高中数学：“解析几何”专题课

1、业精于勤荒于嬉,行成于思毁于随！精品文档，欢迎你阅读并下载！高中数学：“解析几何”专题课高中数学“解析几何”专题课失误1求圆锥曲线方程时忽视焦点的位置致误例1已知圆O：x2y29，A(0,2)，P为动点，以线段AP为直径的圆内切于圆O，则动点P的轨迹方程是_解析设线段AP的中点为M，N为切点，连接OM，MN，则|OM|MN|ON|3.取A关于x轴的对称点A1，连接A1P，则|A1P|AP|2(|OM|MN|)6，又|AA1|4b0)的离心率为22，椭圆C和抛物线y2x交于M，N两点，且直线MN恰好过椭圆C的右焦点F.(1)求椭圆C的标准方程；解由ac22和a2b2c2，可设a2，则c2，b2，

2、其中0.由题意不妨设M(c，c)，代入椭圆方程，得ac22bc21，即122221，解得2，从而a22，b2，c2.故所求椭圆C的方程为x82y421.(2)经过点F的直线l和椭圆C交于A，B两点，交抛物线于C，D两点，P是抛物线的焦点，是否存在直线l，使得SOCD97SPAB？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由解假设存在满足条件的直线l，结合已知条件易知直线l的斜率存在且不为零，可设直线l为yk(x2)，k0，A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，D(x4，y4)由条件知Puf0e8uf0e7uf0e614，0uf0f8uf0f7uf0f6，F(2,0)，SSOP

3、ACBD78SSOOCADB87SSOOCADB87|CADB|97，故|CADB|98.由uf0eduf0efuf0ecx82y421，uf0eeuf0efykuf028x2uf029得(12k2)x28k2x8k280，132k2320，x1x218k22k2，x1x281k22k82，则|AB|1k2|x1x2|42uf0281k2uf02912k2.由uf0eeuf0efuf0eduf0efuf0ecyy2kxuf028x2uf029，得k2x2(4k21)x4k20，28k210，x3x44k2k21，x3x44，则|CD|1k2|x3x4|uf0281k2uf029uf02818k

4、2uf029k2.uf0281k2uf029uf02818k2uf029由|CADB|98，得k242uf0281k2uf02998，12k2即uf0281k22k2uf02911k28k29，2即81k4(1k2)2(12k2)2(18k2)，整理得17k69k424k220，即(k21)(17k426k22)0，解得k1.故存在直线l：yx2或yx2满足题意微评求解本题第(2)问的常规思路是用关于k的代数式表示出OCD，PAB的面积，代入SOCD97SPAB，判断所得方程是否有解注意到此解法计算量较大，极易出错，甚至难以进行下去，故可先将面积比转化为弦长比，再进行计算，虽然转化过程较复杂，

5、但计算量相对较小在解答类似的综合问题时，一定要注意对已知条件进行转化，通过合理转化降低计算量，简化解题步骤.失误3因忽视直线的斜率是否存在而失分例3已知椭圆M：ax22y321(a0)的一个焦点为F(1,0)，左、右顶点分别为A，B，经过点F的直线l与椭圆M交于C，D两点(1)求椭圆M的方程；解因为F(1,0)为椭圆M的焦点，所以c1，又b3，所以a2，所以椭圆M的方程为x42y321.(2)记ABD与ABC的面积分别为S1和S2，求|S1S2|的最大值解法一：当直线l的斜率不存在时，直线方程为x1，此时ABD与ABC的面积相等，即|S1S2|0.当直线l的斜率存在时，设C(x1，y1)，D(

6、x2，y2)，直线l的方程为yk(x1)(k0)，与椭圆M的方程联立，消去y，得(34k2)x28k2x4k2120，0恒成立，且x1x238k42k2，此时|S1S2|2|y2|y1|2|y1y2|2|k(x11)k(x21)|2|k(x1x2)2k|312|4kk|2|k3|124|k|212123uf0e8uf0e7uf0e7uf0e6当且仅当k23时，取等号uf0f8uf0f7uf0f7uf0f6，所以|S1S2|的最大值为3.法二：设C(x1，y1)，D(x2，y2)，直线l的方程为xmy1，与椭圆M的方程联立，消去x，得(3m24)y26my90，0恒成立，且y1y23m62m4，

7、故|S1S2|2|y2|y1|2|y1y2|31m22|m|43|m1|2|m4|212123，当且仅当m233时取等号，所以|S1S2|的最大值为3.微评(1)当直线l的斜率不存在时，可知直线方程为x1；当直线l的斜率存在(显然k0)时，可设直线方程为yk(x1)(k0)求解时一定要分直线l的斜率不存在与直线l的斜率存在两种情况作答，缺少任何一种情况，步骤都是不完整的(2)本题可将直线方程巧设为xmy1，用含m的式子表示出|S1S2|，并求其最大值显然，此法无需考虑直线的斜率是否存在，是解决此类问题的最佳选择提能点(二)灵活运用策略，尝试“借石攻玉”策略1点差法：解决中点弦问题在圆锥曲线中，

