状态反馈极点配置基本理论与方法

1、第2章状态反应极点配置设计基本理论2.1前言大部分的控制系统的基本构造是由被控对象和反应控制器构成的闭环系统。反应的基本种类包含状态反应和输出反应。此中状态反应能够供给更为丰富的状态信息。状态反应是将系统的每一个状态变量乘相应的反应系数，而后反应到输入端与参照输入相加形成的控制规律，作为被控系统的控制输入。图2.1是一个多输入多输出线性时不变系统状态反应的基本构造：图2.1多输入-多输出系统的状态反应构造图此中受控系统的状态空间表达式为：xAxBu(2.1)yCx由图2.1可知，加入状态反应后，受控系统的输入为：uFxv(2.2)此中v为参照输入，F为状态反应增益阵，所以能够获取状态反应闭环系

2、统的状态空间表达式：xABFxBv(2.3)yCx闭环系统的传达函数矩阵：1WssCsIABFB(2.4)因而可知，引入状态反应后，经过F的选择，能够改变闭环系统的特点值，是系统获取所要求的性能。2.2极点配置方法的选择关于一个线性时不变系统进行状态反应极点配置，一般有四种方法：1）传统方法将系统转变为一个或多个单输入单输出系统。2）直接法使用稳固的酉矩阵，将这类系统转变为标准型。3）矩阵方程法对矩阵F，直接解方程AXXBG(2.5a)FXG(2.5b)（4）特点向量法先找到特点向量x（j等式(2.5)中矩阵X的列向量），而后利用等式(2.5b)求解F。方法（1）一般难以应用或许数值不稳固。方

3、法（3）需要解(2.5a)方程，并且关于系统矩阵A的特点值不可以再分派。最有效并且数值稳固的方法是方法（2）和方法（方法（4）经过使用一系列的迭代算法找到最优解，所以比较复杂。关于方法（统的输入多于一个信号输入时，不可以确立系统的鲁棒性。4）。此中2），当系本文联合以上方法提出了一种新的设计方法：第一经过酉变换将状态方程化为一种控制规范形，而后利用最小二乘法解方程(2.5)的获取最正确的状态反应矩阵。2.3状态方程的规范形将线性时不变多变量完整能控系统记为：xAxBu(2.6)此中x和u分别是n维和m维的实向量，A和B是适合阶次的恒定实矩阵。极点配置是要求找到一个实反应矩阵F，使闭环系统矩阵A

4、+BF的特点值等于L是一个复共轭的会合。已知假如方程(2.6)定义的系统是完整能控的，就能够进行极点配置。极点配置问题转变为找寻矩阵X和G，使等式(2.5a)中的矩阵知足。假如X是可逆的，依据方程(2.5b)求解F。方程(2.5a)能够转变为等价的形式：PTAPPTXQPTXQQTQPTBGQ(2.7)此中P和Q是正交矩阵，表示转置，使用正交矩阵能够保证方程(2.5a)的数值稳定性不变。选择P使(A，B)能够变换为：A11A12000PTAPPTB0(2.8)Ak1,1Ak1,2Ak1,k1Ak1,k0Ak,1Ak,2Ak,k1Ak,kBk别的，非对角线上的块Ai,i+1选择满秩的下三角型：0

5、000*00Ai,i1*(2.9)*00假定方程(2.6)表示的系统为完整能控型，表示非零的数，表示随意值。关于随意给定矩阵，找到Q使它转变成Schur型，在上三角矩阵的对角线上存在2*2的块，表示L的特点值中复共轭的部分。假如L中全部的特点值都是实数，将是严格的上三角矩阵，并且特点值i都在对角线上。所以假如希望的特点值全为实数，那么是实Schur矩阵，就不需要找寻矩阵Q。已知在方程(2.7)中的XPTX和G，特点向量矩阵X能够从下边式子获取：XPX(2.10)F能够由(2.5b)获取，或许：FPXG(2.11)2.4实数极点的配置关于方程(2.5)，假如假定矩阵A和B已经变换成为标准形式，并

6、且希望的闭环特点值全为实数，即是实Schur矩阵。需要找寻非奇怪矩阵X，使方程(2.5a)知足矩阵G。假定X的形式以下：100*1X*1(2.12)*1明显矩阵X满秩，并且知足下三角是标准的最小化。假定全部的特点值i都是实数，将第j列的X、G表示为：0zj1,j,gj(2.13)xj0Mj1:j2表示矩阵M的第j1到j2列，Mj表示M的第j列。利用(2.13)能够证明，存在矩阵X知足等式(2.12)。j为不一样值时，等式(2.5a)能够表示为不一样形式：当j1时：A2:nBx1A11(2.14a)1g1当1jn时：zjX1:j11A2:nBxjAjj(2.14b)gj当jn时：X1:n1Bzn

