七年级春季班第19讲：压轴综合题-学生-马秋燕

1、压轴综合题压轴综合题内容分析内容分析本章主要针对图形在运动过程中存在的不变性进行推理论证，找出特殊的三角形的隐含条件作为辅助，解决相关角度不变性及比值和面积的相关问题，对于复杂的综合题，需添加辅助线，常见的辅助线有倍长中线构造全等，做高等，视具体题目而定知识结构知识结构模块一：模块一：角度的不变性知识知识精讲 本节主要运用三角形的内外角之间的关系进行换算和求解动点下产生不变角的问题，特别是外角定理的运用在本节中非常重要例题解析例题解析如图，已知MON=90，点A、B分别在射线OM、ON上，OAB的内角平分线与OBA的外角平分线所在的直线交于点C试说明C与O的关系；当点A、B分别在射线OM、ON

2、上移动时，试问C的大小是否发生变化，若保ABCDMNABCDMNO【难度】【答案】【解析】如图，在平面直角坐标系中，ABO是直角三角形，AOB=90，斜边AB与y轴交于点C若A=AOC，求证：B=BOC；延长AB交x轴于点E，过O作ODAB，且DOBEOB，OAEOEA，求A的度数；如图，OF平分AOM，BCO的平分线交FO的延长线于点P，当AOB绕O点旋转时（斜边AB与y轴正半轴始终交于点C），在（2）的条件下，试问P的度数是否发生变化?若不变，请求出其度数；若改变，请说明理由ABCDEABCDExyOABCPMEFxyO【答案】【解析】如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（1，0

3、），（3，0），现同时将点A，B分别向上平移2个单位，再向右平移1个单位，分别得到点A，B的对应点C，D，连接AC，BD，CD（1）求点C，D的坐标及四边形ABDC的面积；（2）在y轴上是否存在一点P，连接PA，PB，使，若存在这样一点，求出点P的坐标，若不存在，试说明理由（3）点P是线段BD上的一个动点，连接PC，PO，当点P在BD上移动时（不与B，D重合）给出下列结论：的值不变，的值不变，其中有且只有一个是正确的，请你找出这个结论并求其值【难度】ABABCDOxy-1ABCDOxyOABCDPxy3-13【解析】如图，在平面直角坐标系中，ABO=2BAO，P为x轴正半轴上一动点，BC平分A

4、BP，PC平分APF，OD平分POE求BAO的度数；求证：C=15+OAP；ABCDEFPGOABCDEFPGOxy出其值【难度】【答案】【解析】模块模块二：旋转问题知识知识精讲 旋转问题是七年级几何证明的一个难点，在旋转的过程中，找出隐含的边角之间的关系是解决旋转类问题是关键；本节的另一个难点是考察空间想象力，找出旋转之后图形的位置例题解析例题解析如图，正方形OGHK绕正方形ABCD中点O旋转，其交点为E、F，求证：AE+CF=ABABCABCDEFGHKO【答案】【解析】如图1、图2，AOB，COD均是等腰直角三角形，AOBCOD90，（1）在图1中，AC与BD相等吗，有怎样的位置关系?请

5、说明理由AB图1DOB图2ADCOCAB图1DOB图2ADCOC【难度】【答案】【解析】如图1，在梯形中，点为的中点，点在底边上，且（1）请你通过观察、测量、猜想，得出的度数；（2）若梯形中，不是直角，点在底边或其延长线上，如图2、图3，其他条件不变，你在（1）中得出的结论是否仍然成立，若都成立，请在图2、图3中选择其中一图进行证明；若不都成立，请说明理由AABCDEFABCDEFABCDEF图1图2图3【难度】【答案】【解析】如图，C是线段BD上一点，分别以BC、CD为边在BD同侧作等边ABC和等ABCDEFGK边CDE，AD交CE于F，BE交AC于ABCDEFGKB2对C3对D4对【难度】

