2023届天一大联考皖豫联盟第一次考试数学试题+答案VIP

1、数学试题第数学试题第 页(共4页)(12 分)已知函数/(%) =(x-a)ex(aeR)的图象在点(1,/( 1 )处的切线与直线x - ey + 1 =0 垂直.(1 )求实数a的值；(U)若不等式/() +3e3m(l +*) +2对任意w R恒成立，求实数血的取值范围.21.(12分)已知函数/(尤)=(1 - a)lnx+x+-2(aeR).(1 )试讨论的单调区间；(H)若a0恒成立.“夭一大联考-皖豫名校联盟”2023届高中毕业班第一次考试数学-答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分，共60分.答案C命题意图本题考査集合的运算.解析 由题可知A = xx2,所以C,4 = |

2、xl0 xQ.答案D命题意图 本题考查导数的定义.Anxe . /( _2 _44) 一ft 一2). . /( _2 _4*) _/( -2)、 a解析 1!TL=TJ 孔=7(-2) =8.答案A命题意图本题考査函数图象的识别.解析 因为/( -X)=旦当七/(*),所以/U)为非奇非偶函数，排除C；当*(0,1)时/() I时顶) 0,且当+ 8时/(*)项,排除D.故选A.答案D命题意图本题考査函数极值与导数的关系.解析 由题图可知，当 0 xl Bt,log3x-1 0,/f() 0?当 1 x3 时 0;当 3x0/(x) 0；当 6x0/(Q 0；当 x10 时，岫1 0/3 2

3、00,即() 10,两边取对数得両奇 1,即* | 弓。5.56,因此 =6.Igf，g3-，e2答案A命题意图本题考查利用导数研究函数的单调性.解析 令/=e-.t(x 0)，则广(*) =e-l 0.所以函数/(*) =e-x在(0, + oc )上单调递增.因为a =17,17,命题意图木题考查英合的运算、充分条件与必要条件.3 17,17,命题意图木题考查英合的运算、充分条件与必要条件.3 命题意图木题考杏利用函数的单调性及奇偶性解不等式.命题意图木题考杏利用函数的单调性及奇偶性解不等式.2 2-ln2=e-m2,6=e+-,且 1 ln2ln 后夫所以/(1) /(ln2) 4 手)

4、，即 ca6,故选 A.答案A命题意图本题号査函数最值与导数的关系.解析 函数/U)的定义域为(O.+oo),且广(*)=于-I =峭.当WO时/(*) 0时，令/(*)0,得0北,令,(、)a,所以函数/(*)在 (0,a)上单调递增，在(。，+ 8)上单调递减.当函数/(x)在区间(e. + 8 )内冇最值时,ae,所以实数a的取值 范围为(e, +8 ).答案B命题意图本题考查利用导数研究函数极值.解析/(*)=成+(2-+2)/(%)的极值点即方程/+(2-“)*_(+2) =0的两个实根，两 实根互为相反数.则a-2=0,得a=2,所以/U) =(x2 -2%-2)e,41=(必-4

5、)e,*1.分析单调性可知，/(*)的极小值为/(2) = -2e答案C命题意图木题考査充分条件与必要条件.解析易知函数/(*)=!+*在(-8, + 8)上单调递増，同时由/( -X)= -(+*) = -/(*).知7M)为奇 函数.当 8 时,1-4 4-,则/(m-4) /(4-n) = -/(“ _4),即/(m-4) +f(n-4) 0,所以(妨一 4)3 +(m-4) +(n-4), + (n-4) 0,即一4尸 + ( 一4尸 + m+ n 8,所以m+n 8”是“()一4)3+(”一 4尸 +/n+e8”的充分条件.当(m-4)3 +(“-4)3 + m+“8 时，(/n-4

