广东工业大学高等代数2试卷和答案-

1、精品文档精品文档精品文档精品文档： 名： 名姓线： 号学订： 业专装： 院学广东工业大学考试试卷 ( A )课程名称:高等代数试卷满分 100 考试时间: 2016 年1月 13 日(第20 周 星期 三 )题 号一二三四五六七八九总分评卷得分一、选择题（共 5 题，每小题 4 分，总分 20 分）设线性变换, 在基 , 下的矩阵分别是A和B，则在同一组基下的矩阵1n是 （A ）A.BA;B.AB； C.B1A1 ;D.A1B1 ;Af (B XAX1 X 为可逆矩阵，则矩阵B 的特征多项式为（ D ）A.X f ( ) ;B.X 2 f (；C.X 1 f (；D.f (。设 是线性空间V

2、上的线性变换，则下列集合中可能不是 子空间的是（ D）A. );B. 1 (0) ； C. V ;D. )1(0);在有限维欧氏空间中，两组标准正交基之间的过渡矩阵是（A ）A. 正交矩;B. 单位;C. 数量矩;D. 对角矩.100设矩阵A110，则A的最小多项式是（A ）000A.( 1)2;B.( 1)2 ;C.( 1);D. .二、填空题（共 5 题，每小题 4 分，总分 20 分）设实对称矩阵 A 是 3 阶的且特征值为 1 1, 2 1，对应于 3的特征向量为(0, 1, ，则矩阵A=（。1设3 阶矩阵A 的特征值为1,1,2,则行列式A6 3A4 =(), 行列式 A A1 2E

3、 =(3. 已知12阶方阵A的所有初等因子为2 ,2 ,2 ,i2 , i2 ，则矩阵A的所有不变因子为（）和Jordan标准形为（。设三维线性空间V 上的线性变换 在基 , , 的矩阵为123aaa1113 , , Aaaa, 则线性变换在基下的矩阵为（。212223 1223aaa313233ab在线性空间R 22 中定义线性变换 (X) X ，则线性变换 在基cd10010000E,E,E,E下的矩阵是（。11000021102201三、计算和证明（共 5 题，总分 60 分）1.（12 分x4中定义的内积为fg) 11f (x)g(x)dxx4的一组标准正交基（由基1,xx2 x3 出

4、发作标准正交化。112求矩阵A336的初等因子，并写出它的Jordan标准型。2. （12 分）2-241111 11113（12分已知 A ，考虑11111111 A的所有特征值以及对应的特征向量；A是否相似于一个对角矩阵；如果能，请写出相似等式；Ak，其中k 为自然数（逆矩阵不需要求出，用符号表示即可。4. （12 分设 是线性变换 ,是分别属于 的112 不是 的特征向量；21212（2）证明：如果线性空间V 的线性变换 以V 中每个非零向量作为它的特征向量， 那么 是数乘变换。11（12分）给定R3的两组基23(1,0,1),(2,1,0),(1,1,1), (1,2,2),1 (2,

5、2, 1),12 (1,1,1),3定义线性变换 ( ) k 1,2,3,kk（1）求出由基 , , 到基 , 的过渡矩阵；123123（2）求出 在基 , ,123下的矩阵；（3）求出 在基 , 下的矩阵。123精品文档精品文档广东工业大学试卷参考答案及评分标准 ( A )课程名称:高等代数2。考试时间: 2016年 1 月 13日(第 20周 星期三 )一、选择题（共 5 题，每小题 4 分，总分 20 分）1.A;2. D;3.D;4.A;5. A.二、填空题（共 5 题，每小题 4 分，总分 20 分）1001. 001；264,0;. 0103. 不变因子都为d () d () 1,

6、d() ( 1)2,d() ( 1)2 (1),191011d()(1)2(1)(i)2(i)2 ,12和Jordan 标准形为1111111；11111i1ii1iaaaaa111212134. aaaaaaa；2131223222322333 aa3132aa3233a0b00a0b5. 。c0d00c0d三、计算题（共 5 题，总分 60 分）1.（12 分） 解：记，第一步正交化: 精品文档精品文档精品文档精品文档精品文档(6 分)第二步单位化:（6 分）2. （12 分）解： (用初等变换)(6 分)由上面特征矩阵的标准型，得出初等因子为,2；(3分且矩阵A的Jordan 标准为。(

7、3分)3.（12 分） 解：因为矩阵A 的特征多项式为，则特征值为（3 分）X1,X2,X3 就是特征值 2 的三个线性无关的特征向量；X4 就是特征-2 的特征向量；(3分)X1,X2,X3,X4A 可以对角化，且有有（，我们有，其中。(3 分)Ak Tdiag(2k ,2k ,2k ,(2)k 1 。(3分)4. （12 分）证明：(6 分)5.（12分（1） ,组成的矩阵为 (6 分) , 组成的矩1231 2 3123阵为，则从 , ,到 , 的过渡矩阵可由初等行变换算出：1 2 312123100 1/ 23/20 ( | ) 010 |1/ 23/20 ，1 2 1 2 30015/21/ 21/ 23/20 即过渡矩阵为X1/ 23/20 。(6分) 5