线性代数矩阵性及应用举例

1、线性代数矩阵性及应用举例作者：日期：2华北水利水电学院线性代数解决生活中实质问题课程名称：线性代数专业班级：成员构成：联系方式：2012年11月7日3对于矩阵逆的判断及求逆矩阵方法的商讨纲要：矩阵的可逆性判断及逆矩阵的求解是高等代数的主要内容之一。本文给出判断矩阵能否可逆及求逆矩阵的几种方法。重点词：逆矩阵陪伴矩阵初等矩阵分块矩阵矩阵理论是线性代数的一个主要内容，也是办理实质问题的重要工具，而逆矩阵在矩阵的理论和应用中据有相当重要的地位。下边经过引入逆矩阵的定义，就矩阵可逆性判断及求逆矩阵的方法进行商讨。定义1n级方阵A称为可逆的，假如n级方阵B，使得AB=BA=E（1）这里E是n级单位矩阵。

2、定义2假如B合适（1），那么B就称为A的逆矩阵，记作A1。定理1假如A有逆矩阵，则逆矩阵是独一的。逆矩阵的基天性质：性质1当A为可逆阵，则A11.A性质2若A为可逆阵，则A1,kA(k为随意一个非零的数)都是可逆阵，且(A1)1A(kA)11A1(k0).k性质3(AB)性质4(A)1B1A1，此中A，B均为n阶可逆阵.1(A1).由性质3有定理2若A1,A2An(n2)是同阶可逆阵，则A1,A2An是可逆阵，且(A1A2下边给出几种判断方阵的可逆性及求逆矩阵的方法：方法必定义法利用定义1，即找一个矩阵B，使AB=E，则A可逆，并且A1B。方法二陪伴矩阵法定义3设A(aij)是n级方阵，用Ai

3、j表示A的(i,j)元的代数余子式(i,j1n)，4A11A21An1矩阵A12A22An2称为A的陪伴矩阵，记作A*。A1nA2nAnn定理3矩阵A可逆的充分必需条件是A0，并且当A可逆时,有A11A*。A定理证明见1.定理3不单给出了判断一个矩阵能否可逆的一种方法，并且给出了求逆矩阵的一种方法，可是这类方法主要用在理论上以及2级或3级矩阵的情况，假如阶数较大，那么使用此方法计算量太大。由定理3逆矩阵判断的方法还有：推论3.1n级矩阵A可逆的充要条件是矩阵A的秩为n。推论3.2矩阵A可逆的充要条件是它的特点值都不为0。推论3.3n级矩阵A可逆的充分必需条件是它的行(或列)向量组线性没关。方法

4、三初等变换法定义4对矩阵实行以下三种变换称为矩阵的初等变换：(1)互换矩阵的两行(列)；(2)以一个非零的数k乘矩阵的某一行(列)；(3)把矩阵的某一行（列)的k倍加到另一行(列)。定理4方阵A可逆的充分必需条件是A可表示为若干个同阶初等矩阵的乘积。详细方法是：欲求A的逆矩阵时，第一由A作出一个n2n矩阵，即(AE)，其次对这个矩阵施以行初等变换(且只好用行初等变换)，将它的左半部的矩阵A化为单位矩阵，那么本来右半部的单位矩阵就同时化为A1：(AE)行初等变换(EA1)5AE或许列初等变换EA1231例1求矩阵A的逆矩阵，已知A013。125解：231100125001125001(AE)01

5、3010013010013010125001231100019102120552125001125001663013010013010010131220061120011111663001116631011340636011310221001116361134663A113122111663注：在预先不知道n阶矩阵是可逆的状况下，也可直接用此方法。假如在初等变换过程中发现左侧的矩阵有一行元素全为0，则意味着A不行逆。方法四利用解线性方程组来求逆矩阵若n阶矩阵A可逆，则AA1E，于是A1的第j列是线性方程组AXj的解，j1,2n.所以我们能够去解线性方程组AX，其(b1bn)，把所得的解的公6式

