人工智能之模糊逻辑系统

1、 第五章 模糊逻辑与模糊推理10/13/20221主要内容容5.1概述5.2模糊集合合及其运运算5.3模糊关系系5.4模糊逻辑辑与近似似推理5.5基于控制制规则库库的模糊糊推理5.6模糊控制制的基本本原理1/15/202025.1概述1/15/20203模糊的概概念“fuzzy”不同的类类别之间间不存在在精确的的分类标标准，从从而对一一事物是是否属于于某一类类很难做做出明确确肯定的的断言。例：高低低、冷热热、快慢慢、年轻轻人、中中年人、老年人人1/15/20204精确方法法的逻辑辑基础是是传统的的二值逻逻辑，即即非此即彼彼。把经典的的二值逻逻辑用于于处理Fuzzy概念和Fuzzy命题时，将会在

2、在理论上上导致逻逻辑悖论论。模糊概念念是亦此此亦彼：从0和1从0至1。公设（1）存在秃秃头的人人和非秃秃头的人人。（2）若有n根头发的的人秃，则有n+1根头发的的人亦秃秃。由此会导导致：秃头悖论论：所有有人都秃秃。人脑具有有Fuzzy思维功能能。模糊描述述是必要要、必然然的1/15/20205J.A.Goguen1974说：“描述不不确切性性并非坏坏事，相相反倒是是一件好好事，它它能用较较少的代代价传输输足够的的信息，并能对对复杂事事物做出出高效率率的判断断和处理理。也就就是说，不确定定性有助助于提高高效率。”爱因斯坦坦：“Sofarasthe lawsofmathematicsreferto

3、reality,theyarenotcertain,Andsofar as theyareceitain, theydonot refer to reality.”关于现实实的数学学定理是是不确定定的，而而确定的的数学定定理并不不能描述述现实。不相容原原理：(L.A.Zadeh1975提出)“当一个系系统复杂杂性增大大时，我我们使它它精确化化的能力力将减低低，在达达到一定定的阈值值时，复复杂性和和精确性性将相互互排斥。”1/15/20206模糊性也也是一种种不确定定性，但但不同于于随机性性，模糊糊理论不不同于概概率论。模糊性指指对概念念的定义义以及语语言意义义的理解解上的不不确定性性，主要要是

4、人为为的主观观理解上上的不确确定性。随机性反反映的是是客观上上的自然然的不确确定性，或者是是事件发发生的偶偶然性。模糊性与与随机性性1/15/20207模糊集合合与模糊糊数学的的概念模糊集合合：一种种特别定定义的集集合，它它可用来来描述模模糊现象象模糊数学学：有关关模糊集集合、模模糊逻辑辑等的数数学理论论1/15/202085.2模糊集合合及其运运算1/15/20209表示方法法：1)定义法：A=x|x为偶数，x102)列举法：A=2,4,6,83)特征函数数法：一、普通通集合论域：讨论论的范围围，U、V、W集合：U上的一部部分叫U上的集合合，A、B、C元素：A、B、C中的元x、y、z、u、v

5、、w幂集：U的所有子子集构成成的集合合，P(U)1/15/202010二、模糊糊集合的的定义及及表示方方法、名名词术语语定义：设论域为为U，称映射确定U的一个模糊集合合。称称为为的的隶属函数数。，表示u隶属于的的程度，简称隶属度。论域U指的是所所讨论的的事物的的全体。模糊幂集集：论域U上的全体体模糊子子集构成成的集合合，记为为F(U)，1/15/202011设U=x1,x2,x3,x4,x5，xi表示同学学。对于于每个同同学的“性格开开朗”的的程度在在0,1中打分，便得到到从U到0,1的一个映映射=“性格开朗朗”(x1)=0.85，(x2)=0.75，(x3)=0.98，(x4)=0.30，(