6、)3 + (;-4) + (n-4)J + (n-4) 0,即+/(“_4) 0,所以 /(zn-4) -/(n-4) =/(4-“)，所以 m-44-n,即 m+n8,所以 “m +8” M(m-4)J + (n-4)3+m+n8的必要条件.11答案c命题意图本题与査分段函数的图象.解析 作出函数/(%)的图象.如图所示，易知/(*)的图象关于直线x =2对称.由图诃知 +*4 =x2 +.t, =4. 且 0 V*i 1 ex? 2 崖 3 g 4,所以 I 4-x, 2.0 4 -x4 0 等价于亦 + 或cos% +，所以 g(x + 3) g(-新,则 * +_ - ，解得*-孕，所

7、以 不等式4 X + y)eos -十0的解集为(-孕，+ 8 ).二、填空題:本题共4小题,每小題5分，共20分.答案31命题意图本题考査宾合的其子集个数.解析 4=|.teZlx=2sin0.tfeR; = -2, - 1,0.1.21 .故集合 4 的真子集个数为 25-1 =31.答案1-()(答案不唯一)命题意图本题考査函数的图象与性质.解析 根据题意可知/(*)的图象过原点，旦在R上单调递增，又/(%) 0),则函数/(x)化为尸”一| +2lf_|.若aWO,则y=F +2/-3a(i0)单调递増，没3a -t2 -2/,0 /a,有最小值.若a = 1,则当 = 1时,y=0,

8、不符合题意.若0al,则石,则y= 2t-r -a,a 如,当t=a t +2f -3a,fN、伤，3a-? 2t.0#,则* = (2 -2/+,/ 取最 I2 +2r -3a,ta,小值2“-2而,令爲-2石=4,解得a=4.三、解答题:共70分.解答应写岀文字说明，证明过程或演算步骤.-5 5 4 - TOC o 1-5 h z 解析 由題可知 W= xl2+x-r0! = Jxl(.v + D(x-2)0! =*I10W2|, (1 分)A，= #1 - 1 3-2aWl = I xl2a - 1 W.tW2a + 11. (3 分)r2a - 1 = 1,()因为 MDN=1,2,所

9、以 解得 a = l. (4 分)I2a + 1N2,所以 N=MI1W*W3|,所以 MUN=I*I1WxW3. (6 分)(D )因为*。村是 q 的必要不充分条件，所以N執. (8分)件一 I N - I,I由|解得DWaW*,l2a + l2,2故实数的取值范闱为O.y. (10分)命题意图本题考查利用导数证明函数的单调性、利用函数的单调性解不等式.解析(I)因为/(*)为奇函数，所以/(0) =0,即a-l=0,a = l. (2分)所以/=3飞厂+ 1日.(3分)所以广()=丨+詰* (5分)则广(*) 0恒成立，所以/(%)在R上为増函数.(6分)(U )因为/(.)为R上的奇函

10、数且为増函数，所以由 fx +4x) +/(I2-Ilx) 0,得 /(?+4x) -/(12-llx) =/(Hx-12), (9 分)则卩+4*11-12,即-7需+ 120,解得34,故不等式/(x2+4x) +/(I2-Hx) 0, TOC o 1-5 h z 解析可得00令心)=/0,解得-2x0因为 h( -x) =log,(2 -*) -log,(2 + .t) = -A(x),所以h为奇函数，所以/(x + 2)的图象关于原点(0.0)对称，故/U)的图象关于点(2,0)对称. (5分)(U )关于、的方程/=g(.t) ,.y (0,4),1!|1 log2x - log2

11、(4-x) =log2(a +x)，-re (0,4),所以己= a+x,即“=宀-、=-1 =亠 + (4-%) -5,4 -x4 -x4 -x4 -x故关于*的方程/(*) =g(-t)有两个不同的实数解，转化为。=左+ (4-x)-5,*e (0,4)有两个解，即v = 与y = 7- + (4-x) -5.xe(0.4)的图象有两个交点. (7分) 4 N设/=4-x,/e(0,4),则 =土+,-5 (0,4),作出函数y = +sWe (0,4)的大致图象如图所示：(9 分)可知当-1 0时，尸与y = y+ /-5,e(0,4)的图象有两个交点，即关于x的方程/(. =g(x)有

