十重积分的计算方法探讨

1、教研室高等数学研究第十二讲通过教学使学生掌握计算二重积分与三重积分的各种方法。1.化累次积分计算二重积分与三重积分2利用极坐标计算二重积分3、用球坐标计算三重积分难点是二重积分与三重积分的计算技巧重积分的计算方法探讨二重积分的基本计算方法有两种，一是化累次积分的方法1后 2，教研室高等数学研究第十二讲通过教学使学生掌握计算二重积分与三重积分的各种方法。1.化累次积分计算二重积分与三重积分2利用极坐标计算二重积分3、用球坐标计算三重积分难点是二重积分与三重积分的计算技巧重积分的计算方法探讨二重积分的基本计算方法有两种，一是化累次积分的方法1后 2，先 2后 1，）3、用柱坐标计算三重积分授课对象

2、重积分的计算方法探讨,二是极坐标的方法。课时数4 数值分析课程名称授课题目教学目的重点难点第十二讲一、二重积分的计算方法教1.化累次积分计算二重积分2利用极坐标计算二重积分二、二重积分的计算技巧学3.改变累次积分的次序计算二重积分4.分割积分区域计算二重积分5.利用函数的奇偶性化简二重积分提三、三重积分的计算1、用函数奇偶性化简三重积分2用直角坐标计算三重积分（先纲4、用球坐标计算三重积分1 / 10 教学后记重积分的计算方法探讨,二是极坐标的方法。型区域1(x)a型区域1(x)dcxydD 看成是 X2 x1 14xydD 看成是 Y2 21 yy 1可把 D 看成是 Xy1ydy1其中 D

3、 是由直线 y 1、x 2及 y x 所围成的闭区域型区域 1 x 教学后记重积分的计算方法探讨,二是极坐标的方法。型区域1(x)a型区域1(x)dcxydD 看成是 X2 x1 14xydD 看成是 Y2 21 yy 1可把 D 看成是 Xy1ydy1其中 D 是由直线 y 1、x 2及 y x 所围成的闭区域型区域 1 x 2 1 y x 于是 xydyx221型区域 1 y 2 y x 2 于是 xyddy1x2型区域2(x)2(x)2(x)2(y)dx21dx2y2d1 x 1 x y 1 于是 a x b x)f (x, y)dydx c y d y)2128x1y D 是由直线 y

4、 1、xf(x9xydyx2221及 y x 所围成的闭区域x,y)dxy2，212ydy2x1dxxdx112x1(2y21ydyy32(x)dy3y2x)dxy481289第十二讲重积分的计算一方面本身是很重要的，另一方面它是曲线积分、曲面积分和概率统计的基础，分割积分区域、利用函数的奇偶性简化积分和利用对称性（轮换）简化积分是重积分计算的技巧。一、二重积分的基本计算方法二重积分的基本计算方法有两种，一是化累次积分的方法1.化累次积分计算二重积分XD bf(x,y)dDY D f (x,y)dD例 1： 计算D【解法一】把xydD1 x2 4【评注】积分还可以写成D【解法二】也可把xydD

5、例 2 计算D【解】 画出区域 D2 / 10 x211型区域 : 1 y 1x2积分区域、Dcos ,1e闭区域 D 可表示为 : 0eDe ) d此处积分x2y2 z2 4a2 y2 2ax所截得的（含在圆柱面内的部分）立体体积为第一卦限部分的四倍4y 2ax2a cosy2d3(11 xy y2dD 的边界曲线用极坐标方程来表示比较方便表达比较简单D:sin ) d dx2a 0 x20a20ey2立体的体4a2x201 11 xx2于是11且被积函数这时我们就可以考虑利用极坐标来计算二重积分 1dy22y2x211型区域 : 1 y 1x2积分区域、Dcos ,1e闭区域 D 可表示为

6、 : 0eDe ) d此处积分x2y2 z2 4a2 y2 2ax所截得的（含在圆柱面内的部分）立体体积为第一卦限部分的四倍4y 2ax2a cosy2d3(11 xy y2dD 的边界曲线用极坐标方程来表示比较方便表达比较简单D:sin ) d dx2a 0 x20a20ey2立体的体4a2x201 11 xx2于是11且被积函数这时我们就可以考虑利用极坐标来计算二重积分 1dy22y202x2a2x2及 x 轴所围成的闭区域2dx yy ) 1xdxydy( )2( )dxdydxdy(1y2y2dxdy123y1 2( )其中 D 是由中心在原点、半径为ee )dxdy也常写成x2211

