十章函数项级数,幂级数

1、函数项级数、幂级数讨论下列函数序列在所示区域的一致收敛性：fn(x)fn(x)xfn(x)fn(x)xfn(x)xfn(x)fn(x)xxfn(x)fn(x)fn(x)fn(x)x2sinn( l,l), ii) nx111a,n2x1a,nx1 nx10,b,ba,xnxnx xn n1n1n2xx,nxnx),a2n3x),a,xnx1, ii) ),ax2n,xn ,ln ,ln(1 e, x函数项级数、幂级数讨论下列函数序列在所示区域的一致收敛性：fn(x)fn(x)xfn(x)fn(x)xfn(x)xfn(x)fn(x)xxfn(x)fn(x)fn(x)fn(x)x2sinn( l,

2、l), ii) nx111a,n2x1a,nx1 nx10,b,ba,xnxnx xn n1n1n2xx,nxnx),a2n3x),a,xnx1, ii) ),ax2n,xn ,ln ,ln(1 e, x,(x,0,30,xnx 0,1;1;x1xnx(,(0,1); ii) , ii) 0,1;,0,1;x(0,1);),);xx0,1;x);(0,(0,(););,);1. 函数项级数的一致收敛性1.i) i) i) i) iii) 1 / 9 fn(x)x设 f () 定义于 (a,b)，令nf(x)n参数n0,1证明序列1lim f (xdx设a,b (n按定义讨论下列函数项级数的一致

3、收敛性：(1 x)x( 1)n x(1 x2)n设. 设 在n f(x , (a设e , l,l,(nf取什么值时，xe ,0,1f (x)n ( )1,2,n1 2,ff (fn(x)x设 f () 定义于 (a,b)，令nf(x)n参数n0,1证明序列1lim f (xdx设a,b (n按定义讨论下列函数项级数的一致收敛性：(1 x)x( 1)n x(1 x2)n设. 设 在n f(x , (a设e , l,l,(nf取什么值时，xe ,0,1f (x)n ( )1,2,n1 2,ff () (a,b)内有连续的导数1n)b)上， ( )f x) a,b(x n)2 ii) 1,2,nnx

4、一致收敛？使nnf x a,b) lim x,xn(f (x)，且f (x),fn x f1(x). (x)nlimnnxe (nlimn，满足x 0,1;(x) (n一致收敛于在 上黎曼可积，定义函数序列(在1,2,3,10nx20是 上的连续函数列，且n,1,2,(x). ,(a,b)上一致收敛于f1,2,f fn). ) 在a,b上有界，并且 fn(x) 在a,b上一致收敛，求证：)f(x)n() 0,1n(n(x0，求证. x)dx可在积分号下取极在闭区间 上收敛，但x)dxx) a,bn n.在 一致收敛于(x )f(x)f(x0).；又i) 2.fn(x)求证：3.fn(x)在闭区

5、间 收敛？在闭区间限？4.10n5.xn6.n 0n 17.fn(x)在a,b上一致有界8.fn(x)求证：在闭区间9.2 / 9 x1(flim f ( )0lim a lim f(x)lim lim f ( )0sin3 4x1( 1)n(1 en2 x2sinnxx 2nnx1n2n!x2exnlnn xn!x2nxfn(t)dtafnnnnnxnn4xnx,n5x(xnnx,1n2n(nn(x)an, (nx xx0nx2),x2xx1(flim f ( )0lim a lim f(x)lim lim f ( )0sin3 4x1( 1)n(1 en2 x2sinnxx 2nnx1n2

6、n!x2exnlnn xn!x2nxfn(t)dtafnnnnnxnn4xnx,n5x(xnnx,1n2n(nn(x)an, (nx xx0nx2),x2x ),xx2,1,2,(x)在(a,b)内一致收敛于1,2,0lim x)4, xx( 2,n2x0,1;1(|x| r)在 . f(x)， x). n(, x(0,);x10,n 1)21;a,b上一致收敛于零0. (,);(|x|);,(a,b)且,);,2;x););(,);求证：10. 设x证明： 和n x11. 讨论下列函数项级数的一致收敛性：n 1n 1n 1n 1n 1n 1n 1n 1n 2n 13 / 9 ln(1 nxn

7、xn2n3n2 x2sin xsinnxn x( 1)nx n( 1)nn2 sin ,( 1)3 2xn( 1)nn(x2(1un(x)的一般项 u xn 1X), x, x,sinn3nx2, x| a;n exn,x2n2nln(1 nxnxn2n3n2 x2sin xsinnxn x( 1)nx n( 1)nn2 sin ,( 1)3 2xn( 1)nn(x2(1un(x)的一般项 u xn 1X), x, x,sinn3nx2, x| a;n exn,x2n2n(x)都是1)nx2)n| ( )|上也一致收敛且绝对收敛,(0,2 ;xx1x11a,b 上的单调函数，如果1n虽在n.

