判断抽象函数单调性的四种策略

1、判断抽象函数单调性的四种策略抽象函数问问题是指指没有明明确给出出具体函函数表达达式的问问题。这这类问题题对发展展学生思思维能力力，进行行数学思思想方法法的渗透透有较好好的作用用。本文文准备就就四种常常见的抽抽象函数数单调性性的判断断策略做做一小结结，供大大家解题题时参考考。1 凑差策策略紧扣单调函函数的定定义，利利用赋值值，设法法从题设设中“凑出”“f(x1)-ff(x22)”，然后后判断符符号。例1 已知知函数ff(x)对任意意实数xx、y均均有f(x+yy)=ff(x)+f(y)，且且当x0时，ff(x)0，试试判断函函数f(x)的的单调性性。解：由f(x+yy)=ff(x)+f(y)得得

2、，f(x+yy)-ff(x)=f(y) 令xx+y=x2，x=x1，且xx10，f(yy)=ff(x22-x1)00， 即ff(x11)1时ff(x)0，判判断函数数f(xx)的单单调性并并说明理理由。解：由f(xy)=f(x)+f(yy)得，ff(xyy)-ff(x)=f(y) 令xx+y=x1，x=x2，且xx1x20， 则有有f(xx1)-ff(x22)=ff(y)， ， 即ff(x11)ff(x22)，因因此f(x)为为增函数数。 2 添项项策略 瞄准题设设中的结结构特点点，采用用加减添添项或乘乘除添项项，以达达到确定定“f(xx1)-ff(x22)”的符号号的目的的。例3（题同同例1

3、）解：设x110， 当当x00时，ff(x)0，f(x2-x1)0 ff(x22)-ff(x11)=ff(xx2-x1)+xx1-ff(x11)=ff(x22-x1)+ff(x11)-ff(x11)=ff(x22-x1)00 即ff(x11)ff(x22)，因因此f(x)为为增函数数。例4（题同同例2）解：设0 x1x211时f(x)0，即f(x22)ff(x11)，因因此f(x)为为增函数数。3 增量策策略由单调性的的定义出出发，假假设x10）,从而而与题设设联系起起来。例5（题同同例1）解：对任意意的x11、x2，设xx10），由题设f(x+yy)=ff(x)+f(y)得得 ff(x22)

4、-ff(x11)=ff（x11+）-ff(x11)=ff(x11)+ff()-ff(x11)=ff() 00,f()00， 即即f(xx2)ff(x11)，因因此f(x)为为增函数数。例6 设函函数f(x)的的定义域域为R，当x0时，f(x)1，且对任意的x、y，均有f(x+y)=f(x)f(y)成立。试判断函数f(x)的单调性并说明理由。解：对任意意的x11、x2，设xx10）， 则则f(xx2)-ff(x11)=ff（x11+）-ff(x11)=ff(x11)f()-ff(x11)=f()-11f(x1) 当当x00时，ff(x)1，f()-10 下面面判断ff(x11)的符符号： 若存存

5、在使ff(x00)=00,则对对任意的的x，ff(x)=f(x-x0)+xx0=ff(x-x0)f(x0)=00，这与与题设条条件矛盾盾。因此此，即 这样，ff(x22)-ff(x11) 00，所以以f(xx)为增增函数。4 放缩策策略结合添项策策略，利利用放缩缩法，判判断f(x1)与ff(x22)的大大小关系系，从而而得f(x)的的单调性性。例7（题同同例6）解：设x110， 当当x00时，ff(x)1，f(x2-x1)0，f(x22)=ff(xx2-x1)+xx1=ff(x22-x1)f(x1)ff(x11)（由由上题知知f(xx1)00） 即f(x)为为增函数数。例8 已知知函数ff(x)的定义义域为（00，+），对对任意正正实数xx、y均均有f(xy)=f(x)ff(y)，且当当x11时0f(xx)11，判断断函数ff(x)的单调调性并