2019年高考数学复习全套教与学讲义

1、状元高考复习宝典状元高考复习宝典 /210?5?5+=亍设由直线1,12和X轴所闱成的三角形的面积为S,则:第2课导数的应用A【考点导读】通过数形结合的方法直观了解函数的单调性与导数的关系，能熟练利用导数研究函数的单调性；会求某些简单函数的单调区间。结合函数的图彖，了解函数的极人(小)值、最人(小)值与导数的关系；会求简单多项式函数的极人(小)值，以及在指定区间上的最大(小)值。【基础练习】1.若函数f(x)=111X4-11是R上的单调函数，则m,n应满足的条件是mHO,nwR。函数y=2x3x12x+5在七，3上的最大值、最小值分别是5,15用导数确定函数f(x)=sinx(xe0,2)的

2、单调减区间是兰,斗。22函数f(x)=sinx+ix,(XG0,2)的最大值是龙，最小值是0。2一一函数f(x)=x2-ex的单调递增区间是一(-8,-2)b(o,+8)【范例导析】例1.f(x)=x3-3x2+2在区间1,1上的最大值是_2解：当一lSx0,当OvxSl时，fx)0)X(4)y=2x2-I11x解：(1)Vy*=3x2-x-2=(3x+2)(x_l)2/XG(-03，一二)|J(1,+S)时/0322xw，1)y0,xg(-k,0)U(0,k)x_/0(-oo,-k),(k,+oo)T(-k,0),(0,k)l4x?i1y=4x=定义域为(0,+8)xg(0,)yoT点评：熟

3、练掌握单调性的求法，函数的单调性是解决函数的极值、最值问题的基础。例3设函数f(x)=2x3-3(a-l)x2+l,其中al.(I)求6)的单调区间;(11)讨论)的极值。解：由已知得f(x)=6xx-(a-l),令f(x)=0,解得刍=0,卷=8-1。(I)当a=l时，f(x)=6x2,f(x)在(y),p)上单调递增：当al时，f(x)=6xx-(a-l),f(x),f(x)随x的变化情况如下表:X(Y,0)0(0,a-l)a-1(a-l,+oo)f(x)+00+f(x)极大值极小值从上表可知，函数f(x)在(-8,0)上单调递增；在(0,a-l)单调递减；在(a-1,+s)上单调递増。(

4、II)由(I)知，当a=l时，函数f(x)没有极值；当al时，函数f(x)在x=0处取得极大值，在x=a1处取得极小值1-(a-1)。点评：本小题主要考查利用导数研究函数的最大值和最小值的基础知识，以及运用数学知识解决实际问题的能力。【反馈演练】1.关于函数f(x)=2x3-6x2+7,下列说法不正确的是。(1)在区间(一8,0)内，f(x)为增函数(2)在区间(0,2)内，f(x)为减函数(3)在区间(2,+8)内，f(x)为增函数(4)在区间(一8,0)U(2,+8)内，f(x)为增函数对任意x,有f(x)=4x3,f(l)=-l，则此函数为f(x)=x4-2oTOC o 1-5 h z函

5、数y二2x-3xT2x+5在0,3上的最人值与最小值分别是5,T5。下列函数中，X=0是极值点的函数是(2)。y=-x3(2)y=cos2x(3)y=tanx-x(4)丫=丄x下列说法正确的是(4)。(1)函数的极人值就是函数的最人值(2)函数的极小值就是函数的最小值(3)函数的最值一定是极值(4)在闭区间上的连续函数一定存在最值函数f(x)=x3-3x2+5的单调减区间是一0,2求满足条件的a的范围：(1)使y=sinx+ax为R上增函数；使y=x+ax+a为R上的增函数；(3)使f(x)=ax3-x2+x-5为R上的增函数。解：(1)V/=cosx+a由题意可知：y0对VxeR都成立:.a

6、1又当a=l时y=sinx+x也符合条件/.awl,+s)(2)同上ae0,+co)(3)同上agi,+oo)3已知函数f(x)=ax4liix+bx4-c(x0)在x=l处取得极值一3-c,其中a,b,c为常数。试确定a,b的值；(2)讨论函数f(x)的单调区间。解：(I)由题意知f(1)3c,因此bc3c从而b=3.又对f(x)求导得f*(x)=4ax3111X+ax4+4bx3=x(4aliix+a+4b).x由题意ff(l)=0,因此a+4b=0,解得a=12.由(I)知f(x)=48xlnx(x0),令f(x)=0,解得x=l.当0l时，f(x)0,此时f(x)为增函数.因此f(x)

7、的单调递减区间为(0,1),而f(x)的单调递增区间为(1,+8).第3课导数的应用B【考点导读】深化导数在函数、不等式、解析几何等问题中的综合应用，加强导数的应用意识。利用导数解决实际生活中的一些问题，进一步加深对导数本质的理解，逐步提高分析问题、探索问题以及解决实际应用问题等各种综合能力。【基础练习】1.若f(x)是在(-1,1)内的可导的偶函数，且f(x)不恒为零，则关于f(x)卞列说法正确的是(4)。(1)必定是(1,1)内的偶函数(2)必定是(-1,1)内的奇函数(3)必定是(-1,1)内的非奇非偶函数(4)可能是奇函数，也可能是偶函数f(x)是f(x)的导函数，f(x)的图彖如右图

