2021-2022学年广州市数学高二第二学期期末调研模拟试题含解析

1、2021-2022高二下数学模拟试卷注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角条形码粘贴处。2作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题

2、卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1一盒中装有5张彩票，其中2 张有奖，3张无奖，现从此盒中不放回地抽取2次，每次抽取一张彩票设第1次抽出的彩票有奖的事件为A，第2次抽出的彩票有奖的事件为B，则( )ABCD2下列命题中真命题的个数是（ ）若样本数据，的方差为16，则数据，的方差为64；“平面向量，夹角为锐角，则”的逆命题为真命题； 命题“，”的否定是“，”；若：，：，则是的充分不必要条件.A1B2C3D43若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A22B42C2D44某三棱锥的三视图如图所示，则该

3、三棱锥的体积是( )ABCD5如图，线段AB=8，点C在线段AB上，且AC=2，P为线段CB上一动点，点A绕着C旋转后与点B绕点P旋转后重合于点D，设CP=x，CPD的面积为f（x）求f（x）的最大值（）A B 2C3 D 6某同学通过英语听力测试的概率为，他连续测试次，要保证他至少有一次通过的概率大于，那么的最小值是( )ABCD7若函数在处的导数为，则为ABCD08以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A、B两点，交C的准线于D、E两点.已知|AB|=，|DE|=，则C的焦点到准线的距离为 ( )A8B6C4D29若随机变量，且，则等于（）ABCD10若，则（）A8B7C6D511阅读如图所示的

4、程序框图，则输出的S等于( )A38B40C20D3212现有四个函数：；的图象（部分）如下，则按照从左到右图象对应的函数序号安排正确的一组是（ ） ABCD二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13在棱长为的正方体中，是棱的中点，则到平面的距离等于_.14已知函数，则_15曲线在x=1处的切线方程是_.16已知，若，i是虚数单位，则_三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（12分）已知函数，.（1）当 时，求函数图象在点处的切线方程；（2）当时，讨论函数的单调性；（3）是否存在实数，对任意，且有恒成立？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由.18（1

5、2分）已知函数（1）若曲线在处切线的斜率为，求此切线方程；（2）若有两个极值点，求的取值范围，并证明：19（12分）已知命题：函数在上单调递增；命题：关于的方程有解.若为真命题，为假命题，求实数的取值范围.20（12分）如图，在四棱锥中，平面，四边形为正方形，为的中点，点在上，平面平面.(1)求证：平面；(2)求三棱锥的体积.21（12分）环境监测中心监测我市空气质量，每天都要记录空气质量指数(指数采取10分制，保留一位小数)，现随机抽取20天的指数(见下表)，将指数不低于视为当天空气质量优良.天数12345678910空气质量指数天数11121314151617181920空气质量指数 (1

6、)求从这20天随机抽取3天，至少有2天空气质量为优良的概率；(2)以这20天的数据估计我市总体空气质量(天数很多)，若从我市总体空气质量指数中随机抽取3天的指数，用表示抽到空气质量为优良的天数，求的分布列及数学期望.22（10分）动点在抛物线上，过点作垂直于轴，垂足为，设.（）求点的轨迹的方程；（）设点，过点的直线交轨迹于两点，直线的斜率分别为，求的最小值参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】由题意，第1次抽出的彩票有奖，剩下4张彩票，其中1张有奖，3张无奖，即可求出【详解】由题意，第1次抽出的彩票有奖，剩下

7、4张彩票，其中1张有奖，3张无奖，所以故选：D【点睛】本题考查条件概率，考查学生的计算能力，比较基础2、C【解析】分析：对四个命题逐一分析即可.详解：对于，由方差的性质得：则数据，的方差为，故正确；对于，逆命题为平面向量，满足，则向量，夹角为锐角，是假命题，故错误；对于，命题“，”的否定是“，”，正确；对于，是的充分不必要条件，故正确.故选C.点睛：本题主要考查命题的真假判断，涉及知识点较多，综合性较强，但难度不大.3、C【解析】试题分析：由三视图知几何体是一个简单的组合体，上面是一个四棱锥，四棱锥的底面是一个正方形，对角线长是，侧棱长，高是，下面是一个圆柱，圆柱的底面直径是，高是，所以组合体

