向量解题技巧

1、一、怎么样求解向量的有关概念问题掌握并理解向量的基本概念 .判断下列各命题是否正确(1)若 ab, b c,则 a c ；(2)两向量 a、 b 相等的充要条件是 ab 且 a、 b共线 ；(3)ab 是向量 a b 的必要不充分条件；(1)若 A、 B、C、D 是不共线的四点，则ABD C 是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件；(2) ABCD 的充要条件是A 与 C 重合， B与D 重合。二、向量运算及数乘运算的求解方法两个不共线的向量，加法的三角形法则和平行四边形法则是一致的。两个有相同起点的向量的差是连结两向量的终点，方向指向被减向量的向量，若起点不同， 要平移到同一起点；重要结论

2、： a 与 b不共线，则 ab与 ab 是以 a 与 b 为邻边的平行四边形两条对角线所表示的向量。在求解向量的坐标 运 算 问 题 时 ， 注 意 向 量 坐 标 等 终 点 坐 标 减 起 点 坐 标 ， 即 若 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ， 则AB OB OA ( x2 , y2 ) ( x1 , y1 ) (x2x1 , y2y1 ) 。例 1若向量 a(3,2), b(0, 1),则 2ba的坐标是 _例 2若向量 a(1,1),b(1,1), c(1,2)则 c_1313C.3131A. abB.ababD.ab22222222例 3在平面直角坐标系中，

3、O 为坐标原点，已知两点 A(3,1),B( 1,3), 若点C满足 OCOAOB ，其中,R 且1 ，则点 C 的轨迹为（）A.3x2 y110B.( x1) 2( y2) 20C.2xy0D.x2y50例 4O 是平面上一定点， A、B、C是平面上不共线的三个点，动点 P 满足OP OA( ABAC)， 0,) ，则 P 的轨迹一定过ABC 的（）ABACA. 外心B. 内心C. 重心D. 垂心例 5设 G 是ABC 内的一点，试证明 :(1)若 G 是为ABC 重心，则 GAGBBC 0；1(2)若 GAGBBC0 ，则 G 是为ABC 重心。三、三点共线问题的证法证明 A,B,C三点共

4、线，由共线定理( AB与 AC共线 )，只需证明存在实数，使 ABAC ，其中必须有公共点。共线的坐标表示的充要条件，若a (x1, y1 ),b (x2 , y2 ) ，则a / babx1 y2 x2 y10( x1 y2 x2 y1)例 1已知 A 、B 两点， P 为一动点，且 OP OA tAB ，其中 t 为一变量。证明： 1.P 必在直线 AB 上； 2.t 取何值时， P 为 A 点、 B 点？例 2证明：始点在同一点的向量a、 b 、3a 2b 的终点在同一直线上例 3 对于非零向量四、求解平行问题a、 b, 求证：ababab两向量平行，即共线，往往通过“点的坐标”来实现；

5、两向量是否共线与它们模长的大小无关，只由它们的方向决定；两向量是否相等起点无关，只由模长和方向决定。例 1 已知 M (1,0), N ( 0,1), P( 2,1), Q(1, y) 且 MN / PQ ，求 y 的值。例 2已知点 A(1,2) ，若向量 AB与a(2,3)同向，AB2 13, 则 B 点的坐标是 _.例 3平面内给定三向量a (3,2), b( 1,2), c (4,1) ，则：(1)求 3ab 2c;(2)求满足 a mbnc的实数 m、 n(3)若 (akb) /( 2ba),求实数 k ;(4)设 d( x, y)满足 (dc) /( a b )且 dc 1, 求

6、d.例 4已知点 A( 4,0), B(4,4), C(2,6) ，求 AC与 DB的交点， P的坐标 。(2) 若平行四边形ABCD 的顶点 A( 1, 2), B(3, 1), C (5,6), 求顶点 D 的坐标。五、向量的数量积的求法求数量积：定义法： abab cos坐标法： abx1 x2y1 y2当 a / b时，0 和180 两种可能。故abab2一些重要的结论： a 2a a22a 22a b b 2 ； (a b)( a b) a2b 2a ； (a b )例 1,）设 ab c 是任意的非零的向量，且相互不共线，则（ (ab)c(ca)b 0; a bab ; (bc)a