6、x5)=0.60举例：1/15/2020121、论域U为离散有有限集x1,x2,xn(xi) =ai扎德表示示法：向量表示示法：表示方法法：1/15/2020132、论域是是离散无无限域可数：不可数：扎德表示示法：3、论域是是连续域域当U是一个实实数区间间时，可可以用普普通的实实函数表表示扎德表示示法：1/15/202014以年龄为为论域，取U=0,200，扎德给出出了“年年老”与与“年轻轻”两个个模糊集集的隶属属函数为为：举例：1/15/202015“核”：Ker=5，6 Ker称为正则则模糊集集Ker称为非正正则模糊糊集“单点模糊集合合”：若台集仅仅为一个个点，且且该点隶隶属度为为1“台”

7、：隶属度大大于0的元素的的全体，支撑集集“”截集：Supp= 3, 4,5 ,6, 7,8 名词术语语：1/15/2020161、相等：三、模糊糊集合的的基本运运算2、包含：各元素的的隶属度度分别相相等1/15/2020173、并：取大运算算1/15/2020184、交取小运算算1/15/2020195、余1/15/202020和的的直积为为定义在积积空间UV上的模糊糊集合两个模糊糊集合直直积的概概念可以以很容易易推广到到多个集集合6、笛卡尔尔直积(Cartesian product)1/15/202021交换律结合律分配律吸收律复原律两极律（同一律律）对偶律（D摩根律）幂等律1/15/202

8、022五、模糊糊集合的的其它类类型运算算作为Fuzzy集合基本本运算的的并、交交运算，采用Zadeh算子按点点“取大大取小”，不仅仅很好符符合人脑脑通常的的Fuzzy思维方式式，而且且在研究究和处理理模糊性性问题时时带来了了很多方方便，因因此在有有关Fuzzy集合论与与逻辑的的文献中中，大多多采用了了Zadeh的取大取取小运算算进行分分析。有些学者者认为，只取两两个隶属属度中的的最大或或最小值值，忽略略了另一一个隶属属度的值值，是造造成信息息失落的的根源。因此人人们提出出了不少少与、相对应应的算子子。改善后的的Fuzzy算子尽管管在某种种意义上上更加接接近人类类思维，然而由由于其变变化复杂杂且

9、失去去了许多多好的运运算性质质而很少少使用。1/15/2020231、代数和和2、代数积积3、有界和和4、有界差差1/15/2020245、有界积积6、强制和和7、强制积积1/15/2020255.3模糊关系系与模糊糊矩阵1/15/202026n元模糊关关系R是定义在在直积U1U2Un上的模糊糊集合模糊关系系不是“有”“无”关关系，而而是多少少有点关关系。模糊关系系是模糊糊集合直直积集的的一个子子集一、模糊糊关系的的定义及及表示1/15/202027求U到V满足b“大约是”a的平方关关系：举例1/15/202028U =1,5,7,9,20序偶中前前元比后后元“小得多多”的关系隶属度运运算用公

10、公式举例1/15/202029模糊关系系也是模模糊集合合，可用用表示模模糊集合合的方法法来表示示。模糊矩阵阵：将ui，vj作为节点点，在连连线上标标上值当论域为为有限集集合时，用矩阵阵和图的的形式更更形象地地加以描描述模糊图：1/15/202030设U为家庭中中的儿子子和女儿儿，V为家庭成成员中的的父亲和和母亲，对于“子女与与父母长长得相似似”的模模糊关系系R表示为：父母子女0.80.30.30.6举例1/15/202031二、模糊糊关系的的合成定义：RF(UV),SF(VW)(R是U到V的一个模模糊关系系，S是V到W的一个模模糊关系系，称U到W的模糊关关系T为模糊关关系R与模糊关关系S的合成

11、。记为T=RS其中是并的符符号，表表示对所所有v取极大值值或上界界值，“”是二项项积的符符号其隶属函函数该合成称称为最大星星合成(max-starcomposition)其中“”为模模糊矩阵阵的合成成运算。1/15/202032二项积算子“”可以定定义为以以下几种种运算：交最大最最小合成成(max-mincomposition)最常用代数积有界积强制积1/15/202033当论域U、V、W为有限时时，模糊糊关系的的合成可可用模糊糊矩阵的的合成表表示。1/15/202034已知子女女与父母母长相相相像的关关系为：父母与祖祖父母长长相相像像的关系系：举例1/15/202035求：子女女与祖父父母相

