《向量数量积的坐标运算及度量公式》拓展延伸

1、PAGE9向量数量积的坐标运算及度量公式的夹角为135，|a|2，|b|3，则向量a和向量b的数量积ab_3eqr2ABC中，C=90,AC=4,则eqoAB,su满足eqoCM,suA,suB,suA,suB,suB,suA,suB,sup62题型一平面向量的数量积的运算例1（1）已知a，b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c满足acbc0，则|c|的最大值是r22如图，在ABC中，ADAB，eqoBC,sup6eqr3eqoBD,sup6，|eqoAD,sup6|1，则eqoAC,sup6eqoAD,sup6等于r3fr3,2fr3,3r3解法1基底法:eqoBC,sup6eqr3eq

2、avs4aloBD,sup6，eqoAC,sup6eqoBC,sup6eqoBA,sup6eqr3eqavs4aloBD,sup6eqoBA,sup6eqr3eqoAD,sup6eqoAB,sup6eqoAB,sup6eqr3eqavs4aloAD,sup61eqr3eqoAB,sup6又ADAB，|eqoAD,sup6|1eqoAC,sup6eqoAD,sup6eqr3eqavs4aloAD2,sup61eqr3eqoAB,sup6eqoAD,sup6eqr3法2定义法设BDa，则BCeqr3a，作CEBA交的延长线于E，可知DACACE，在RtABD与RtBEC中，RtABDRtBEC中，

3、,CEeqr3，cosDACcosACEeqfr3,ACeqoAD,sup15eqoAC,sup15|eqoAD,sup15|eqoAC,sup15|cosDAC|eqoAD,sup15|eqoAC,sup15|cosACEeqr3法3坐标法变式训练11若向量a的方向是正南方向，向量b的方向是正东方向，且|a|b|1，则3aab_32如下图，在中，是边上的高，则的值等于（）A0BC4D【思路点拨】充分利用已知条件的，借助数量积的定义求出【答案】B【解析】因为，是边上的高,（3）设向量a，b，c满足|a|b|1，abeqf1,2，ac，bc60，则|c|的最大值等于A2r3r2D1【解析】abe

4、qf1,2，且|a|b|1，cosa，beqfab,|a|b|eqf1,2a，b120如图所示，将a，b，c的起点平移至同一点O，则aceqoCA,sup6，bceqoCB,sup6，ACB60，于是四点A，O，B，C共圆，即点C在AOB的外接圆上，故当OC为直径时，|c|取最大值由余弦定理，得ABeqrOA2OB22OAOBcosa，beqr3，由正弦定理，得2ReqfAB,sin1202，即|c|的最大值为2题型二向量的夹角与向量的模例2已知|a|4，|b|3，2a3b2ab61，1求a与b的夹角；2求|ab|；3若eqoAB,sup6a，eqoBC,sup6b，求ABC的面积例2解12a

5、3b2ab61，4|a|24ab3|b|261又|a|4，|b|3，644ab2761，ab6coseqfab,|a|b|eqf6,43eqf1,2又0，eqf2,32可先平方转化为向量的数量积|ab|2ab2|a|22ab|b|242263213，|ab|eqr133eqoAB,sup6与eqoBC,sup6的夹角eqf2,3，ABCeqf2,3eqf,3又|eqoAB,sup6|a|4，|eqoBC,sup6|b|3，SABCeqf1,2|eqoAB,sup6|eqoBC,sup6|sinABCeqf1,243eqfr3,23eqr3变式训练21已知平面向量，|1，2,0，2，求|2|的值

6、；2已知三个向量a、b、c两两所夹的角都为120，|a|1，|b|2，|c|3，求向量abc与向量a的夹角解12,0，|2，又2，222120eqf1,222422444210|2|eqr102由已知得abcaa2abac12cos1203cos120eqf3,2，|abc|eqrabc2eqra2b2c22ab2ac2bceqr1494cos1206cos12012cos120eqr3设向量abc与向量a的夹角为，则coseqfabca,|abc|a|eqff3,2,r3eqfr3,2，即150，故向量abc与向量a的夹角为1503已知i，j为互相垂直的单位向量，ai2j，bij，且a与b的

7、夹角为锐角，实数的取值范围为_解析a，b0，eqf,2，ab0且ab不同向即|i|22|j|20，0得2eqf1,2且2（4）已知直角梯形ABCD中，ADBC，ADC90，AD2，BC1，P是腰DC上的动点，则|eqoPA,sup63eqoPB,sup6|的最小值为_解以D为原点，分别以DA、DC所在直线为、y轴建立如图所示的平面直角坐标系，设DCa，DPyD0,0，A2,0，C0，a，B1，a，P0，y，eqoPA,sup62，y，eqoPB,sup61，ay，eqoPA,sup63eqoPB,sup65,3a4y，|eqoPA,sup63eqoPB,sup6|2253a4y2，点P是腰DC

8、上的动点，0ya，因此当yeqf3,4a时，|eqoPA,sup63eqoPB,sup6|2的最小值为25，|eqoPA,sup63eqoPB,sup6|的最小值为5题型三平面向量的垂直问题例3已知acos，sin，bcos，sin01求证：ab与ab互相垂直；2若ab与ab的模相等，求其中为非零实数1证明ababa2b2|a|2|b|2cos2sin2cos2sin20，ab与ab互相垂直2解abcoscos，sinsin，abcoscos，sinsin，|ab|=，|ab|ab|ab|，2cos2cos又0，cos0而0，00=1*GB3求证：ab与ab垂直；=2*GB3用表示ab；=3*GB3求ab的最小值以及此时a与b的夹角点拨：bab012y1y202当向量a与b是非坐标形式时，要把a、b用已知的不共线的向量表示但要注意运算技巧，有时把向量都用坐标表示，并不一定都能够简化运算，要因题而异解=1*GB3由题意得，|a|b|1，ababa2b20，ab与ab垂直=2*GB3|ab|22a22abb222ab1，eqr3|ab|23126ab由条件