8、所示，则f(x)的图彖只可能是(4)。yy(1)(2)(3)(4)若teR,曲线y=x与直线y=3xt在xw0,l上的不同交点的个数有至多1个。把长为60cm的铁丝围成矩形，要使矩形的面枳最人，则长为15cm,宽为15cm。【范例导析】例1.函数f(x)=x3+ax2+bx+c,a：曲线y=f(x)上的点P(l,f(l)的切线方程为y=3x+l若y=f(x)在x=-2时有极值，求(%)的表达式；在(1)的条件下，求丫=f(x)在-3,1上最大值;若函数y=f(x)在区间-2,1单调递增，求方的取值范围解：(1)由f(x)=x3+ax2+bx+c求导数得：f(x)=3x2+2ax+bily=f(

9、x)上点玖1,f(l)的切线方程为y-f(1)=f(l)(x-1)即y-(a+b+c+1)=(3+2a+b)(x-1)而过y=f(x)上P(l,f(l)舶切线方程为y=3x+l故3+2a+b=3即严+0CDa+b+c-2=la+b+c=3(2)y=f(x)在x=-2时有极值故f(-2)=0.-._4a+b=-12(3)由(1)(2)相联立解得a=2,b=-4,c=5f(x)=x34-2x2一4x+5(2)f(x)=3x2+2ax+b=3x2+4x-4=(3x-2)(x+2)XH-2)-2(-2,|)2ii1f(x)+00+f(x)极人极小f(x)极大=f(-2)=(-2)3+2(-2)2-4(

10、2)+5=13f(l)=l3+2xl-4xl+5=4/.f(x)在一3,1上最大值为13(3)y=f(x)在区间-2,1上单调递增又ff(x)=3x2+2ax+b,由(1)知2a+b=0f(x)=3x一bx+b依题意f(x)在2,1上恒有f(x)0,HP3x2-bx+b0在2,1上恒成立.在x=-lW,f(x)小=f(l)=3b+b0/.b66在x=-Mf(x)小=f(2)=12+2b+bno?.be06在一20贝lj0b/8+2x-x2)2=芈(8+2x_x，)。帐篷的体积为(单位：m3)：V(x)=+2x-x2)|(x-l)+l=求导数，得(x)=V(x)=+2x-x2)|(x-l)+l=

11、求导数，得(x)=3x)；令V(x)=0解得x二-2(不合题意，舍去),x=2o当lxO,V(x)为增函数；当2x4时，V(x)0,对于任意实数x都有f(x)o,则丄P的最小值为A。(0)2_3.若0VXZ,则下列命题正确的是(3)22233(1)sinxx(3)sinxxTl7T7TJT1、4函数f(x)=xliix(x0)的单调递增区间是一,+ooe己知函数f(x)=x3+bx2+cx+d的图象过点P(0,2),且在点M(-1,f(-l)处的切线方程为6x-y+7=0求函数y=f(x)的解析式；求函数y=f(x)的单调区间.解：(I)由f(x)的图象经过P(0,2),知d二2,所以f(x)

12、=x3+bx2+cx+2,f(x)=3x2+2bx+c.由在M(-l,f(-l)处的切线方程是6x-y+7=0-6-f(一1)+7=0,即f(-1)=1,fX-1)=6.(3-2b+c=6,Mr,(2b-c=-3,(_l+b_c+2=lI(b-c=0,解得b=c=一3故所求的解析式是f(x)=x3-3x2-3x+2.(II)fx)=3x2-6x-3.令3x2-6x-3=0,即x，-2x-l=0.解得Xj=1-V2,x,=14-/2.当xv1-或x1+f(X)0;当1一Vlvxvl+Vf,f，(x)VO.故f(x)在(YO,1-血)内是增函数，在(1-返1+近)内是减函数，在(1+迈,+00)内

13、是增函数.点评：本题考查函数的单调性、导数的应用等知识，考查运用数学知识分析问题和解决问题的能力TOC o 1-5 h z6如图，有一块半椭圆形钢板，其半轴长为短半轴长为计划将此钢厂板切割成等腰梯形的形状，下底AB是半椭圆的短轴，上底CD的端点在椭圆Z上，记CD=2x,梯形面积为S.J求面积S以x为自变量的函数式，并写出其定义域；#求面积S的最大值.#解：(I)依题意，以AB的中点O为原点建立直角坐标系O号(如图)，A2rX2v2yj则点C的横坐标为x点C的纵坐标y满足方程+=l(y0),L4L解得y=2Vr2-x2(0 xr)十所以S=|(2x+2r)ffiVr2-x2#=2(x+r).JF

14、-x，,其定义域为x|0 xr.AO(II)记f(x)=4(x+r)2(r2-x2),0 x0；当一vxvr时，f(x)0,222所以f(x)在(0,=)上是单调递增函数，在(pi)是单调递减函数，22fl所以f-r是f(x)的最大值.即梯形面积S的最大值为半，7.设函数f(x)=tx2+2t2x+t-l(xeR,t0).(I)求f(x)的最小值h(t)；(II)若h(t)0),当x=-t时，f(x)取最小值f(-t)=-t3+t-l,即h(t)j+t_l.(II)令g(t)=h(t)-(-2t+m)=-t3+3t-1-m,由gr(t)=-3t2+3=0得t=l,t=-l(不合题意,舍去).当t变化时g(t),g(t)的变化情况如下表：t(0,1)1(1,2)g(t)+0g(t)递增极大值1-m递减g(t)在(0,2)内有最人值g=l-m.h(t)-2t+m在(0,2)内恒成立等价于g(t)0在(0,2)内恒成立，即等价于1mvO,所以m的取值范围为ml.点评：本题主要考查函数的单调性、极值