12、似似关系模模糊矩阵阵按最大最小合合成规则则：1/15/202036举例用U=x1,x2,x3表示病人人集合，V=y1,y2,y3,y4,y5表示症状状集合，W=z1,z2,z3表示病名名集合。从U到V的模糊关关系为：1/15/202037R与S的复合关关系为：从V到W的模糊关关系为：从症状V到病名集集合W的模糊关关系S是一个医医学诊断断知识库库，它表表明了症症状与病病名之间间的关系系程度。1/15/2020385.4模糊逻辑辑与近似似推理1/15/202039一、模糊糊命题、语言变变量、模模糊算子子模糊命题题：含有模糊糊谓词的的句子例:“今天很冷冷”“张三年年轻”不能简单单地用“F ”、“T

13、”区别模糊算子子：用于加强强或减弱弱语气的的词“极”，“非常常”，“相当”：集中中化算子子“比较”，“略略”，“稍微”：散漫漫化算子子1/15/202040语言变量量：语言变量量由一个个五元体体(x,T(x),U,G,M)来表征，其中：x：语言变量量名称，如年龄龄，速度度等U：x的论域T(x)：语言变变量值的的集合，其中每每个语言言变量值值都是论论域U上的模糊糊集合T(x)=T(速度)=慢，适中中，快，很慢，稍快，G：语法规规则，用用以产生生语言变变量x的值的名名称M：语义规规则，用用以产生生模糊集集合的隶隶属度函函数Zadeh于1975年给出了了如下的的语言变变量的定定义：1/15/2020

14、41二、模糊糊蕴含关关系2、模糊蕴蕴含积运运算(Larsen)3、模糊蕴蕴含算术术运算(Zadeh)“如果x是A，则y是B”(AB)表示了A与B之间的模糊蕴含含关系1、模糊蕴蕴含最小小运算(Mamdani)1/15/2020424、模糊蕴蕴含的最最大最最小运算算(Zadeh)5、模糊蕴蕴含的布布尔运算算6、模糊蕴蕴含的标标准运算算(1)1/15/2020437、模糊蕴蕴含的标标准运算算(2)1/15/202044如果论域域U和V是离散的的，则模模糊蕴含含关系R可用模糊糊矩阵来来表示。对于离散散的模糊糊集合A和B，可用相相应的模模糊向量量来表示示。则模糊蕴蕴含关系系矩阵R可以采用用如下的的方法计

15、计算：1/15/202045三、模糊糊推理简言之,从巳知条条件求未未知结果果的思维维过程就就是推理。用传统的的二值逻逻辑迸行行演绎推推理和归归纳推理理时,只要大前前提或推推理规则则是正确确的，小小前提是是肯定的的，那么么就一定定会得到到确定的的结论然而,在现实生生活中我我们获得得的信息息往往是是不精确的的、不完完全的;或者事实实本身就就是模糊而不不完全确确切的,但又必须须利用且且只能利利用这些些信息进进行判断断和决策策。此时,传统的形形式逻辑辑和近代代的数理理逻辑均均无法解解决这类类问题1/15/202046解决模糊糊性问题题就需要要用模糊糊推理。这种结论论不是从从前提中中严格推推出来而而是近

16、似似逻辑地地推出结结论的方方法,通常就称称为假言推理理或似然然推理。模糊推理理是一种以以模糊判判断为前前提,运用模糊糊语言规规则,推出一个个新的近近似的模模糊判断断结论的的方法。模糊逻辑辑推理是是一种不不确定性性的推理理方法。模糊推理理是一种种近似推推理,提法有两两种形式式。1/15/202047第一种提提法(广义的肯肯定式推推理方式式)：给定一个个模糊蕴蕴含关系系：“若若A则B”,AV,BV”巳知某个个A，AV，求从蕴蕴含关系系能推断断出什么么样的结结论B?例如：已知模模糊推理理语句：若“A大”,则“B小”,利用似然然推理进进行推理理:如果巳知知“A偏大”,问B将如何?模糊取式式推理：巳知：