8、的体积是，故选C.考点：几何体的三视图及体积的计算.【方法点晴】本题主要考查了几何体的三视图及其体积的计算，着重考查了推理和运算能力及空间想象能力，属于中档试题，解答此类问题的关键是根据三视图的规则“长对正、宽相等、高平齐”的原则，还原出原几何体的形状，本题的解答中根据三视图得出上面一个四棱锥、下面是一个圆柱组成的组合体，得到几何体的数量关系是解答的关键，属于基础题.4、B【解析】由三视图判断底面为等腰直角三角形，三棱锥的高为2，则，选B.【考点定位】三视图与几何体的体积5、A【解析】试题分析：利用三角形的构成条件，建立不等式，可求x的取值范围；三角形的周长是一个定值8，故其面积可用海伦公式表

9、示出来，再利用基本不等式，即可求f（x）的最大值解：（1）由题意，DC=2，CP=x，DP=6-x，根据三角形的构成条件可得x+6-x2, 2+6-xx, 2+x6-x，解得2x4；三角形的周长是一个定值8，故其面积可用海伦公式表示出来，即f（x）= 当且仅当4-x=-2+x，即x=3时，f（x）的最大值为,故选A.考点：函数类型点评：本题考查根据实际问题选择函数类型，本题中求函数解析式用到了海伦公式，6、B【解析】由题意利用次独立试验中恰好发生次的概率计算公式以及对立事件发生的概率即可求得结果【详解】由题意可得，求得，故选B【点睛】本题主要考查次独立试验中恰好发生次的概率计算公式的应用，属于

10、基础题7、B【解析】根据函数的导数的极限定义进行转化求解即可【详解】，故选：B【点睛】本题主要考查函数的导数的计算，结合导数的极限定义进行转化是解决本题的关键8、C【解析】试题分析：如图，设抛物线方程为，交轴于点，则，即点纵坐标为，则点横坐标为，即，由勾股定理知，即，解得，即的焦点到准线的距离为4，故选B.考点：抛物线的性质.9、A【解析】由正态密度曲线的对称性得出，由此可得出结果.【详解】由于，则正态密度曲线关于直线对称，所以，故选A.【点睛】本题考查正态分布在指定区间上概率的计算，解题时要确定正态密度曲线的对称轴，利用对称性列等式计算，考查计算能力，属于中等题.10、D【解析】由得，即，然

11、后即可求出答案【详解】因为，所以所以即，即解得故选：D【点睛】本题考查的是排列数和组合数的计算，较简单.11、B【解析】模拟程序,依次写出各步的结果,即可得到所求输出值【详解】程序的起始为第一次变为第二次变为第三次变为第四次变为满足条件可得故选：B.【点睛】本题考查程序框图中的循环结构,难度较易.12、A【解析】根据各个函数的奇偶性、函数值的符号，判断函数的图象特征，即可得到【详解】解：为偶函数，它的图象关于轴对称，故第一个图象即是；为奇函数，它的图象关于原点对称，它在上的值为正数，在上的值为负数，故第三个图象满足；为奇函数，当时，故第四个图象满足；，为非奇非偶函数，故它的图象没有对称性，故第

12、二个图象满足，故选A【点睛】本题主要考查函数的图象，函数的奇偶性、函数的值的符号，属于中档题二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】由题意画出正方体，求出的面积，利用等体积法求解到平面的距离.【详解】由题意，画出正方体如图所示，点是中点，所以，在中，所以，所以，设到平面的距离为，由，得，解得，.故答案为：【点睛】本题主要考查求点到平面距离的方法、棱锥体积公式、余弦定理和三角形面积公式的应用，考查等体积法的应用和学生的转化和计算能力，属于中档题.14、【解析】分析：求出f（1）=1，再根据定积分法则计算即可详解：f（x）=f（1）x2+x+1，f（x）=2f（1）x+1，f

13、（1）=2f（1）+1，f（1）=1，f（x）=x2+x+1，=（x3+x2+x）=.故答案为.点睛：这个题目考查了积分的应用，注意积分并不等于面积，解决积分问题的常见方法有：面积法，当被积函数为正时积分和面积相等，当被积函数为负时积分等于面积的相反数；应用公式直接找原函数的方法；利用被积函数的奇偶性得结果.15、【解析】分析：根据求导公式求出导数，再求出切线的斜率和切点的坐标，代入点斜式方程化为一般式即可.详解：由题意得，在处的切线的斜率是，且切点坐标是，则在处的切线方程是：，即.故答案为：.点睛：1.对于曲线切线方程问题的求解，对曲线的求导是一个关键点，因此求导公式，求导法则及导数的计算原