12、两个不同的实数解，故实数“的取值范围是(-1,0). (12分)命题意图本题号査导数的几何意义、根据不等式恒成立求参数的范围.解析(I)由f(x) =(x-a)e*,得广(x)=e + (x-a)e=(x-a + l)e，(2 分) 所以犬X)的图象在点(1 /(I )处的切线斜率为广(D = (2 -)e. (3分) 因为切线与直线*-勺+ 1= 0垂直.所以(2-)e= -e,解得=3. (5分) (U )由(I )知/(.t) =(x-3)e.aij/(x) +3eM(1 +土) +2 等价于 xe&m(l +土)+2, 所以由题意知sW竺：一孕对任意xgR恒成立.(6分)e + 1 令

13、心=廿,蛎3=2.宀宀財仃：3”一25=沖-1)(7 分) 令心)=宀宀1,易知当 xc ( - 8 ,0)时,xe 0,e - 1 0,所以 h(x) 0,g(x) 00 - 1 0,所以 h(x) 0,g(x) 0,g(x)在(0, + 8 )上单调递增，(10 分) 所以 g(*)o=g(0)= -1，所以 mW-1,即实数们的取值范围是(-00.-1. (12分)命题意图本题号査利用导数研究函数的单调性、探究零点的个数. 解析(I)由题可知f(x)的定义域为(0,+8)/(*)=宁+ 1_多=危+ ?广).(2分) 当aWO时J(x)0恒成立，所以/(“)在(0,+8)上单调递增； (

14、3分) 当 a0 时，由广(x)0,得 *a,由/(*) 0,得 0 x0时/(时的单调递减区间为 (0,Q,单调递增区间为(a,+8). (5分)(口)由(1)可知当aWO时Z() 0在(0,/上恒成立,所以/在(0,e”上单调递增.(6分)因 V(D=-l0.所以由函数零点存在定理知，函数/S)在(0,：上冇1个零点.(7分)当 0aW2 时，若.y (0,a),则广 0,所以/U)在区间(0,京上单调递减，在区间(a,e”上单调递增，可得 f(x)m=f(a)=(l-a)na+a-=(a-)( - Ina). (8 分)当a = l时/(玲土=0,此时/(矽在区间(0,e2上有1个零点.

15、 (9分)当0a1时/(x)响0.所以此时/U)在区间(0,c上有2个零点.(10分)当1 0.此时/(就在区间(0,；上无零点.(11分)综上可知，当aWO或0 = 1时/(*)在区间(0,e2有1个零点;当0al时/(*)在区间(0危上有2个零 点；当1 由题可知g() =xf(x)其定义域为(-8 ,+8).所以 g(x) =(x + l)e,-6.t-6 = (x + l)(e, -6). (I 分)令 g(t) =0,得 *= -I 或 x = ln 6.令 g(X)0.可得-lx0,可得 Xln 6. (3 分)所以当x = -1 Ht.g(x)取得极大值g( -I) =3-+，当

16、 x = ln6 时,g(*)取得极小偵 g(】n6) = -3(ln6)2. (5 分)(II )要证f(x) + 2sin x +5 NO 恒成立，即证 e* + 2sin x -3* - I 三0 恒成立.s(x) =e, +2sinx-3x-l,贝 I s(#) = e，+2cos * _3. (6 分)当 *0 时.因为 eLcoseWl,所以 $(*) s(0)=0. (7分)当 xNO 时，令 4(*) =e +2cos x -3,则扩=e* -2sin x,令 m(x) =x - sin则 s(ar) = I - cos xO.即m(x)在区间0,+oo)上单调递增，故m(x)Nm(0) =0.即当 xNO 时,xNsinx,故扩() =e一2sin.tNe一2x. (8 分)下证e1 2x在区间0, + 8 )上恒成立.设 q(x) =e-2x,x0,则时(x) =4-2.令(*)