17、模模糊蕴含含关系AB的关系矩矩阵R对于给定定的A，AU，则可推推得结论论B，BV，B=AR其中“”表示合合成运算算，即模模糊关系系的sup-*运算。1/15/202048第二种提提法(广义的否否定式推推理方式式)：给定一个个模糊蕴蕴含关系系：“若若A则B”,AV,BV”已知某一一个BV，求从蕴蕴含关系系能推出出什么样样的结论论A?例如：已知模模糊推理理语句若“A大”,则“B小”,利用似然然推理进进行推理理:巳知B不很小问A又如何?模糊拒式式推理：巳知：模模糊蕴含含关系AB的关系矩矩阵R对于给定定的B，BV，则可推推得结论论AUA=RB1/15/202049例：已知知若A小则B大,当A=A=较小

18、，问B如何?解：采用用(Zadeh)的模糊蕴蕴含关系系Rm1/15/2020501/15/2020511/15/202052采用最大大最小小合成它与大相比,显然是比较大。因此不难难发现,由模糊推推理所得得到的结结论是与与人们的的思想相相吻合的的。这样的模模糊性推推理采用用传统的的形式逻逻辑推理理不可能能实现的的,而采用建建立在模模糊集合合论基础础上的模模糊逻辑辑却能实实现上述述推理。1/15/202053四、句子子连接关关系的逻逻辑运算算1、句子连连接词“and”或者：模糊蕴含含关系记记为：规则为：如果x是Aandy是B则z是C前提条件件“如果果x是Aandy是B ”可以看成成是直积积空间XY

19、上的模糊糊集合，记为AB，其隶属属度函数数为：其具体运算算方法也也如前面面简单模模糊蕴含含关系那那样有6种，如：1/15/202054如果x是Aandy是B则z是C其中R是模糊蕴蕴含关系系，“”为合成成运算符符。1/15/2020552、句子连连接词also多条控制制规则，之间无无先后次次序。连接这些些子句的的连接词词用“also”表示。一般采用用求“并并”运算算。1/15/2020567.5基于控制制规则库库的模糊糊推理一、模糊糊推理的的Mamdani法Mamdani推理法是是一种在在模糊控控制中普普遍使用用的方法法,它本质上上仍然是是一种合合成推理理方法,只不过对对模糊蕴蕴含关系系取不同同

20、的形式式而已。ifAthenBifAithenBiifAthenBelseCR(u,v) =A(u)B(v)ifAandBthenC1/15/202057例：已知知一个双双输入单单输出的的模糊系系统，其其输入量量为x和y，输出量为为z，其输入输输出关系系可用如如下两条条模糊规规则描述述：R1：如果x是A1andy是B1则z是C1R2：如果x是A2andy是B2则z是C2现已知输输入为x是Aandy是B，试求输输出量z。这里x，y，z均为模糊糊语言变变量，且且已知：1/15/202058解：所有有模糊集集合的元元素均为为离散量量，所以以模糊集集合可用用模糊向向量来描描述，模模糊关系系可用模模糊矩

21、阵阵来描述述。为进一步的的计算，可将模模糊矩阵阵表表示成如如下的向向量：1、求每条条规则的的蕴含关关系1/15/2020591/15/2020602、求总的的模糊蕴蕴含关系系R1/15/2020613、计算4、计算输输出量的的模糊集集合1/15/202062输出量z的模糊集集合为：1/15/202063二、模糊糊推理的的性质1、若合成成运算“”采用最最大最最小法或或最大积法，连接词词“also”采用求并并法，则则“”和“also”的运算次次序可以以交换，即：2、若模糊糊蕴含关关系采用用Rc和Rp时，则有有：1/15/2020643、对于的推理结果果可以采采用如下简洁洁的形式式表示：推论：如如果