7、 x( )f (a 的圆周所围成的闭区域2a2ey2dy12则cos ,d dx21(|xy2dxsin ) d2y|321)dxadxdy23210d(xd321)dx e12122a0dD13也可 D 看成是 Yy 1D2利用极坐标计算二重积分有些二重积分用极坐标变量f(x,y)dD若积分区域 可表示为f (D例 3 计算D【解】在极坐标系中于是D12(1【评注】D例 4 求球体 x2 被圆柱面 x2积【解】由对称性VD其中 D 为半圆周在极坐标系中 D 可表示为03 / 10 Va2 (1 sinX 型积分比较困难， 甚至积不出来， 但视为 Y 型区域就除了看积分区域外还应看被积函数y2

8、x的一次函数，“先 x后 y”积分较容易，yxydxdy10dx e dyf (x) (x)dxmax()，min()往往在积分区域的不同部分有不同，以正确计算积分(x1 x2. D(x,y) 1420。xydxdy03yysint0 x,y) xy2dxdy.1x24a23，其Va2 (1 sinX 型积分比较困难， 甚至积不出来， 但视为 Y 型区域就除了看积分区域外还应看被积函数y2x的一次函数，“先 x后 y”积分较容易，yxydxdy10dx e dyf (x) (x)dxmax()，min()往往在积分区域的不同部分有不同，以正确计算积分(x1 x2. D(x,y) 1420。xy

9、dxdy03yysint0 x,y) xy2dxdy.1x24a23，其中 是由直线dy22dtt2(x,y) 0y22)dD y0 xyy2x22,x2acosd d323x,yy2202,xy20,y4 da2(21,xxydxy0,1,x02023)0所围成的平面dyy0,y. 023004a210，1，2yx2d2y2 1dy表示不超过29x2. y2的D323二、二重积分的计算技巧1.改变累次积分的次序计算二重积分有些题目若把积分区域视为好积多了。化累次积分时，例 5 计算二重积分D区域. 【解】积分区域如右图 .因为根号下的函数为关于所以把 D 视为 Y 型区域1y2D2 13 y

10、1 1例 6：(1)求0 xx(2) ，计算【分析】这两个几分直接计算都是困难的，但交换累次积分的顺序后计算就简单多了。2.分割积分区域计算二重积分绝对值函数、分段函数、取整函数，的取值， 应根据被积函数合理分割积分区域例 7设D最大整数 . 计算二重积分D【分析】首先应设法去掉取整函数符号，为此将积分区域分为两部分即可【解】令D24 / 10 x1 x2D1sin cos d. 而实际考题中， 被积函数经常为隐含的分段函数，fff(x,y)关于 x是偶函数，并且2D左（1）能简化二重积分的计算。DD x. 积分区域 如右图所示 .因为区域 关于 轴对称，f (x,y)g(x,y)1111.

11、y2dxdy=D210如取绝对值函(x,y) max f(x,y)(x,y) xD 关于 Y 轴对称 ,则f (x,y)dxdyD右(x, y)关于 轴对称，故可先利用二重积分的对称性结论简化所求积D D x11xy1x2x2xyx2x1 x2D1sin cos d. 而实际考题中， 被积函数经常为隐含的分段函数，fff(x,y)关于 x是偶函数，并且2D左（1）能简化二重积分的计算。DD x. 积分区域 如右图所示 .因为区域 关于 轴对称，f (x,y)g(x,y)1111. y2dxdy=D210如取绝对值函(x,y) max f(x,y)(x,y) xD 关于 Y 轴对称 ,则f (x

12、,y)dxdyD右(x, y)关于 轴对称，故可先利用二重积分的对称性结论简化所求积D D x11xy1x2x2xyx2xydxdy 2r dr、取极值函数在区域 D 上连续，则关于 是奇函数，并且2x2是变量 的偶函数，x2是变量 的奇函数 .则x2y2y2y2xydxdy3(x,y,g(x,y) fD 关于 Y 轴对称,则f (x,y)dxdyy2y2y2dxdyDdxdydxdyD2以及取整函数f(x,y)dxdy。1,xyy2101120(x, y0；011，x2sin cos d等等. ， 计算二重积分x2y22111y2dxdyDr drxyx2dxdyxy13y22 dx2=dx

