第四章 连续系统的频域分析例题详解

1、 1一带限信号的频谱图如下图 1所示，若次信号通过图2所示系统，请画出A、B、 C 三 点 处 的 信 号 频 谱 。 理 想 低 通 滤 波 器 的 频 率 函 数 为H() ，如图 3所示。8ABCf(t)y(t)010图 3解：设 A处的信号为： ，B处的信号为：，C 处的信号为：fffABCf ft)t)Af f t)BA1F () Fj(w30)Fj(w30)2A1F () F j(w30)F j(w30) 2BAA-40 -30 -20020 30 404w4 0 w1. 如图 （a）所示的系统，带通滤波器的频率响应如图（b）所示，其相频特sin(2t)性)0，若输入 ft),st

2、)cos(1000t)，求输出信号yt)。2 tft)ft)t)yt)带通滤波器st)图（）) 01s )01图（b）图2sin(2t) 1 g )解 F() Ft2 4Ft 1Fft)cos(1000tFft)Ft1 g ( g 444则系统输出信号的傅里叶变换为Y(j Fft ( )t H j由H(j )的波形图及相频特性可得H() g 1000) g 1000)22所以可得1Y(j g) g 4221 g ( ) 42由此可得输出信号为1yt)Sat)cos(1000t)( )=0。3一理想低通滤波器的频率响应如图3 示，其相频特性 若输入信号t)ft)，求输出信号的频谱函数，并画出其频

3、谱图。t图 3t)ft)解：信号的频域表达式为tF(j) g )2Y(j) H j F j g( ) ( ) )2所以输出频谱为Y(j) 4如图 4 所示系统，已知 ft) e,n 0, ， st) t)jntnj , 1.5 /se( /s) ( ) H j30 , 1.5 s/应。ft)t)ft)yt)st)图 4解 ：对和 进行傅立叶变换st)f(t)F() S() 1(w)n( ( w wf(t)s(t) F(jw)*S(jw)( w n( w nnn j0jjY(jw) Ff (t)s(t)H(jw) ( )w e 3 (w e 3 (we 3 jj对Y()取傅立叶逆变换得 ： (

4、) 1y tejte 3 e jte 3 t 12cos( )35已知某 LTI时不变系统的频率响应6 /ra dssinte3jwwH()，若输入 ft)cos6t 。0w 6ra /st解：g 8Sa(4 )8sin 4t8Sa(4t) 2 2g ()t8sin 4tf (t) cos 6t F( j ) 6) 6) g gt288Y( j) H( j)F( j) 4) 4) g ej3g244sin 2(t 3)故 : y(t) cos 4(t 3)t 36周期信号f (t) 4 2cos( t ) sin( t )4336（） 求该周期信号的基波周期 T 和基波角频率；（） 画出该周期

5、信号的单边振幅频谱图与相位频谱图。 解：(1)T T 6121243信号 f(t)的周期 T 是 T 、T 的最小公倍数为 24(s)12 (rad /s)T 12基波角频率 （2） 将 f(t)的表达式改写为 ft) 42t )cos(4t )36 2 42t )cos(4t )337 求题图 7 所示锯齿信号 f t 的傅里叶级数。0Tt7a 0解 由图可知，锯齿波是奇函数，故。nb 4/TT/2E/n0上式积分需利用分布积分法，令u t, dt, tdt,v t,故由式（1）得T/2b 4E/T t/t T/2 2n00 E/n (n1故 f t E/n n1 1 sintn1 sin

6、E/t1/2sin2t1/3sint1/4sin4t8 已知周期信号 f t 的傅里叶级数表示为 f t 2 3 cos 4 st2 2 sin(3 30 ) cos(7 150 )（1） 求周期信号 f t 的基波角频率；（2） 画出周期信号 f t 的幅度谱和相位谱。解 弦项和并成余弦项，也需要将正弦项化成与余弦项，即其中3 co t2 4 sin 2 5 o s ( 2 5 3. 1 )s i n t3 3 ) ts (3 3 0 9 0 t) co s 3 6 ) cos ( 1 55 0 s t( 7 3 2 5 co s ( 2 5 3.1 )f t tto s (3 6 t )