8、有关弦的中点条件，可利用点差法求解，即对于圆锥曲线ax2by21来说，当两点M(x1，y1)，N(x2，y2)在曲线上时，一定满足uf0efuf0ecax21by211，uf0eeuf0efuf0edax22by221，从而两式相减得xy22yx11abuf028uf028xy22xy11uf029uf029abxy00，其中(x0，y0)是MN的中点例1已知椭圆E：ax22by221(ab0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交椭圆E于A，B两点若AB的中点坐标为(1，1)，则椭圆E的方程为()A.4x523y621C.2x721y821B.3x622y721D.1x82y921解析由题意

9、知直线AB的斜率k03uf02811uf02912，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则uf0eeuf0efuf0eduf0efuf0ecxxaa212222bbyy21222211，整理得xy11yx22ba22xy11yx22，即kba222212，ab2212.又a2b2c29，a218，b29.椭圆E的方程为1x82y921.答案D微评本题利用“点差法”及“设而不求”思想求得a与b的关系，然后根据a2b2c2，求得椭圆方程.策略2联立方程法：解决对称问题圆锥曲线上存在两点，关于某条直线对称，求参数的取值范围，这类问题常见的解法是：设P(x1，y1)，Q(x2，y2)是圆锥曲线上关于

10、直线ykxb对称的两点，则PQ的方程为y1kxm，代入圆锥曲线方程，得到关于x(或y)的一元二次方程，其中P，Q的横(或纵)坐标即为方程的根，故0，从而求得k(或b)的取值范围例2已知抛物线C：y2x与直线l：ykx34，要使C上存在关于直线l对称的两点，求实数k的取值范围解设C上的A(x1，y1)，B(x2，y2)两点关于直线l对称，线段AB的中点为M(x0，y0)，则uf0eeuf0efuf0eduf0efuf0ecyy2122xx12，两式相减，得(y1y2)(y1y2)x1x2.y1y22y0，ABl，kABxy11yx2221y01k，y0k2.代入ykx34，得x0y0k34124

11、3k.点M在抛物线内部，y02x0，即k421243k，整理得k23k20.不等式等价于1k(k1)(k2k3)0，解得1k1)，F1，F2分别是其左、右焦点，以F1F2为直径的圆与椭圆C有且仅有两个交点(1)求椭圆C的方程；解根据题意，因为以F1F2为直径的圆与椭圆C有且仅有两个交点，所以bc1，即ab2c22，所以椭圆C的方程为x22y21.(2)设过点F1且不与坐标轴垂直的直线l交椭圆于A，B两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点P，点P横坐标的取值范围是uf0e8uf0e7uf0e614，0uf0f8uf0f7uf0f6，求线段AB长度的取值范围解根据题意，过点F1且不与坐标轴垂直的直

12、线l交椭圆于A，B两点，即直线AB的斜率存在且不为10.设直线AB的方程为yk(x1)，与x22y21联立，得(12k2)x24k2x2k220.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，线段AB的中点为M，则x1x214k22k2，x1x221k22k22，y1y2k(x11)k(x21)12k2k2，即Muf0e8uf0e7uf0e7uf0e612k22k2，1k2k2uf0f8uf0f7uf0f7uf0f6.所以线段AB的垂直平分线的方程为yk12k21kuf0e8uf0e7uf0e7uf0e6x12k22k2uf0f8uf0f7uf0f7uf0f6，设点P(xP，yP)，令y0，得xP1k

13、22k2.因为xPuf0e8uf0e7uf0e614，0uf0f8uf0f7uf0f6，所以10k212.所以|AB|uf0281k2uf029uf028x1x2uf02924x1x2uf0281k2uf029uf0ebuf0eauf0eauf0e9uf0e8uf0e7uf0e7uf0e614k22k2uf0f8uf0f7uf0f7uf0f62412k22k22uf0fbuf0fauf0fauf0f9212uf02812k2k2uf0292uf0e8uf0e7uf0e7uf0e61112k2uf0f8uf0f7uf0f7uf0f6.因为0k212，所以321112k22，即322|AB|22.

14、故线段AB长度的取值范围是uf0e8uf0e7uf0e7uf0e6322，22uf0f8uf0f7uf0f7uf0f6.微评(1)本题利用了函数与方程思想，首先由已知条件列出关于a，b的方程，求出a，b的值；求AB长度的范围时，转化为关于k的函数，利用函数性质求解(2)函数与方程思想在解决一些解析几何问题中经常用到，如求范围、最值问题关注临界问题，提能点(四)挖掘“学科潜力”临界法则(1)与直线AxByC0平行的直线系方程为AxByD0(CD)；与直线AxByC0垂直的直线系方程为BxAyE0.(2)过直线l1：a1xb1yc10与直线l2：a2xb2yc20交点的直线系方程为a1xb1yc1

15、(a2xb2yc2)0.(3)过圆C1：x2y2D1xE1yF10与圆C2：x2y2D2xE2yF20的交点的圆系方程为x2y2D1xE1yF1(x2y2D2xE2yF2)0.(4)过直线axbyc0与圆C：x2y2DxEyF0交点的圆系方程为x2y2DxEyF(axbyc)0.(5)圆(xa)2(yb)2R2的参数方程为uf0efuf0ecxaRcos，uf0eeuf0efuf0edybRsin(为参数)(6)椭圆ax22by221的参数方程为uf0efuf0ecxacos，uf0eeuf0efuf0edybsin(为参数)典例已知圆x2y2x6ym0与直线x2y30相交于P，Q两点，O为坐标原点，若OPOQ，求实数