(新高考)高考数学一轮复习考点复习讲义第10讲《对数与对数函数》（解析版）

1、第10讲 对数与对数函数思维导图知识梳理1对数概念如果axN(a0，且a1)，那么数x叫做以a为底数N的对数，记作xlogaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数，logaN叫做对数式性质对数式与指数式的互化：axNxlogaN(a0，且a1)loga10，logaa1，alogaNN(a0，且a1)运算法则loga(MN)logaMlogaNa0，且a1，M0，N0logaeq f(M,N)logaMlogaNlogaMnnlogaM(nR)换底公式logabeq f(logcb,logca)(a0，且a1，c0，且c1，b0)2对数函数ylogax(a0，且a1)的图象与性质底数a10a1时

2、，恒有y0；当0 x1时，恒有y1时，恒有y0；当0 x0在(0，)上是增函数在(0，)上是减函数核心素养分析幂函数、指数函数与对数函数是最基本的、应用最广泛的函数，是进一步研究数学的基础。本讲的学习，可以帮助学生学会用函数图象和代数运算的方法研究这些函数的性质；理解这些函数中所蕴含的运算规律；运用这些函数建立模型，解决简单的实际问题，体会这些函数在解决实际问题中的作用。题型归纳题型1 对数式的化简与求值【例1-1】（2020枣庄模拟）已知 SKIPIF 1 0 ，若 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，则 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 A SKIPIF 1 0 B

3、2C SKIPIF 1 0 D4【分析】对 SKIPIF 1 0 两边取以 SKIPIF 1 0 为底的对数得 SKIPIF 1 0 ，同理 SKIPIF 1 0 ，代入 SKIPIF 1 0 ，即可求出 SKIPIF 1 0 的值【解答】解：对 SKIPIF 1 0 两边取以 SKIPIF 1 0 为底的对数，得 SKIPIF 1 0 ，即 SKIPIF 1 0 ，同理有： SKIPIF 1 0 ，代入 SKIPIF 1 0 ，得 SKIPIF 1 0 ，因为 SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，故选： SKIPIF

4、1 0 【例1-2】（2019秋巢湖市期末）计算： SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 A1B4C5D7【分析】利用指数对数运算性质即可得出【解答】解：原式 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 故选： SKIPIF 1 0 【跟踪训练2-1】（2020春兴宁区校级期末）计算： SKIPIF 1 0 【分析】进行对数的运算即可【解答】解：原式 SKIPIF 1 0 故答案为：0【跟踪训练2-2】（2020温州模拟）著实数 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 满足 SKIPIF 1 0 ，则 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 【分析】由 SKIPIF 1

5、0 ，可得 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 即可得出 SKIPIF 1 0 【解答】解：由 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 故答案为：2，2【名师指导】对数运算的一般思路(1)拆：首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后利用对数运算性质化简合并(2)合：将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算 题型2 对数函数的图象及应用【例2-1】（2020春吉林期末）函数 SKIPIF 1 0 的图象是 SKIPIF 1 0

6、SKIPIF 1 0 ABCD【分析】本题研究一个对数型函数的图象特征，函数 SKIPIF 1 0 的图象可由函数 SKIPIF 1 0 的图象x轴下方的部分翻折到x轴上部而得到，故首先要研究清楚函数 SKIPIF 1 0 的图象，由图象特征选出正确选项【解答】解：由于函数 SKIPIF 1 0 的图象可由函数 SKIPIF 1 0 的图象左移一个单位而得到，函数 SKIPIF 1 0 的图象与x轴的交点是 SKIPIF 1 0 ，故函数 SKIPIF 1 0 的图象与x轴的交点是 SKIPIF 1 0 ，即函数 SKIPIF 1 0 的图象与x轴的公共点是 SKIPIF 1 0 ，考察四个选