6、【答案】【解析】已知：如图，点C为线段AB上一点，ACM、CBN是等边三角形求证：CF平分AFB（备注：直角边和斜边对应相等的两个直角三角形全等）ABCABCDEFMN【答案】【解析】如图1，E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，且EAF45（1）请猜测线段EF、BE、DF之间的等量关系并证明（2）变式：如图2，E、F分别在四边形ABCD的边BC、CD上，BD180，ABAD，EAFBAD，则线段BE、EF、FD的等量关系又如何?请加以证明AABCDEF图1ABCDEF图2【难度】【答案】【解析】请阅读下列材料：已知：如图1在RtABC中，BAC=90，AB=AC，点D、E分别为线段BC

7、上两动点，若DAE=45探究以线段BD、DE、EC三条线段的为边构成的三角形是什么三角形 小智的思路是：把AEC绕点A顺时针旋转90，得到ABF，连结FD，使问题得到解决请你参考小明的思路探究并解决下列问题：（1）猜想以线段BD、DE、EC三条线段的为边构成的三角形是什么三角形，并对你的猜想给予证明；（2）当动点E在线段BC上，动点D运动在线段CB延长线上时，如图2，其它条件不变，（1）中探究的结论是否发生改变?请说明你的猜想并给予证明AABCDEABCDE图1图2【难度】【答案】【解析】如图，在形外作等腰和等腰，使，作于H，延长HA，交DE于M，求证：DM = MEABCABCDEMH【答案

8、】【解析】在等边三角形ABC的两边AB、AC所在直线上分别由两点M，N，D为外一点，且，BD=CD探究：当点M，N分别在直线AB，AC上移动时，BM，NC，MN之间的数量关系及的周长Q与等边的周长L的关系（1）如图（1），当点M、N在边AB、AC上，且DM=DN时，BM、NC、MN之间的数量关系是_；此时(2)如图（2），当点M、N在边AB、AC上，且DMDN时，猜想（1）问的两个结论还成立吗?写出你的猜想并加以证明ABCD（1）MNABCD（2）MNCD（3）ABNM（ABCD（1）MNABCD（2）MNCD（3）ABNM【难度】【答案】【解析】如图1，在正方形中，对角线与相交于点，平分，交

9、于点（1）求证：；（2）点从点出发，沿着线段向点运动（不与点重合），同时点从点出发，沿着的延长线运动，点与的运动速度相同，当动点停止运动时，另一动点也随之停止运动如图2，平分，交于点，过点作，垂足为，请猜想，与三者之间的数量关系，并证明你的猜想图图1图2【难度】【答案】【解析】如图，在等腰RtABC与等腰RtDBE中， BDE=ACB=90，且BE在AB边上，取AE的中点F，CD的中点G，连结GF.（1）FG与DC的位置关系是，FG与DC的数量关系是；ABCDEFGACB（2）若将BDE绕B点逆时针旋转ABCDEFGACB【难度】【答案】【解析】模块模块三：构造全等类知识知识精讲 本节主要针对

10、常规图形，添加合适的辅助线，如截长补短、倍长中线，添加平行线等构造全等的三角形，题目综合性较强，考察同学们全等三角形判定和性质的综合运用能力例题解析例题解析数学课上，张老师出示了问题：如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点AEF=90，且EF交正方形外角DCG的平分线CF于点F，求证：AE=EF经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取AB的中点M，连接ME，则AM=EC，易证AMEECF，所以AE=EF在此基础上，同学们作了进一步的研究：（1）小颖提出：如图2，如果把“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上（除B，C外）的任意一点”，其它条件不变，那么结论“AE=EF”仍然成立

11、，你认为小颖的观点正确吗?如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由；ABCDE图2FGABCDE图1FGAABCDE图2FGABCDE图1FGABC图3DEFG【难度】【答案】【解析】已知ABC为等边三角形，点D为直线BC上的一动点（点D不与B、C重合），以AD为边作等边ADF，且DEAF，EFAD，连接CF（1）如图1，当点D在边BC上时，求证：BD=CF；AC=CF+CD；（2）如图2，当点D在边BC的延长线上且其他条件不变时，结论AC=CF+CD是否成立?若不成立，请写出AC、CF、CD之间存在的数量关系，并说明理由；ABCD图1EFABC图2DFECABCD图1EFABC图2DF

