北京海淀五所重点中学高三四月联考：文科数学

1、北京海淀五所重点中学高三四月联考文科数学【试题部分】第卷 (满分50分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.不等式的解集是A. B. C. D.2.复数(是虚数单位，、)，则 A.， B. ， C. ， D. ，3.“”是“函数在单调递增”的A.充分不必要条件 B.充分必要条件 C.必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件4.以抛物线的焦点为圆心，半径为2的圆方程为A. B.C. D.5.右图是一个几何体的三视图，其中正视图和侧视图都是一个两底长分别为2和4，腰长为4的等腰梯形，则该几何体的侧面积是A. B. C. D.

2、 6.为了从甲乙两人中选一人参加数学竞赛，老师将二人最近6次数学测试的分数进行统计，甲乙两人的平均成绩分别是、，则下列说法正确的是A.，乙比甲成绩稳定，应选乙参加比赛 B.，甲比乙成绩稳定，应选甲参加比赛C.，甲比乙成绩稳定，应选甲参加比赛D.，乙比甲成绩稳定，应选乙参加比赛7.设、是两条不同直线，、是两个不同平面，则下列命题错误的是，则，,则，,则，则8.已知函数的图像关于直线对称，且，则的最小值为A. B. C. D. 9.,则 的概率是A. B. C. D. 10.执行如边的程序框图，则输出的A. B. C. D.第卷 (满分100分)二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分；把

3、答案填在答题卡的相应位置)11.若是奇函数，则 12.已知命题：，则： 13.不等式组表示的是一个直角三角形围成的平面区域，则 14.如图放置的边长为1的正方形的顶点、分别在轴、轴正半轴上(含原点)上滑动，则的最大值是 15.若曲线(或)在其上两个不同点处的切线重合，则称这条切线为曲线(或)的自公切线，下列方程的曲线存在自公切线的序号为 (填上所有正确的序号) .三、解答题(本大题共6小题，共75分；解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答写在答题卡上的指定区域内)16.(本小题满分12分)中，角、所对应的边分别为、，若.(1)求角；(2)若，求的单调递增区间.17.(本小题满分12分)某

4、种袋装产品的标准质量为每袋100克，但工人在包装过程中一般有误差，规定误差在2克以内的产品均为合格.由于操作熟练，某工人在包装过程中不称重直接包装，现对其包装的产品进行随机抽查，抽查30袋产品获得的数据如下：质量(单位克)数量(单位袋)261282(1)根据表格中数据绘制产品的频率分布直方图；(2)估计该工人包装的产品的平均质量的估计值是多少.18.(本小题满分12分)已知以1为首项的数列满足：，.(1)写出，并求数列的通项公式；(2)设数列的前项和，求数列的前项和.19.(本小题满分12分)如图，长方体中， ，是的中点，是的中点.(1)求证：平面；(2)求证：平面平面.20.(本小题满分13

5、分)椭圆的两焦点坐标分别为和，且椭圆过点.(1)求椭圆方程；(2)过点作不与轴垂直的直线交该椭圆于、两点，为椭圆的左顶点，试判断的大小是否为定值，并说明理由21.(本小题满分14分)已知函数，直线的方程为.(1)求过函数图像上的任一点的切线方程；(2)若直线是曲线的切线，求证：对任意成立；(2)若对任意成立，求实数、应满足的条件.【解答部分】1.B【解析】，所以2.C【解析】，则，.3. A【解析】显然函数在上均单调递增，所以“”是“函数在单调递增”的充分不必要条件.4.B【解析】抛物线的焦点为,所求圆方程为.5. C【解析】该几何体为圆台，设展开图的“虚扇形”的半径为，则所以侧面积为6.D【

6、解析】,乙比甲成绩稳定，应选乙参加比赛.7. D【解析】对于D, 或，此时8. A【解析】逐一验证：令，则，由得的一个值为，这样其图象关于直线对称。9.C【解析】有序实数对的取值情形共有种，满足的情形有：1）此时；2）此时;3)此时.所以 的概率为10.D【解析】运行，由框图可知，时；时，所以输出的11. 【解析】12. ，【解析】，.13. 或【解析】分两种情形：1）直角由与形成，则；2）直角由与形成，则.14. 【解析】设，则点B的坐标为即，同理可求得，所以，15. 【解析】函数的图象如图左显然满足要求；函数不存在自公切线；函数的一条自公切线为；而对于方程，其表示的图形为图右中实线部分，不

7、满足要求；为等轴双曲线，不存在自公切线。三、解答题16. 【解析】(1)由，得，即，由余弦定理，得，； 6分(2)9分由，得，故的单调递增区间为，. 12分17. 【解析】 (1)频率分布直方图如图6分(2)(克) 12分18. 【解析】(1) ， 3分， 6分(2) 10分 (也可分奇数和偶数讨论解决) 12分19. 【解析】(1)连接交于点，连接，可得是的中位线，又平面，平面，所以平面 6分(2)计算可得，又是的中点，所以，又平面，所以，又，所以平面又平面，所以平面平面12分20. 【解析】(1)由题意，即可得到 5分(2)设直线的方程为：，联立直线和曲线的方程可得：得，设，则，则即可得.

8、 13分21. 【解析】(1)：，记切点为，切线的方程为即 3分(2)由(1)记函数,在上单调递减，在为单调递增故故即对任意成立 8分(3)设， 10分当时，则在上单调递增， ，即符合题意当时，在上单调递减，上单调递增， 13分综上所述：满足题意的条件是或 14分【巩固部分】1-1若关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集是A. B. C. D. 【解析】由的解集是可得由得，或【答案】A.2-3设，则对任意实数，是的A. 充分必要条件 B. 充分而不必要条件C. 必要而不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【解析】显然为奇函数，且单调递增。于是 若，则，有，即，从而有.反之，若，则,推出

9、，即 。【答案】A.3-8下列函数中周期为且图象关于直线对称的函数是 A B.C D.【解析】由函数的周期为,故排除A、D，又函数图象关于直线对称,所以当时,函数值取得最大值或最小值.【答案】B.4-13设二元一次不等式组所表示的平面区域为，使函数的图象过区域的的取值范围是 【解析】区域是三条直线相交构成的三角形（如图）显然，只需研究过、两种情形， 且即【答案】5-14给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为.如图所示，点C在以O为圆心的圆弧上运动.若其中,则的最大值是_.【解析】如图建立坐标系，则，.设，则，所以 6-16已知函数的图象如图所示（）求的值；（）设，求函数的单调递增区间（）由

10、图可知，又由得，又，得， （）由（）知：因为所以，即故函数的单调增区间为7-18已知数列满足：，（）求的值；（）设，试求数列的通项公式；（）对于任意的正整数，试讨论与的大小关系（），；（）由题设，对于任意的正整数，都有：，数列是以为首项，为公差的等差数列（）对于任意的正整数，当或时，；当时，；当时，证明如下：首先，由，可知时，；其次，对于任意的正整数，时，；时，所以时，事实上，我们可以证明：对于任意正整数，（*）（证明见后），所以此时综上可知：结论得证对于任意正整数，（*）的证明如下：1）当（）时，满足（*）式2）当时，满足（*）式3）当时，于是只须证明，如此递推，可归结为1）或2）的情形，于是（*）得证8-21已知直线与函数的图象相切于点，且与函数的图象也相切.（）求直线的方程及的值；（）设，若恒成立，求实数a的取值范围.【解析】（），直线是函数的图象在点处的切线，其斜率为直线的方程为 又因为直线与的图象相切，由，得（不合题意，舍去）。（）方法一：由