, 4） 【点评】 此题考查了正方形的性质的运用, 全等三角形的判定及性质的运用, 平行线等分线 段定理

13、的运用,坐标与图形的性质的运用,解答时求证四边形 3. 【考点】 正方形的性质；全等三角形的判定与性质 POFM 是正方形是关键 【分析】 连接 CF,由正方形的性质得出 B=90,再由 EF CE,证得 MEF NCE,得 出 CEF 为等腰直角三角形,求得 EF= = CF,再由勾股定理求得 CF 即可 【解答】 解：连接 CF,过点 E 作 MN AD ,交边 AB 于点 M ,边 CD 于点 N. 如以下图： 四边形 ABCD 为正方形, 可得四边形 AMND 为矩形, 精品文档 第 8 页,共 13 页精品文档 MN=AD=CD DNE=90, BDC=45, DN=EN ME=CN

14、 EFCE, CEF=90 , MEF= ECN 且 FME= ENC=90 MEF NCE （ ASA ）, EF=CE CEF 为等腰直角三角形, EF= = CF, , = =2 , 由勾股定理得： CF= EF= 2 =2 故答案为： 2 【点评】 此题考查了正方形性质,三角形全等的性质与判定, 勾股定理,等腰直角三角形的 判定与性质；娴熟把握正方形的性质,并能进行推理运算是解决问题的关键 六,课后作业： 1. 【考点】 相像三角形的判定与性质；反比例函数图象上点的坐标特点 【分析】 依据相像三角形的判定与性质,可得 ,依据 tanB= = ,可得 ,依据待定系数法,可得答案 【解答】

15、 解：作 AD x 轴于点 D ,作 BC x 轴于点 C,设 A 点坐标是（ x, y） , C= D=90 AOB=90 ,精品文档 第 9 页,共 13 页精品文档 BOC+ AOD=90 , AOD+ OAD=90 , BOC= OAD , 又 D= C, OAD BOC , tanB= = , BC , , y=AD= OC, x=OD= 第一象限内的点 A 在反比例函数 y= 的图象上, xy= OC BC=2 , k=OC .BC=23= 6, 故答案为： 6 【点评】 此题考查了相像三角形的判定与性质, 利用了相像三角形的判定与性质, 锐角三角 函数,待定系数法求函数解析式 2

16、.【考点】 反比例函数系数 k 的几何意义 【分析】 过点 A 作 AE x 轴于 E,过点 C 作 CF x 轴于 F,由 A 点的横坐标是 2,且在双 曲线 y= 4m 上,求出点的坐标,得到线段的长度,利用三角形相像得到点的坐标,列方程 x 求解 【解答】 解：过点 A 作 AE x 轴于 E,过点 C 作 CF x 轴于 F, A 点的横坐标是 2,且在双曲线 y= 4m 上, x A （ 2, 2m）, ABC=90, ABC+ CBF= ABC+ BAC=90 , ABC= FCB , ABE BCF , = = =3, CF=1 , BF= 2m , 3C（ 1 2m , 1）,

17、 3 m双曲线 y= 经过 C 点, x 1 2m = m, 3m=3 , 精品文档 第 10 页,共 13 页精品文档 应选 D 【点评】 此题考查了依据函数的解析式求点的坐标, 相像三角形的判定和性质, 过双曲线上 的任意一点分别向两条坐标轴作垂线,构造直角三角形 3. 【考点】 反比例函数综合题 【专题】 综合题 【分析】 过 D 作 DM x 轴, FN x 轴, RI FN ,RH x 轴,由 ABCD 为矩形,利用对称 性得三角形 OBC 为等腰直角三角形,继而得到三角形 CDM 为等腰直角三角形,即两三角 形相像,且相像比为 1： 2,设 OB=OC=a ,就有 CM=DM=2a

18、 ,表示出 D 坐标,代入反比例 解析式求出 a 的值,确定出 D 坐标,得出 DM 与 OM 长,利用 AAS 得到三角形 DME 与三 角形 EFN 全等,利用全等三角形对应边相等得到 ME=FN , DM=EN ,设 F 纵坐标为 b,代 入反比例解析式得到横坐标为 ,由 OM+ME+EN 表示出 ON ,即为横坐标,列出关于 b 的 方程,求出方程的解得到 b 的值,确定出 F 坐标,得到 ON,FN 的长,同理得到三角形 RFI 与三角形 RQH 全等,设 R 纵坐标为 c,由 ON+NH 表示出横坐标,将 R 坐标代入反比例解 析式求出 c 的值,即可确定出 R 坐标 【解答】 解

19、：过 D 作 DM x 轴, FN x 轴, RI FN , RH x 轴, ABCD 为矩形, A 与 D 在反比例图象上,且 AB=2BC , BCD=90, OBC= OCB=45 , MCD= MDC=45, BOC CMD ,且相像比为 1： 2, 设 OC=OB=a ,就 CM=DM=2a , OM=OC+CM=a+2a=3a , D（ 3a, 2a）, 2 2将 D 坐标代入反比例 y= 中得： 6a =6,即 a =1, 解得： a=1（负值舍去） , DM=2 , OM=3 , DEFG 为正方形, DE=EF , DEF=90 , MDE+ MED=90 , MED+ NEF=90 , MDE= NEF, 在 DME 和 ENF 中, 精品文档 第 11 页,共 13 页精品文档 , DME ENF （ AAS ）,DM=EN=2 , FN=ME , 设 F（ , b）,就 FN=ME=b , ON=OM+ME+EN=3+b+2 , 2可得 5+b= ,即 b +5b 6=0,即（ b+6）（ b1） =0, 解得： b=1 或 b= 6（舍去）, F（ 6,1）,即 ON=6 , FN=1 , 同理 RFI RQH, 设 RH=RI=NH=c,即 R