14、则要熟练掌握.2.对于已知的点，应首先确定其是否为曲线的切点，进而选择相应的方法求解.16、【解析】由，得，由复数相等的条件得答案【详解】由，得，故答案为：1【点睛】本题考查复数相等的条件，是基础题三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）当， 在上单调递增；当，时， 在，上单调递增，在上单调递减；当时，在，上单调递增，在上单调递减；（3）【解析】分析：（1）求出函数在的导数即可得切线方程；（2），就分类讨论即可；（3）不妨设，则原不等式可以化为，故利用为增函数可得的取值范围详解：（1）当时，所以所求的切线方程为，即（2），当，即时，在上单调递增当，即时

15、，因为或时，；当时，在和上单调递增，在上单调递减；当，即时，因为或时，；当时，在，上单调递增，在上单调递减（3）假设存在这样的实数，满足条件，不妨设，由知，令，则函数在上单调递增所以，即在上恒成立，所以，故存在这样的实，满足题意，其取值范围为点睛：（1）对于曲线的切线问题，注意“在某点处的切线”和“过某点的切线”的差别，切线问题的核心是切点的横坐标；（2）一般地，若在区间上可导，且，则在上为单调增（减）函数；反之，若在区间上可导且为单调增（减）函数，则18、（1）；（2）,证明见解析.【解析】（1）在处切线的斜率为，即，得出，计算f(e)，即可出结论（2）有两个极值点得=0有两个不同的根，即有

16、两个不同的根，令，利用导数求其范围，则实数a的范围可求；有两个极值点，利用在(e,+)递减，即可证明【详解】（1），解得， ，故切点为，所以曲线在处的切线方程为 （2），令=0，得令，则，且当时，；当时，；时，令，得，且当时，；当时，故在递增，在递减，所以 所以当时，有一个极值点； 时，有两个极值点；当时，没有极值点综上，的取值范围是 （方法不同，酌情给分）因为是的两个极值点，所以即不妨设，则，因为在递减，且，所以，即由可得，即，由，得，所以【点睛】本题主要考察导数在切线，极值方向的应用，主要理清导数的几何意义，导数和极值之间的关系进行转化，在做题的过程中，适当选取参变分离有时候能简化分类讨论

17、的必要19、.【解析】试题分析：命题p：函数 在上单调递增，利用一次函数的单调性可得或; 命题q：关于x的方程 有实根，可得，解得;若“p或q”为真，“p且q”为假，可得p与q必然一真一假分类讨论解出即可试题解析：由已知得，在上单调递增.若为真命题，则 ，或；若为真命题，.为真命题，为假命题，、一真一假，当真假时，或，即；当假真时，即.故 .点睛：本题考查了一次函数的单调性、一元二次方程由实数根与判别式的关系、复合命题的判定方法，考查了推理能力，属于基础题20、（1）详见解析（2）【解析】（1）在平面内知道两条相交直线与垂直，利用判定定理即可完成证明；（2）通过辅助线，将与平行四边形关联，从而

18、计算出长度，然后即可求解三棱锥的体积.【详解】解：（1）平面，又四边形为正方形，且，平面，为的中点，且，平面；（2）作于，连接，如图所示：平面平面，面，由（1）知平面，又平面平面，面，平面，平面，平面平面，平面，四边形为平行四边形，为的中点，【点睛】本题考查立体几何中的线面垂直关系证明以及体积计算，难度一般.计算棱锥体积的时候，可以采取替换顶点位置的方式去计算，这样有时候能简化运算.21、（1）；（2）见解析.【解析】试题分析：（1）根据组合数公式计算所有可能的情况种数，得出答案；（2）根据二项分布的概率计算公式得出分布列，再计算数学期望试题解析：(1)解：由表中数据可知，空气质量指数不低于的天数是12天，即空气质量为优良的天数是12天.记“至少有2天空气质量为优良”为事件，方法1：；方法2：.(2)20天中优良天数的概率为.于是估计我市总体空气质量优良天数的概率为，因此服从参数为，的二项分布.即.所有可能取值为0，1，2，3.所以，.故的分布列为：0123所以的数学期望为：.22、（）（）1【解析】（1）设Q（x，y），则P（x，2y）