7、项中的图象只有 SKIPIF 1 0 选项符合题意故选： SKIPIF 1 0 【例2-2】（2020九江三模）如图所示，正方形 SKIPIF 1 0 的四个顶点在函数 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 的图象上，则 SKIPIF 1 0 【分析】设出各点坐标，根据 SKIPIF 1 0 平行于 SKIPIF 1 0 轴得到 SKIPIF 1 0 ，再结合 SKIPIF 1 0 平行于 SKIPIF 1 0 轴得到 SKIPIF 1 0 ，可得 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，再结合边长相等即可得到结论【解答】解：设 SKIPIF 1

8、0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，则 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 ，又 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，即 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 为正方形， SKIPIF 1 0 ；可得 SKIPIF 1 0 ，解得 SKIPIF 1 0 故答案为：2【跟踪训练2-1】（2020怀柔区一模）函数 SKIPIF 1 0 的图象是 SKIPIF 1 0

9、 SKIPIF 1 0 ABCD【分析】要想判断函数 SKIPIF 1 0 的图象，我们可以先将函数的解析式进行化简，观察到函数的解析式中，含有绝对值符号，故可化为分段函数的形式，再根据基本初等函数的性质，对其进行分析，找出符合函数性质的图象【解答】解： SKIPIF 1 0 则函数的定义域为： SKIPIF 1 0 ，即函数图象只出现在 SKIPIF 1 0 轴右侧；值域为： SKIPIF 1 0 即函数图象只出现在 SKIPIF 1 0 轴上方；在区间 SKIPIF 1 0 上递减的曲线，在区间 SKIPIF 1 0 上递增的曲线分析 SKIPIF 1 0 、 SKIPIF 1 0 、 S

10、KIPIF 1 0 、 SKIPIF 1 0 四个答案，只有 SKIPIF 1 0 满足要求故选： SKIPIF 1 0 【跟踪训练2-2】（2019衡水二模）如图，已知过原点 SKIPIF 1 0 的直线与函数 SKIPIF 1 0 的图象交于 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 两点，分别过 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 作 SKIPIF 1 0 轴的平行线与函数 SKIPIF 1 0 图象交于 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 两点，若 SKIPIF 1 0 轴，则四边形 SKIPIF 1 0 的面积为 【分析】设出 SKIPIF 1 0 、

11、SKIPIF 1 0 的坐标，求出 SKIPIF 1 0 、 SKIPIF 1 0 的斜率相等利用三点共线得出 SKIPIF 1 0 、 SKIPIF 1 0 的坐标之间的关系再根据 SKIPIF 1 0 平行 SKIPIF 1 0 轴， SKIPIF 1 0 、 SKIPIF 1 0 纵坐标相等，推出横坐标的关系，结合之前得出 SKIPIF 1 0 、 SKIPIF 1 0 的坐标之间的关系即可求出 SKIPIF 1 0 的坐标，从而解出 SKIPIF 1 0 、 SKIPIF 1 0 、 SKIPIF 1 0 的坐标，最后利用梯形的面积公式求解即可【解答】解：设点 SKIPIF 1 0 、

12、 SKIPIF 1 0 的横坐标分别为 SKIPIF 1 0 、 SKIPIF 1 0 由题设知， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 则点 SKIPIF 1 0 、 SKIPIF 1 0 纵坐标分别为 SKIPIF 1 0 、 SKIPIF 1 0 因为 SKIPIF 1 0 、 SKIPIF 1 0 在过点 SKIPIF 1 0 的直线上，所以 SKIPIF 1 0 ，点 SKIPIF 1 0 、 SKIPIF 1 0 坐标分别为 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 由于 SKIPIF 1 0 平行于 SKIPIF

13、 1 0 轴知 SKIPIF 1 0 ，即得 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 代入 SKIPIF 1 0 得 SKIPIF 1 0 由于 SKIPIF 1 0 知 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 考虑 SKIPIF 1 0 解得 SKIPIF 1 0 于是点 SKIPIF 1 0 的坐标为 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 即 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 S

14、KIPIF 1 0 梯形 SKIPIF 1 0 的面积为 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 故答案为： SKIPIF 1 0 【名师指导】对数函数图象的识别及应用方法(1)在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解题型3 对数函数的性质及应用 【例3-1】（2020新课标）已知 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 设 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，则 SKIPIF 1 0 S