22、输入入量的模模糊集合合和模糊糊单点，即：则：1/15/202065结合性质质1和性质3，可以得得到：这里i可以看成成是相应应于第i条规则的的加权因因子，它它也看成成是第i条规则的的适用程程度，或或者看成成是第i条规则对对模糊控控制作用用所产生生的贡献献的大小小。1/15/2020667.6模糊控制制的基本本原理一、模糊糊控制器器的基本本结构和和组成模糊化模糊推理清晰化控制对象知识库参考输入输出二、模糊糊化将输入的的精确量量转换成成模糊化化量。1/15/2020671、输入量量变换：其中k称为比例例因子。例：若实实际的输输入量为为x0*，其变化范范围为xmin*，xmax*，若要求的的论域为为x

23、min，xmax，若采用线线性变换换，则：尺度变换换，将实实际的输输入量变变换到要要求的论论域范围围。变换可以以是线性性的，也也可以是是非线性性的。如果要求求离散的的论域，则需要要将连续续的论域域离散化化或量化化。量化化可以是是均匀的的，也可可以是非非均匀的的。1/15/202068单点模糊糊集合：如果输入入数据x0是准确的的，则通通常将其其模糊化化为单点点模糊集集合。设设该模糊糊集合用用A表示，则则有：三角形模模糊集合合：如果输入入数据存存在随机机测量噪噪声，这这时模糊糊化运算算相当于于将随机机量变换换成模糊糊量。取取模糊量量的隶属属度函数数为等腰腰三角形形，或铃铃形函数数，即正正态分布布函

24、数：x0 xx0-x0+2、将论域域范围内内的输入入量进行行模糊处处理：用用模糊集集合表示示。1/15/202069三、清晰晰化其中z0表示清晰晰值。若若输出量量的隶属属度函数数有多个个极值，则取这这些即值值的平均均值为清清晰值。z0zab1、将模糊糊的控制制量经清清晰化变变换成论论域范围围内的清清晰量最大隶属属度法：若输出量量模糊集集合C的隶属度度函数只只有一个个峰值，则取隶隶属度函函数的最最大值为为清晰值值，即：中位数法法：1/15/202070加权平均均法：也也称重心心法取的的加权平平均值为为z的清晰值值，即：1/15/202071变换的方方法可以以是线性性的，也也可以是是非线性性的。若

25、若z的变化范范围为zmin，zmax，实际控制制量的变变化范围围为umin，umax，采用线性性变换，则：其中k称为比例例因子。2、将表示示在论域域范围内内的清晰晰量经尺尺度变换换成实际际的控制制量1/15/202072四、输入入和输出出空间的的模糊分分割模糊分割割是要确确定对于于每个语语言变量量取值的的模糊语语言名称称的个数数，模糊糊分割的的个数决决定了模模糊控制制精细化化的程度度。也可以为为非对称称和非均均匀分布布语言名称称通常均均具有一一定的含含义。NB：负大(NegativeBig)；NM：负中(NegativeMedium)NS：负小(NegativeSmall)；ZE：零(Zero

26、)PS：正小(PositiveSmall)；PM：正中(PositiveMediumPB：正大(PositiveBig)1/15/202073x-101NZPx-101ZEPSPMPBNSNMNB模糊分割割的个数数也决定定了最大大可能的的模糊规规则的个个数。1/15/202074五、模糊糊集合的的隶属度度函数1、数值描描述法x0是中心值值2是方差对于论域域为离散散，且元元素个数数为有限限时，模模糊集合合的隶属属度函数数可以用用向量或或者表格格的形式式来表示示。2、函数描描述法最常见的的有铃形形函数、三角形形函数、梯形函函数。1/15/202075六、论域域为离散散时模糊糊控制的的离线计计算当论域为离离散时，经过量量化后的的输入量量的个数数是有限限的，因因此可以以针对输输入情况况的不同同组合离离线计算算出相应应的控制制量，从从而组成成一张控控制表，实际控控制时只只要直接接查这张张控制表表即可，在线的的运算量量是很少少的。k1k2k3量化量化控制对象控 制表ryex0y0z0u论域为离散时的模糊控制系统结构相当于非非线性的的PD控制k1，k2，k3：尺度变变换的比比例因子子。1/15/202076设