高中数学人教A版高中选修 圆锥曲线与方程教学设计2

1、圆锥曲线的光学性质（人教版2023课标版选修2-1第75页）四川省峨眉第二中学校 陈 恒教材分析1.在学习完圆锥曲线的定义和性质的基础上介绍圆锥曲线的光学性质，体会不同的圆锥曲线在反射光线时的不同情况。2.从实际生活的角度介绍圆锥曲线的光学性质的作用，让学生感受到数学来源于生活。目标分析知识分析：学生在前面学习了椭圆，双曲线，抛物线的定义和几何意义，以及直线对称等问题，对理解证明抛物线的光学性质有一定基础，继而可以类比得到其他圆锥曲线的光学性质。能力分析：通过抛物线的光学性质的证明，利用数形结合的数学思想为桥梁和纽带指向空间想象能力的形成。素养分析：本节探究与发现指向学生数学建模，数学运算等学

2、科核心素养的形成，每个核心素养分为三个水平要求。数学建模：水平一：能够从抛物线的光学性质的证明过程中，模仿学过的数学建模过程解决问题；水平二：能够从实际的凹面镜反射到抛物线的光学性质这一关联的情境中，经历数学建模的过程，理解建模的意义，能够运用数学语言，表述数学建模过程中的问题以及解决问题的过程和结果；水平三：能够理解建立数学模型的意义和作用，能够运用数学语言，清晰、准确地表达数学建模的过程和结果。数学运算水平一：能够在抛物线的光学性质证明过程中，进行特殊值得计算；水平二：能够在抛物线的光学性质证明过程中，进行全字母运算证明；水平三：能模仿抛物线的证明过程，对椭圆的光学性质，双曲线的光学性质进

3、行严谨的证明。教学重点与难点重点：建立正确的数学模型，找到解决实际问题的正确方法。难点：抛物线光学性质的证明过程。教学过程情境与问题上周周练选择题12题，我们遇到一个抛物线的问题，在解决这个问题的过程中我们要使用到抛物线的一条光学性质。这条光学性质在现实生活中依然有广泛的应用，例如手电筒发光，以及奥运会利用凹面镜聚光点燃火炬等，让学生观看相关视频。设计意图：设置情境，提出问题.首先在考试中出现了利用抛物线光学性质的题目，对学生来说，这是一个迫切需要解决的问题。其次，通过手电筒发光，凹面镜聚光等实际问题中都应用到了抛物线的光学性质，说明抛物线的光学性质在实际生活中应用广泛，让学生感受到数学来源于

4、生活。知识与技能我们能否用数学的方法证明凹面镜的聚光原理？设计意图：抽象出数学模型如图1，截取凹面镜的轴截面，将立体问题平面化。凹面镜可以看做是抛物线绕着对称轴旋转得来。如果能证明平行于对称轴的光线经抛物线反射会经过焦点，则可以说明凹面镜的聚光原理了。通过转化与化归的数学思想培养学生数学建模的核心素养。图1尝试解决数学模型模仿前面解析几何的处理方法，借助代数运算解决几何问题。引导学生建立直角坐标系，写出抛物线的方程，再将光线表示成直线，进行证明，如图2。让学生体会数形结合的数学思想图2思维与表达请通过运算进行严谨的证明，并邀请同学进行展示。设计意图：数学模型已经建立起来，现在需要学生用严谨的运

5、算来进行证明。计算过程中涉及抛物线求切线、直线关于直线对称等问题，运算过程较为复杂，可以锻炼学生的运算能力，培养学生数学运算的核心素养。针对学生的不同情况，可以先利用从特殊到一般的数学思想，先计算特殊抛物线，特殊直线的情况，再过渡到一般抛物线，一般直线。能力较强的学生可以直接证明。应用与拓展我们已经证明了抛物线的光学性质，可以解释凹面镜的聚光原理了，同时，我们也可以利用这一性质解决课前提出的问题。设计意图：证明性质后，要让学生感受到性质的作用，及时的训练也能加强记忆。让学生体会数学从生活中来，到生活中去，又应用于数学的理念，解决学数学没用的困惑。我们研究完抛物线的光学性质后，能否拓展到其他的圆

6、锥曲线，例如椭圆。让同学们先猜想，再模仿抛物线光学性质的证明过程，也建立模型进行证明。设计意图：类比抛物线的证明过程，去建立模型证明椭圆的光学性质，进一步让学生体会数学建模，培养数学数学建模的核心素养。椭圆的证明过程比抛物线更困难，进一步培养学生数学运算的核心素养。交流与反思例：已知分别是椭圆的左、右焦点，点的坐标为，则的角平分线所在直线的斜率为 请同学们思考并讨论这个题的解法。设计意图：这个题是一题多解，解法一：利用角平分两侧的点对称的性质，找到两边对称的点，利用中点在角平分线上，求出角平分的斜率。解法二：根据椭圆的光学性质，与可以看做椭圆中的入射光学和反射光学，角平分线正好是他们的法线，所以只要求出点处的切线，利用切线与法线垂直，直接找到角平分线的斜率。反思：椭圆的光学性质告诉我们，椭圆上一点出发链接椭圆两焦点，正好符合椭圆的光学性质，则的角平分线就是法线。这可以成为椭圆中求角平分线的通法。体现出椭圆的光学性质的重要作用。小结知识了解并证明了抛物线，椭圆的光学性质。了解他们在现实生活中的应用和在数学解