高中数学人教A版高中 不等式基本不等式教学设计

1、课题：基本不等式授课教师：四川省巴中中学 李卫教 材：普通高中课程标准实验教科 书人教A版数学必修5一、教材分析 1、教学内容 基本不等式是人教版普通高中课程标准实验教科书数学（A版）必修5第三章第四节的内容，主要内容是使学生了解基本不等式的代数、几何背景及基本不等式的证明与简单应用。本节计划三课时，这是第一课时。 2、本节教材的地位和作用 “基本不等式” 是必修5的重点内容，它是在学生学习了“不等式的性质”、“不等式的解法”及“线性规划“的基础上对不等式的进一步研究,在学生的后继学习中起着重要的基础作用；其次本节知识具有变通灵活性、应用广泛性、条件约束性等特点，可以培养学生应用数学知识灵活解

2、决实际问题的能力，是学数学用数学的好素材；同时本节知识在形成过程中渗透了数形结合、分类讨论、类比、从特殊到一般等数学思想，有利于培养学生良好的思维品质。二、学情分析有利因素:学生在初中已经学习了完全平方公式、圆、初步认识了不等式，同时在本章前三节中已经掌握了不等式的基本性质并能够根据不等式的性质进行数、式的大小比较，前期的知识储备为本节课提供了坚实的基础。不利因素:由于高一学生的认知能力有限，思维不严谨，这一阶段的学生正处在由抽象思维到逻辑思维的过渡期，对图形的观察，分析，总结有一定的困难。三、目标分析（1）教学目标1.知识与技能目标：推导并准确表达基本不等式，理解基本不等式等号成立的条件及几

3、何解释；会用基本不等式解决简单的最值问题。2.过程与方法目标：通过实例的分析和提炼,培养学生观察分析和解决问题的能力；引导学生从数和形两方面深入理解基本不等式，渗透数形结合的思想；通过师生间的合作交流，提高学生的数学表达能力和逻辑思维能力。3.情感态度与价值观目标：通过知识的探究过程培养学生严谨求实的科学态度，体会数与形的和谐统一，领略数学的应用价值，激发学生的学习兴趣和勇于探索的精神。（2）重点、难点重点:应用数形结合的思想理解基本不等式，并从不同角度探索基本不等式的证明过程。难点:基本不等式几何意义的挖掘,掌握基本不等式等号成立的条件。解决方法:采用对比分析、师生板演来突出基本不等式的证明

4、过程；采用重复法（在课堂的每一环节，以各种不同的方式强调基本不等式等号成立的条件），通过几何画板、多媒体展示强调数形结合的思想，突破难点。四、教法学法教学方法：引导发现法、问题探究法学习方法：自主探究、合作交流教学手段：多媒体辅助教学设计意图：以培养学生探究精神为出发点，着眼于知识的形成和发展，着眼于学生的学习体验，多媒体辅助教学有利于增强课堂教学的生动性与直观性，有利于增大教学信息量，提高教学效益。五、教学过程确定依据 为了完成教学任务，实现教学目标，设计了如下教学流程：创设情景，几何引入代数证明，得出结论几何证明，相见益彰应用举例，巩固提高归纳小结，反思提高布置作业，课后延拓 具体教学过程

5、如下：教学环节教学设计设计意图创设情景几何引入创设情景几何引入创设情景几何引入创设情景几何引入创设情景：向学生展示2023年在北京召开的第24届国际数学家大会会标，指出该会标就是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客，同时也充分展示了中国古代数学对世界所做出的重大贡献。在这里简要介绍一下弦图：早在1300多年以前，这位数学家就巧妙的利用弦图中的面积关系证明了勾股定理，这是世界上最早证明勾股定理的方法之一。 探究1：探究会标图形中的相等关系和不等关系将会标抽象成图一： 图一 图二问1:你能从图一中找出一些相等关系和不等关系吗？学生自主探究，有如下

6、情形: = 1 * GB3 四个直角三角形全等 = 2 * GB3 大正方形面积大于小正方形面积 = 3 * GB3 大正方形的面积等于四个直角三角形的面积加上中间一个小正方形的面积 = 4 * GB3 四个直角三角形的面积小于大正方形的面积问 2：如：图二若设直角三角形的两直角边分别为a、b（ab）应怎样表示上述不等关系?1.正方形ABCD的面积S= ;2.四个三角形面积之和= ;与的大小关系是： ;形:S 数:问3：它们有相等情况吗？何时相等？（几何画板直观演示）学生观察发现：当直角三角形变成等腰直角三角形，即时，正方形EFGH缩为一个点，这时有，反知，也成立。这种情况称为“当且仅当”。综

7、上：，当且仅当时等号成立。（1）以实例和数学背景引入课题，容易激发学生的学习兴趣。（2）运用此图标能较容易的观察出面积之间的关系，引入重要不等式很直观。（3）学生在倾听的基础上，会回顾旧知：赵爽利用弦图证明了勾股定理这一历史事件，因此在学生原有认知的基础上提出：通过会标图形对弦图再研究，引发思考：还有什么玄机呢？激发学生求知欲。利用会标中相关面积间存在的数量关系，抽象出不等式，同时又要让学生经历知识产生的过程。将实际问题数学化，激活学生的思维，增强数形结合的意识，抽象出不等式。从运动变化的角度体会面积相等的情况，运用数形结合的思想，抽象不等式中的相等关系，逐步完善结论，从“形” 上理解不等式取