13、dy.20y21810dxdy34r1ln2278r. .2drln22D20【评注】对于二重积分（或三重积分）的计算问题，当被积函数为分段函数时应利用积分的可加性分区域积分数3.利用函数的奇偶性化简二重积分设函数（1）如果D（2）如果 ff(x,y)dxdyD评论：还有两条类似的结论，例 8:设区域D【分析】由于积分区域分，又积分区域为圆域的一部分，则将其化为极坐标系下累次积分即可【解】函数函数1DxyD故D【评注】只要见到积分区域具有对称性的二重积分计算问题，就要想到考查被积函数或其代数和的每一部分是否具有奇偶性，以便简化计算例设二元函数5 / 10 1y2f(x,y)d D4D1DD12

14、x dD11D1sinf (x, y)dD1( x2 y2 y)d x y2 (x 1)2 y2D (x,y)|x2 y2 4减去小圆，再利用对称性与极坐标计算即可 . D (x,y)| x2 y2 4, D (x,y)|(x 1)2 y1y2f(x,y)d D4D1DD12x dD11D1sinf (x, y)dD1( x2 y2 y)d x y2 (x 1)2 y2D (x,y)|x2 y2 4减去小圆，再利用对称性与极坐标计算即可 . D (x,y)| x2 y2 4, D (x,y)|(x 1)2 y2 1yd 03d r2dr d r(3 2)( xx,1(x,y) xf(x,y)d

15、111( x,y)|120212cos4211 222yxy为 D 在第一象限的部分 . ( |0 x1x2df (x,y)d4和，2dry21,y2.x,y)ydxy20131所围成. y)d2,y2，1 x02sincossin4 2ln( 21691xx2dcossin21)(3x，00,ydx20cos2. 2). x010dd1xsin2ln( 2, 2cos1)(1 xdr. )dx112, f(x,y)x2计算二重积分 ，其中D【解】由区域的对称性和被积函数的奇偶性有f (x,y)dD其中设Df (x, y)dD1f(x,y)dD1220因此D例 10: 求 ，其中 D 是由圆D

16、的平面区域 (如图). 【分析】首先，将积分区域 D 分为大圆D2 ( x,y)|(x 1)2 y2 1【解】令由对称性， . Dx2 y2d x2 y2d x2 y2dD D1 D22 2 2cos0 0 0216 32 163 9 9所以，D三、重积分的计算6 / 10 关于 xy(yz 或 zx)面对称，而f(x,y,z)dV: 1:0ey关于 ey2 2 1 1关于 面对称，ez x如图，则f (x,y,z)dVf (x, y,z)dVDzc1 z的形状以及被积函数的特点xdxdydz，z 1:xxdxdydzf2xz2yoz面对称，4xoz ez2可表示为dxdy f (x, y,z

17、)dzbac为三个坐标面及平面x0(x,y)110(x,y,z)f (x,y,z)dV （1, 01, xsinx322tanz1(x,y) z(x,y)z1(x,y)dx，故2x2yz 1D1 xxdx是 z(x 或 y)的偶（奇）函数，关于 xy(yz 或 zx)面对称，而f(x,y,z)dV: 1:0ey关于 ey2 2 1 1关于 面对称，ez x如图，则f (x,y,z)dVf (x, y,z)dVDzc1 z的形状以及被积函数的特点xdxdydz，z 1:xxdxdydzf2xz2yoz面对称，4xoz ez2可表示为dxdy f (x, y,z)dzbac为三个坐标面及平面x0(

18、x,y)110(x,y,z)f (x,y,z)dV （1, 01, xsinx322tanz1(x,y) z(x,y)z1(x,y)dx，故2x2yz 1D1 xxdx是 z(x 或 y)的偶（奇）函数，f(x,y,z)dVy22dVsintan2z2(x,y)Dy2(x)y1(x)f(x,y,z)dVDz2yx 2y200）。1, 0y2ey sinx3dVx3为 x的奇函数，故x y3 y的奇函数，故y3dy fc2c1z(dyz1，求2e x23z2(x,y)z1(x,y)dz1所围成的区域。先一后二101，求ez2y2为dV(x,y,z)dzf(x,y,z)dxdy)x 2y2ey2d