15、KIPIF 1 0 A SKIPIF 1 0 B SKIPIF 1 0 C SKIPIF 1 0 D SKIPIF 1 0 【分析】根据 SKIPIF 1 0 ，可得 SKIPIF 1 0 ，然后由 SKIPIF 1 0 和 SKIPIF 1 0 ，得到 SKIPIF 1 0 ，再确定 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 的大小关系【解答】解： SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ； SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ； SKIPIF 1 0 ， SKIPI

16、F 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，综上， SKIPIF 1 0 故选： SKIPIF 1 0 【例3-2】（2019陆良县一模）已知函数 SKIPIF 1 0 ，则使得 SKIPIF 1 0 的 SKIPIF 1 0 的取值范围是 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 A SKIPIF 1 0 B SKIPIF 1 0 C SKIPIF 1 0 D SKIPIF 1 0 【分析】判断函数 SKIPIF 1 0 是定义域 SKIPIF 1 0 上的偶函数，且在 SKIPIF 1 0 时单调递增，把不等式 SKIPIF 1 0 转化为 SKIPIF 1 0 ，

17、求出解集即可【解答】解： SKIPIF 1 0 函数 SKIPIF 1 0 为定义域 SKIPIF 1 0 上的偶函数，且在 SKIPIF 1 0 时，函数单调递增， SKIPIF 1 0 等价为 SKIPIF 1 0 ，即 SKIPIF 1 0 ，两边平方得 SKIPIF 1 0 ，即 SKIPIF 1 0 ，解得 SKIPIF 1 0 ； SKIPIF 1 0 使得 SKIPIF 1 0 的 SKIPIF 1 0 的取值范围是 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 故选： SKIPIF 1 0 【例3-3】（2019秋静宁县校级月考）已知函数 SKIPIF 1 0 （1）若 SK

18、IPIF 1 0 的定义域为 SKIPIF 1 0 ，求 SKIPIF 1 0 的取值范围；（2）若 SKIPIF 1 0 ，求 SKIPIF 1 0 单调区间；（3）是否存在实数 SKIPIF 1 0 ，使 SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 上为增函数？若存在，求出 SKIPIF 1 0 的范围？若不存在，说明理由【分析】（1） SKIPIF 1 0 恒成立， SKIPIF 1 0 （2）求出 SKIPIF 1 0 转化为二次函数问题（3）根据符合函数单调性求解【解答】解：（1） SKIPIF 1 0 函数 SKIPIF 1 0 的定义域为 SKIPIF 1 0 ， SKIPI

19、F 1 0 恒成立， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 即 SKIPIF 1 0 的取值范围 SKIPIF 1 0 （2） SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 或 SKIPIF 1 0 设 SKIPIF 1 0 ，对称轴 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 上为减函数，在 SKIPIF 1 0 上为增函数根据符合函数单调性规律可判断： SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 上为增函数，在 SKIPIF 1 0 上为减函数（3）函数 SKIPIF 1 0

20、 设 SKIPIF 1 0 ，可知在 SKIPIF 1 0 上为减函数，在 SKIPIF 1 0 上为增函数 SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 上为增函数 SKIPIF 1 0 且 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 且 SKIPIF 1 0 ，不可能成立不存在实数 SKIPIF 1 0 ，使 SKIPIF 1 0 在 SKIPIF 1 0 上为增函数【跟踪训练3-1】（2020昆明一模）已知 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，则 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 的大小关系为 SKIP

21、IF 1 0 SKIPIF 1 0 A SKIPIF 1 0 B SKIPIF 1 0 C SKIPIF 1 0 D SKIPIF 1 0 【分析】结合对数函数的特殊函数值及单调性即可比较大小【解答】解： SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 故选： SKIPIF 1 0 【跟踪训练3-2】（2020春安徽期末）已知 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，则 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 A SKIPIF 1 0 B SKIPIF 1 0 C SKIPIF 1 0 D SKIPIF 1 0 【分析】利用对数函数的性质直接求解【解答】解： SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 故选： SKIPIF 1 0 【跟踪训练3-3】（2019秋武邑县校级期中）已知