8、x,( 1,x 1,0;,n1x2xcn(x), xa,););x(0,x(x)关于 在(X),a(); 1,1.在a,b的端点为绝对收x (,并且1.,)cn(x) X);)上绝对收敛，但并不一致收敛在 上一致收敛， 证明上为一致收敛，但对任何. x并非绝n 112. 讨论下列函数项级数的一致收敛性：cosn 1n 1n 1n 1n 1n(n 1)n 1n 1n 113. 设每一项敛，那么这级数在 a,b上一致收敛 . 14. 证明级数n 1对收敛；而级数n 115. 若n 1un(x)在n 14 / 9 . (2x)nn!ln(n 1)n 1nnxn2nn3nn(2n)!(2n 1)!1(

9、 1)nn nx5(n!)2(2n)!1nxn;xn ;12nxn;( 2)nxn;1nn. (2x)nn!ln(n 1)n 1nnxn2nn3nn(2n)!(2n 1)!1( 1)nn nx5(n!)2(2n)!1nxn;xn ;12nxn;( 2)nxn;1nnnnx121nx;(xn2xn;x7nn1nn;1)n;n;x;n;1 求下列各幂级数的收敛域n 1n 1n 1n 13 ( 1)nn 1n 1n 1n 1n 1n 1n 1n 1n 15 / 9 (x(2nan xxnann 0an(ananbnakx1 ( nanan设n 0f (x)dxn 0an利用上题证明x用逐项微分或逐项

10、积分求下列级数的和：2)2n1)!2npxn 的收敛半径为x2nbn)xn；xn . kxnxnf(x)annxn11n(1n 11;n.(x(2nan xxnann 0an(ananbnakx1 ( nanan设n 0f (x)dxn 0an利用上题证明x用逐项微分或逐项积分求下列级数的和：2)2n1)!2npxn 的收敛半径为x2nbn)xn；xn . kxnxnf(x)annxn11n(1n 11;n.R ，；M 收敛；Man1当 xx) (0 abn0,1,. xnrnr 时是否收敛 . dx1);xn 的收敛半径为x1当 时收敛，那么当n11n2Q ，讨论下列级数的0) x xx r

11、1，. ，求证：当 0 时，有an1rn 1收敛时有n 1n 1n 12 设幂级数n 0收敛半径：n 1n 1n 1n3 设k 0n 0n 04.n 0r0不论n 05.06.6 / 9 xnnnxnn(n( 1)n(2n 1)n2 1xnn!2n( 1)nn3(n 1)!x4n4n(2n2x(2n!求下列级数的和：2n2n1n证明：x4n(4n)!xn(; ; 1)xn1x2n ; ; x1; 1nxnnnxnn(n( 1)n(2n 1)n2 1xnn!2n( 1)nn3(n 1)!x4n4n(2n2x(2n!求下列级数的和：2n2n1n证明：x4n(4n)!xn(; ; 1)xn1x2n

12、; ; x1; 1n 1n 1n 1)21. (2n满足方程满足方程n!)2; n1)xn; ; x; 1)yxy; 2n(4)1yy. ；y0. n 1n 1n 1n 1n 1n 1n 0n 0n 1n 17.n 1n 18.n 0n 07 / 9 设 是幂级数f (x)f(x)求证： f() 在 1,1连续，求证： 在点求证：求证： f() 在点. 11x)21(1cos2 x; sin3xx(1 )1n(x11 3x设 是幂级数f (x)f(x)求证： f() 在 1,1连续，求证： 在点求证：求证： f() 在点. 11x)21(1cos2 x; sin3xx(1 )1n(x11 3x

13、 2x2arcsinx; 1n(1 xxarctanxf ()为偶函数，则级数中仅出现偶次幂的项xnn21n(1 n)ff() xlim f ()x,a 0; ;x)3; ;x e1;x2);ln 1an. . 1可导；1不可导;xx2);x2;xn(x)在( 1,1)内连续；. ; 在 上的和函数，若( ,)f(x)为奇函数，则级数中仅n 0出现奇次幂的项；若10. 设n 1x 111. 利用基本初等函数的展式，将下列函数展开为麦克劳林级数，并说明收敛区间a x(11 3x8 / 9 xtcost2dt.1n(1 x)1 x(arctan1n2(1 xx01a x1nln x,ex,x0f()df (x) 在区间 (a,b)内的各阶导数一致有界，即存在(a,b)，有f (x)| M(a,b)内任意点 xf (xn!sint;x)2xtcost2dt.1n(1 x)1 x(arctan1n2(1 xx01a x1nln x,ex,x0f()df (x) 在区间 (a,b)内的各阶导数一致有界，即存在(a,b)，有f (x)| M(a,b)内任意点 xf (xn