19、Vsine xez x0dzsin x3tan x2y33z22y102dV3dVdVtantan121 xxdx (1 x；。022x20y3 dVy3 dV2y)dy03dV31 123对称性：若则1例 11：(1)设(2)设【解】 (1)积分区域故原式(2)故2用直角坐标计算三重积分在直角坐标系中，可化三重积分为三次积分。设积分域z2(x,y)故D式称为计算三重积分的先一后二法。式可进一步化为式即为计算三重积分的三次积分法。(x,y)也可表示为式称为计算三重积分的先二后一法或切片法。注：用直角坐标计算三重积分的关键是根据积分区域选择适当的积分组合与次序。例 12：求0【解】0故7 / 1

20、0 1 xx(1xyzdxdydz，:2y2xyzdxdydzD120sin2I1:ccDzab zx2dxdydz152关于xydxdydzIzdxdydz，:1 z 220Dz1x)y为球面0(xydxdyd20z2dxdydz, I2(x,y)z2cc04x2xoy,yzdxdydz2由(x, y)zdz dxdyDz2y2xz 1 x极坐标)0014(xD :dz2a3bcy2yoz,zox面对称，而 xy,zxdxdydz 0 x2x2Dz : x y2102022zdzr cos16yy2adxdy1,z2yz,zx分别为 x,y,zy2y221zdzdxy2yxyr sin148

21、z)2dxdydz，2czc2y2dxdydz152xy的奇函数，z2 dxdydzz23zdxdy14z22(121由b2z21 xx(1xyzdxdydz，:2y2xyzdxdydzD120sin2I1:ccDzab zx2dxdydz152关于xydxdydzIzdxdydz，:1 z 220Dz1x)y为球面0(xydxdyd20z2dxdydz, I2(x,y)z2cc04x2xoy,yzdxdydz2由(x, y)zdz dxdyDz2y2xz 1 x极坐标)0014(xD :dz2a3bcy2yoz,zox面对称，而 xy,zxdxdydz 0 x2x2Dz : x y21020

22、22zdzr cos16yy2adxdy1,z2yz,zx分别为 x,y,zy2y221zdzdxy2yxyr sin148z)2dxdydz，2czc2y2dxdydz152xy的奇函数，z2 dxdydzz23zdxdy14z22(121由b2z22dz42yz4154, x2(x, y)2112x21及三个坐标面所围第一卦限部分。0先一后二)1rxa1a 1415ab3c2zxdxdydzabc a2yDz : xzdzx3 dxz0 x2222zcz2c2abc3b2222dxdy1 14 21 xr 1y2 dxdyrdry2b222b 1c23z围成。y223212z2c2(z2c

23、2414y21201围先二后一)dzz148cos sin d2先二后一 )0r3r dr50例 13、求【解】(x,y) D01 x2故D121 12 2例 14、求成。2【解】c zI1c2由对称性，I因为故从而例 15：求【解】0 z 1zdxdydzDz8 / 10 z1Mr cosyz在dVf(x,y,z)dVzdxdydz，:110z2:210 x22: 0 r2y2 dxdydz称为 的球坐标，规定z23zdz(x, y,z)在 xoy面上的投影为 P P (rr sinxoy面上的投影是圆或被积函数含有rdrd dz，f r由(x,y)12zdzDzzdzz02 rdy2 dx

24、dydz，z220rr22， 的极坐标为. x2( cos , sin ,z)rdrd dzzDz : xzdxdy212r20由2d,0z, )，则 (ry2r22120zrz1Mr cosyz在dVf(x,y,z)dVzdxdydz，:110z2:210 x22: 0 r2y2 dxdydz称为 的球坐标，规定z23zdz(x, y,z)在 xoy面上的投影为 P P (rr sinxoy面上的投影是圆或被积函数含有rdrd dz，f r由(x,y)12zdzDzzdzz02 rdy2 dxdydz，z220rr22， 的极坐标为. x2( cos , sin ,z)rdrd dzzDz : xzdxdy212r20由2d,0z, )，则 (ry2r22120zr11rdrx20, 0(4, ,z) M时，适宜用柱坐标。显然，在dx2y2zdzDz1(22r22r2z2)dz称为 的柱rdry2, z