8、等的条件。代数证明得出结论几何证明相见益彰思考：上述结论是在几何图形中得到的，那么对于一般的实数，它还成立吗？学生能够很容易地利用作差比较法进行证明，在证明的过程中实际上就说明了a,b的任意性，从而实现结论一般化：重要不等式：一般地，对于任意实数a,b，有，当且仅当ab时，等号成立。探究2：你能写出重要不等式的一些变式吗？（分组讨论，合作交流，教师巡视，搜集变式，全班展示，再引导学生完善结果，获得成果）主要有如下成果：指出：特别地，如果a0,b0,我们用、分别代替a、b ，可得通常我们把上式写作:基本不等式： 当且仅当a=b时，取“=”号几何平均数 算数平均数 代数意义：两个正数的算术平均数不

9、小于它们的几何平均数。问1：我们从几何图形中的面积关系以及代换方式获得了基本不等式，能否利用不等式的性质，直接推导这个不等式呢？ 分析法（教师板书）指出：上述过程叫做分析法。问2：还有其它证明方法吗？（学生上台板书）比较法、综合法归纳总结：分析法（执果索因）综合法（执因索果）探究3：基本不等式的几何解释在右图中，AB是圆的直径，点C是AB上的一点，AC=a, BC=b过点C作垂直于AB的弦DE，连接AD、BD你能利用这个图形,得出基本不等式的几何解释吗？(小组讨论，合作交流、几何画板演示)成果展示:OD= ； CD= ；形:OD CD 数：强调：当且仅当点C与圆心O重合，即ab时，等号成立.形

10、成结论：几何意义：半弦不大于半径或直角三角形斜边的高不大于斜边的中线。从 代数结构上理解不等式：两个正数和与积两种结构间的不等关系。让学生经历猜测，判断，进而再从“数”的逻辑方面给出证明的过程，既能培养学生严谨的数学态度，也为后面基本不等式的证明作了铺垫，数与形的统一加深学生对不等式取等条件的深刻理解，有效地突出重点，突破难点。对重要不等式进行变式，自然地感受基本不等式的来源，培养学生的创新意识和能力，提高学生学习数学的兴趣。从代换的角度认识基本不等式从证明的角度认识基本不等式，体会分析法的证明思路，加大探究基本不等式的力度。类比思想，感受不同方法证明不等式，突出重点。对比体会分析法，综合法之

11、间的联系与区别，为后续学习奠定一定的基础。借助初中阶段学生熟知的平面几何图形，探究不等式的几何解释，深化公式的理解，进一步领悟不等式成立的条件以及“当且仅当”等号成立的数学内涵，突破基本不等式几何意义挖掘这一难点。从代数结构上认识基本不等式，为基本不等式的简单应用作出铺垫。应用举例巩固提高练习：变：若，求的最小值。 ；例1：（1）用篱笆围一个面积为100的矩形菜园，问这个矩形长、宽各为多少时，所用篱笆最短？（2）一段长为36的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形长、宽各为多少时面积最大？（让学生找出两个问题的区别与联系，并利用基本不等式给出答案，最后引导学生从特殊到一般类比、归纳概括出一般性结论）

12、思考：能否推广得到求解最大值，最小值的一般性结论？结论：已知则：；帮助学生熟悉公式、深化对公式的理解，初步感受利用基本不等式求最值的思想；培养学生一题多解的意识，发散思维。培养学生从实际问题中抽象出数学模型利用基本不等式求最值,会用数学语言表达问题，并用相关知识解决问题的能力, 体现数学的应用价值。让学生经历从特殊到一般的过程，构建自己的知识体系，培养学生归纳、概括的能力。 归纳小结反思提高总结本节课重点内容及思想方法：本节课你学到了哪些数学知识？数无形时少直观1.两个不等式：数无形时少直观形无数时难入微数形结合千般好数形分离万事非形结合千般好 2.两个结论：两个正数积为定值，和有最小值两个正

13、数和为定值，积有最大值（2）本节课你能感受到哪些数学思想和方法？数形结合、分类讨论、换元、抽象概括、类比归纳等数学思想帮助学生明确本节学习内容、要点；整理、归纳所学知识，完善学生认知结构和知识体系，有利于知识的正向迁移。以数学家华罗庚的名言作小结，增强数形结合意识，突显了重点。布置作业课后延拓作业：；2、选做：（1）（2）3、探究：我们已经知道了 的大小关系，那么它们与 的大小关系如何？先猜猜，再试着证证，想想能否也用几何图形对它加以解释！必做题是让学生巩固所学知识，熟练公式应用，强化学生基础知识，技能的形成；选做题是学生在完成必修教材基本学习任务的同时，先自我尝试，为下课时作铺垫；探究题是供学有余力的学生拓展自主发展的空间，使不同层次的学生都能有所发展，都可以获得成功的喜悦。六、板书设计：一、结论：（1）重要不等式（2）基本不等式注：适用条件：取等条件：当且仅当：二、不等式的证明 （分析法）三、例题解析结论：练习：教学反思：本节课通过6个教学环节，强调过程教学。从实际的问题情境出发，以基本不等式的几何背景为着手点，以3个探究活动为主线，在证明不等式的基础上进一步给出几何解释，从形到数发现基本不等式，再从数到形印证基本不等式，从而深化学生对基本不等式的理解