7、co s ( 7 3 0 )故周期信号 f t 可表示为 f t 25cos(2t)t )t )（1）（1） 求基波角频率。 f t 可表示为 tf t 2 1/ ) 2cos(2 3 / ) 7 / )tt周期 T 应该是 2 2 2 / 1/ 。T T rad sf t 可表示为 f t 25cos(2t)2cos(3t )t )（2）（2） 根据式（2 f t 的单边幅度谱和相位谱如图 3-4（）和（b）所示。利用欧拉公式 ，将式（2）的 f t 表示成 f t 25/2eej2t 5/2ejee ej2t j j3tjej e ej ee ej3t j7t j j7t其双边幅度谱和相位

8、谱如图（）和图（d）所示。t9 求信号 ft)，t 立叶变换。( t2 0 2w题图 9解 信号 ft)可以表示为s i n2t( 2 )(t 2f S 2 ( 2 ) t 2 )a令f ( t 2S ( 2 t )1a利用对称性，f (t)的傅立叶变换F(j )如题图 3-611度的一半等于2 ，途中的h应满足门函数的面积等于 f (t)中的系数 2，即1h 2故111h 22由于对称性：ft) F()F(jt) f )因此，已知时域 ( ) ( )还要乘以 ，故门函数F()的幅F f 1度还需要乘以 F()的幅度为 1 的门函数，1表示为F(j)=G )14ft)= f (t2)1根据时延

9、特性，有F(j F j ej2 G)( )e21410 已知频谱F(j)=(-2)e f t，求原函数 ( )。 j1202w01w题图 10解 令F() )2)1F(j)的图形如图 3-7（ ( ) 1) 1)b）F j 121所示。 ft) f t1) S t1)eF ()是宽度 2的频域门函数，可表示j(t1a2为F (j)= )G22利用对称性， F ()的原函数 f t)， f t)应为S (x)函数。由于F ()是宽度222a22，面积等于 2 的门函数，且利用对称性，由频谱函数求时域原函数时，要1乘以，故112S t) S t)f t)2aa由于故F() F j 1)121f t

10、) f t)e S t)e12a由于F(j F j e)( )j1故1ft) f t1) S t1)ej(t1a 11 已知 F jw F f t ，试求下列各式的傅利叶变换。 t（1） t （2） 1t f 1t解 （1）dft) jwF jwdt由于2 t 利用对称性，得2() )w故1 jsgn()t根据卷积定理，得dft) 1 wF()sgn() w F()dt t （3） 由于 1t ft)t1)f t 利用尺度变换， f t F()F()根据频域微分性质，得根据时移特性，得() (t)()(t) j() tf t t ff x g t)( ) (12xaa G =F H 。g t

11、解 H =F ( )g t h t f x t t)h ht)a1(x)g( tx2a故xtt( ) (x g) ( ) ( ) x gaattht)a1g( )(x a1g( )22aagt)G( )tg( )aG( )a故1H(j F h t a G ) ( ( )22sin t13 知信号 ft)cos1000t，试计算该信号的能量。t解 信号的能量12E | ( ) |F jd-1002 -1000 -998998 1000 1002题图 13首先计算信号的频谱F()。令2 s i t2f (t1 4S ( t )ta则f ( t f ( t) c o s 1 00 01根据对称性，可

12、求得 f (t)的频谱1F() G )14其中G ( )为宽度 4的频域门函数。根据频移特性，得 ft)的频谱为411F(j F j ) 1000) F j 1000)2211 1000) 1000) G G44频谱F()如题图 3-19所示，由图可知2d| ( ) | 8 F j2上式表示F()的模|F(j )|的平方后的面积，故1E 214 某 LTI系统，已知其系统函数| |1| | 3ad /s H(j )3，H(j )0 ,ra/s( )y tt输入信号 ft) ejn,1,求该系统的输出。2n103 w题图 14解 系统函数H()如题图 14 | /s的频率分量才能通过系统。输入信号 ft)是周期信号，可表示为e eft) 3jt22F ej其复傅立叶系数。n信号 ft)的频谱为F( j F n)n2n e n)