7、An(2.14c)gnn等式(2.14)左端的矩阵M(j)，是nnm1维。假如矩阵M(j)是行满秩的，方程(2.14)有解，所以矩阵是右可逆的。假如精准的选择矩阵A、B、X，能够实现矩阵M(j)是行满秩阶梯矩阵。关于给定闭环希望特点值j，X的列j依据j1,n的次序递推获取。方程(2.14)X能够用惯例的最小二乘法获取。最后结果zj、xj、gj是最小的2-范数或许最小的F-范数。在方程(2.7)、(2.10)和(2.11)中正交矩阵P的范数将不影响最小范数。以上算法证了然，关于完整能控系统，随意给定的一组实数闭环特点值L，都能够进行极点配置。2.5混淆极点的配置假定矩阵A和B已经化为阶梯控制型标

8、准型。当闭环的希望特点值中包含共轭复数时，将矩阵化为Schur型，共轭的闭环特点值在对角线上是2*2的块，其他的实数闭环特点值在对角线上。假定特点值j和j1j是一组共轭复极点，复共轭部分能够表示为2*2的块：jajbj(2.15)bjaj假定：zjzj1j:j1ajbj(2.16)bjaj00关于方程(2.5a)中第j和j+1列，当1jn1时：AXj:j1Xj:j1jBGj:j1X1:j1zj,zj1(2.17)使用Kronecker乘积，将等式(2.13)和等式(2.16)带入(2.17)中获取：Mj,j1vj,j1rj,j1(2.18)矩阵Mj,j1X1:j1I2,M2,BI2是2n2n2

9、m3维的。并且2n维向量rj,j1M1，此中：当j1和jn1，简单获取(2.16a)和(2.16c)相像的等式，等式(2.18)中矩阵和向量中不重要的部分省略。在等式(2.18)中,矩阵Mj,j1也是行满秩形式。等式(2.18)能够被递推获取，关于j的增添值，并且能够获取最小范数解。以上算法证了然，关于完整能控系统，随意给定的一组混淆闭环特点值L，都能够进行极点配置。2.6镇定不行控系统的极点配置为了保证当等式(2.6)表示的矩阵是不可以控系统时，以上计算方法仍旧建立，使用不行控再分派。关于镇定的不行控系统，其全部的不行控的部分都是稳固，镇定部分不需要进行极点配置。所以，镇定的不行控系统能够将

10、等式(2.8)能够记做：PTAPPTBA1100(2.19)A21A22B2这类阶梯标准型实质大将系统矩阵A和B分为两部分：A22是能控的部分，A11是不可以控的部分，A21是耦合的部分。F1,F2矩阵为反应矩阵，那么闭环系统矩阵将是下边的表示形式：A110A21B2F1A22B2F2所以任何反应将不影响不可以控部分的值。别的，由A22和B2构成的系统是能控的。假定矩阵A和B已经化为等式(2.19)中的形式，同时假定等式(2.5a)中的矩阵X和形式为：XX110,110X21X22(2.20)2122那么等式(2.5)能够被分红三部分，第四个等式简化为0=0。A11X11X11110(2.21

11、a)A11B2F2X22X22220(2.21b)TX21A21B2F2X21X2111X2221A21B2F1X11(2.21c)等式(2.21a)表示不行控子系统，并且只需矩阵11的余项等于不行控矩阵A11的余项，就简单选择矩阵X11。此中最简单的方法是用-1作为A11的Schur分解。等式(2.21b)11X表示能控子系统的极点配置问题，此时的子系统的状态反应极点配置的方法与能控系统极点配置的方法同样，所以能够简单确立矩阵X22和22，最后得出反应矩阵F2。关于任何一个随意矩阵F1和21，能够选择知足等式(2.21c)的矩阵X21去改正不行控模型的特点向量。假如11和22的余项有交集，那

12、么等式(2.21c)左边的T变换是可逆的。在这类状况下，矩阵21能够由下边等式得出：X21T1X2221A21B2F1X11(2.22)假如T变换是不行逆的，关于希望的矩阵21，当X22是非奇怪的时候，等式(2.21c)右端是T变换的一种方式。除此以外，能够使用Kronecker乘积扩充等式(2.21c)，并且在最小的偏差范围里计算出这个线性等式。所以关于F1和21，最简单的是选择1A21B2F1X11TX21。21X22以上算法证了然，关于镇定的不可以控系统，随意给定的一组闭环特点值L，都能够进行极点配置。可是关于不是镇定的系统，还需要进行近一步的研究。2.7小结本章中介绍了一种关于完整能控系统和镇定的不可以控系统，随意给定的一组希望闭环特点值L，进行极点配置的方法。使用最小二乘法获取zj、xj、gj。此中zj、xj分别是三角矩阵和X的非对角线的部分，他们的最小化意味着对称性“比较好”，并且以此为条