6、中的b1,b2bn分别用1,00；0,1,00；0,00,1取代，即可求得A1的第1,2n列，这类方法在某些时候可能比用初等变换法求逆矩阵略微简单调点。3100003100例2求矩阵A=00310的逆矩阵。0003100003解：设X(x1,x2,x3,x4,x5)TB(b1,b2,b3,b4,b5)T解方程组AX=B3x1x2b1x135(34b133b232b33b4b5)3x2x3b2x234(33b232b33b4b5)即3x3x4b3解得x333(32b33b4b5)3x4x5b4x432(3b4b5)3x5b5x531b5而后把B(b1,b2,b3,b4,b5)列，分别用1(1,0

7、,0,0,0)2(0,1,0,0,0)3(0,0,1,0,0)4(0,0,0,1,0)5(0,0,0,0,1)代入获得矩阵A1的第1,2,3,4,5行，分别用x1(31,32,33,34,35)x2(0,31,32,33,34)x3(0,0,31,32,33)x4(0,0,0,31,32)x5(0,0,0,0,31)3132333435即A1031323334003132330003132000031这类方法特别合用于线性方程组AX=B的解简单求解的情况。方法五分块求逆法当一个可逆矩阵的阶数较大时，即便用初等变换求它的逆矩阵仍旧计算量较大。假如把该矩阵分块，再对分块矩阵求逆矩阵，则能减少计算量

8、。并且形如A0B1A110A11A12B0M1A22M2A22B2A210A100A27M3A11A12M40A12M1为A210A21的分块矩阵，使用分块矩阵较方便。现用A22例，来说明求逆矩阵的方法，其余的矩阵可依此类推。设有n阶可逆矩阵M1A110，此中A11,A22为r,s阶可逆方阵，求M11。A21A22解：设M11X11X12，则M11与M1有同样分法，则X21X22M1M11A110X11X12A11X11A11X12A21A22X21X22A21X11A22X21A21X12A22X22EnEr00EsA11X11Er得一个线性方程组为A11X120A21X11A22X210A

9、21X12A22X22EsX11A111因为A11,A22可逆，故A111,A221存在，解得X120X21A221A21A111X22A221进而M11A22A11101A21A111A221方法六利用哈密尔顿凯莱定理求逆矩阵法哈密尔顿凯莱定理设A是数域P上一个nn矩阵，f()EA是A的特点多项式，则f(A)An(a11a22ann)An1(1)nAE0。假如A可逆，则A的特点多项式的常数项an(1)nA0，由定理知f(A)An1An1n1于是1(An11An2n1n所以得A11(An11An2nAnE0E)AEn1E)()8此式给出了A1的多项式计算方法。110例3已知A430，求A1。1

10、02解：矩阵A的特点多项式为：f()EA34252因320，所以矩阵A可逆，由()式知1(A25E)=1620A14A82022311方法七“和化积”法有时碰到这样的问题：要求判断方阵之和A+B的可逆性并求逆矩阵，此时可将A+B直接化为(AB)CE，由此有A+B可逆，且(AB)1C，或将方阵之和A+B表为若干个已知的可逆阵之积，再有定理2知A+B可逆，并可得出其逆矩阵。例4证明：若Ak0，则EA是可逆阵，并求(EA)1。证明：(EAEAA2Ak1)E)(E-A是可逆矩阵且(EA)1EAA2Ak1总之，矩阵可逆性的判断及求逆矩阵的方法好多，不不过不过以上列举的几种方法，大家在做题过程中，可依据题

11、目的需要灵巧采用方法来求解。参照文件：丘维声.高等代数M.高等教育第一版社，1985.北京大学数学系.高等代数M.高等教育第一版社，1988.杨明顺.三角矩阵求逆的一种方法.渭南师范学院学报，2003.杨彗.矩阵的非奇怪性判断及求逆矩阵的几种方法.云南师范大学学报，2002.Theonesthatgoagainstmatrixjudgeandaskthediscussiongoingagainstthematrixmethod9ABSTRACT:Judgingreversiblyandagainsttheaskingandsolvingoneofthemaincontentsthatishigheralgebrao