7、(ac） b不与 c垂直 (3a2b)(3a 2b)229 a 4b其中是真命题的为（）A.B.C.D.例 2已知平面上三点A 、B 、C，满足 AB3, BC4, CA5,则 ABBCBC CA CA AB的值等于 _。例 3已知向量 a和 b 的夹角为 120 ，且 a2, b5, 则(2ab )a_ .六、如何求向量的长度形如ab 的模长求法： 先平方转化为含数量积运算开方 ，即：ab22a22ab2b 2例 1已知向量 a,b , ab4, a与 b 的夹角为 60 ,则 ab_,ab_, 其中a b 与 a方向的夹角为 _, ab 与 a方向夹角为 _ .例 2设向量 a, b 满足

8、 ab 1, 3a2b3, 求 3ab 的值。七、如何求两向量的夹角夹角公式： cosa bx1 x2y1 y2a b2222x1y1x2y2例 1已知 a10, b12, 且(3a)(1b )36, 求a,b的夹角 _.5例 2若与是夹角为60的单位向量，且aee,bee,求 ab及 a与 b的夹角 。e1 e22 123 122八、垂直问题的求解向量垂直的充要条件：a bab0 x1x2y1 y20例 1 若向量 a,b 满足 aba b ,则 a与 b所成的角。例 2 在ABC中 AB(2,3), AC(1, k ), 且 ABC 的一个内角为直角，求k 的值。3例 3 已知 a ba2

9、,b且。 ab 与 ab垂直，求,3.32例 4 已知 O(0,0), A(0,5), B(6,3), ADOB于点 D, 求D点的坐标。九、向量的数量积的逆向应用求解有关向量的问题，可设出该向量的坐标，列出方程或方程组求之。例 1 已知 a ( 4, 3), b1,且 ab 5,则 b ?例 2求与向量 a(3,1)和 b(1,的夹角相等，且模长为的向量 c的坐标3)例 3若平面向量 b 与向量 a(1,2)的夹角是 180 ，且 b35,则 b ( )A.( 3,6)B.(3,6)C.(6, 3)D.( 6,3)例 4已知 向量 b 与向量 a(3,4)垂直，且 b15, 则 b_ .十、

10、线段定比分点公式的运用技巧求解定比分点问题，要注意结合图形，分清是内分点是外分点，不能混淆起点和终点，xx1x2xx1x212定比分点坐标公式：y2中点坐标公式：y1，yy1yy212xx1x2x33重心坐标公式：y1y3yy23例 1 设点 P 分有向线段P P3 ，则P P所成的比为 _。1224P例 2 已知两点 P(4,9), Q(2,3),则 PQ 与 y 轴的交点分有向线段 PQ所成的比为 _.十一、利用平移公式解题点 A(x, y) 按 向 量 a(h, k )平移，得到点 (xh, yk)，而函数 yf ( x)的图像按 向 量a (h, k) 平移得到的函数的解析式为 yf

11、( xh)k ，解题时要注意理解图像平移前后的关系。例 1 已知两个点 P(1,2), P(2,14),向量 a(3,12),则：(1)把 P 按向量 a 平移得 _.(2)某点按 a ,得到 P ，求这个点坐标。(3)P 按某向量平移得到P ,求这个向量坐标。例 2 将函数 y log 3 ( 2x1)4 的图像按向量 a 平移后得到的是函数 ylog 3 ( 2x) 的图像，那么a 的坐标是 _.4例 3将函数 y2sin 2x的图像按向量 a平移，2sin(2x) 1的图像，则向量 a的坐标3是（）A.(,1)B.(,1)C( ,1)D (,1)3636十二、怎样利用正、余弦定理求三角形

12、的边与角主要考查正、余弦定理，勾股定理、三角变换，诱导公式。正弦定理：abc2R ； a2Rsin A ， b2R sin B ， c2Rsin Csin Bsin Asin C三角形面积公式：S ABC1 ab sin C1 bcsin A1 acsin B 。222余弦定理： a2b2c22bc cos A; cos Ab2c2a 22bc下面关系式需熟记：在ABC 中sin( AB)sin Ccos( AB)cosCsin( AB )cos Ccos(AB )sin C222例 1在ABC 中， sin A : sin B : sin C2:3:4,则 ABC?例 2已知ABC 中的最大角A 是最小角 C 的二倍，且 a、b、c 成等差数列，则a : b : c_例 3已知 a、b、c 是ABC 中A,B, C 的对边， a、b、c 成等差数列，B30，ABC 的面积为3 ，那么 b_ 。2例 4 在 Rt ABC 中， C, ab6 c, 求 A B的值 。22十三、如何判定三角形的形状原则上是将角化成边或将边化成角，主要工具是正余弦定理和三角恒等变形及代数变形。注意： 做等式变形过程中因式不可直接约分！例 1 在ABC 中，若 2cos Bsin Asin