12、ECDAB图3【难度】【答案】【解析】已知如图1，在ABC中，BC边在直线l上，ACBC，且AC=BCEFP的边FP也在直线l上，边EF与边AC重合，且EF=FP（1）在图1中，请你通过观察、测量，猜想并写出AP与AB所满足的数量关系和位置关系；（2）将EFP沿直线l向左平移到图14-2的位置时，EP交AC于点Q，连结AP，BQ猜想并写出BQ与AP所满足的数量关系和位置关系，请证明你的猜想；（3）将EFP沿直线l向左平移到图14-3的位置时，EP的延长线交AC的延长线于点Q，连结AP，BQ你认为（2）中所猜想的BQ与AP的数量关系和位置关系还成立吗?若成立，给出证明；若不成立，请说明理由【难度

13、】【答案】【解析】直线CD经过BCA的顶点C，CA=CBE、F分别是直线CD上两点，且BEC=CFA=（1）若直线CD经过BCA的内部，且E、F在射线CD上，请解决下面两个问题：图1，若BCA=90，=90，则EF_|BE-AF|（填“”，“”或“=”号）；如图2，若0BCA180，若使中的结论仍然成立，则与BCA应满足的关系是_；ABCDEFABCDEFABCDEF图1图2图3ABCDEFABCDEFABCDEF图1图2图3【难度】【答案】【解析】随堂检测随堂检测ABCDE在五边形ABCDE中，已知AB=AE，BC+DE=CD，ABC+ABCDEAD求证：AD平分CDE【难度】【答案】【解析

14、】用两个全等的等边三角形ABC和ACD拼成菱形ABCD.把一个含60角的三角尺与这个菱形叠合，使三角尺的60角的顶点与点A重合，两边分别与AB，AC重合.将三角尺绕点A按逆时针方向旋转当三角尺的两边分别与菱形的两边BC，CD相交于点E，F时，（如图1），通过观察或测量BE，CF的长度，你能得出什么结论?并证明你的结论；当三角尺的两边分别与菱形的两边BC，CD的延长线相交于点E，F时（如图2），你在（1）中得到的结论还成立吗?简要说明理由AABCDEFABFECD图1图2【难度】【答案】【解析】【习题3】如图17(1)，正方形ABCD，E、F分别为BC、CD边上一点 若EAF=45，求证：EF=

15、BE+DF；若AEF绕A点旋转，保持EAF=45，问CEF的周长是否AEF位置的变化而变化?（2）如图17(2)，已知正方形ABCD的边长为1，BC、CD上各有一点E、F，如果CEF的周长为2，求EAF的度数（3）如图17(2)，已知正方形ABCD，F为BC中点，E为CD边上一点，且满足BAF=FAE ，图17（2）图17（图17（2）图17（1）【难度】【答案】【解析】已知：如图，MNPQ，垂足为O，点A、B分别在射线上OM、OP上，直线BE平分PBA与BAO的平分线相交于点C（1）若BAO=45，求ACB；（2）若点A、B分别在射线上OM、OP上移动，试问ACB的大小是否会发生变化?如果保

16、持不变，请说明理由；如果随点A、B的移动发生变化，请求出变化的范围ABCABCPEFMNOQ【答案】【解析】课后作业课后作业ABCDEF等边ABD和等边CBD的边长均为1，E是ADABCDEFBEAD，F是CD上一点，满足AE+CF=1，当E、F移动时，试判断BEF的形状【难度】【答案】【解析】复习“全等三角形”的知识时，老师布置了一道作业题：“如图，已知在ABC中，AB=AC，P是ABC内部任意一点，将AP绕A顺时针旋转至AQ，使QAP=BAC，连接BQ、CP，则BQ=CP”小亮是个爱动脑筋的同学，他通过对图的分析，证明了ABQACP，从而证得BQ=CP之后，将点P移到等腰三角形ABC之外，原题中的条件不变，发现“BQ=CP”仍然成立，请你就图给出证明ABCABCPQPQABC【答案】【解析】如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为A（a，0），B（b，0），且a、b满足，现同时将点A，B分别向上平移2个单位，再向右平移1个单位，分别得到点A，B的对应点C，D，连接AC，BD，CD（1）在y轴上是否存在一点M（0，m），连接MA，MB，使?若存在这样一点，求出点求m的取值范围；若不存在，试说明理由（2）点P是线段BD上的一个动点，连接PC，PO，当点P在BD