线面角的求法总结

1、线面角的三种求法1直接法：平面的斜线与斜线在平面内的射影所成的角即为直线与平面所成的角。通常是解由斜线段，垂线段，斜线在平面内的射影所组成的直角三角形，垂线段是其中最重要的元素，它可以起到联系各线段的作用。例1（如图1）四面体ABCS中，SA,SB,SC两两垂直，ZSBA=45。，ZSBC=60。，M为AB的中点，求（1）BC与平面SAB所成的角。（2）SC与平面ABC所成的角。解：（1）VSC丄SB,SC丄SA,CBMA图1ASC丄平面SAB故SB是斜线BC在平面SAB上的射影,AZSBC是直线BC与平面SAB所成的角为60。（2）连结SM,CM，则SMIAB,又VSC丄AB,AAB丄平面S

2、CM,.面ABC丄面SCM过S作SH丄CM于H,则SH丄平面ABCACH即为SC在面ABC内的射影。ZSCH为SC与平面ABC所成的角。sinZSCH=SHSCASC与平面ABC所成的角的正弦值为7/7“垂线”是相对的，SC是面SAB的垂线，又是面ABC的斜线作面的垂线常根据面面垂直的性质定理，其思路是：先找出与已知平面垂直的平面，然后一面内找出或作出交线的垂线，则得面的垂线。）2.利用公式sin9=h/i其中e是斜线与平面所成的角，h是垂线段的长，i是斜线段的长，其中求出垂线段的长（即斜线上的点到面的距离）既是关键又是难点，为此可用三棱锥的体积自等来求垂线段的长。例2（如图2）长方体ABCD

3、-A1B1C1D1AB=3,BC=2,A1A=4，求AB与面AB1C1DAD1A所成的角的正弦值。D1A所成的角的正弦值。A1C1解：设点B到ABCD的距离为h,，Vb.ab1c1=Va.bb1c1-1/3S“ch=1/3Sbb1c1AB，易得h=12/5设AB与面AB1C1D所成的角为0，贝in0=h/AB=4/5图23.利用公式cos0二cos0cos012AB与AC所成角为已知，如图，AO是平面的斜线，A是斜足，OB垂直于平面,B为垂足，则直线AB是斜线在平面内的射影。设AC是平面内的任意一条直线，且BC丄AC，垂足为C，又设AO与AB与AC所成角为，AO与AC所成角为，则易知：2IAB

4、1=1AOIcos,，IAC1=1ABIcos,=1AOIcos,cos,1212又.IACI=IAOIcos,，可以得到：cos,=cos,cos，12注意：，e（U,?尸22-易得：cos,cos,又,e（0,）即可得：，=c/7aj-ba朋b【命题趋势分析】本节主要掌握直线和平面的位置关系的判定，直线与平面平行的证明与应用，它是高考中常考的内容，难度适中，因此学习好本节内容至关重要.【典型热点考题】例1在下列命题中，真命题是（）若直线m、n都平行平面a,则mn;设alB是直二面角，若直线m丄1,则mln,m丄B；若直线m、n在平面a内的射影是一个点和一条直线，且mln,则n在a内或n与a

5、平行；设m、n是异面直线，若m和平面a平行，则n与a相交.解对于直线的平行有传递性，而两直线与平面的平行没有传递性故A不正确；平面与平面垂直可得出线面垂直，要一直线在一平面内且垂直于交线，而B中m不一定在a内，故不正确；对D来说存在平面同时和两异面直线平行，故不正确；应选C.例2设a、b是两条异面直线，在下列命题中正确的是（）有且仅有一条直线与a、b都垂直有一平面与a、b都垂直过直线a有且仅有一平面与b平行过空间中任一点必可作一条直线与a、b都相交解因为与异面直线a、b的公垂线平行的直线有无数条，所以A不对；若有平面与a、b都垂直，则ab不可能，所以B不对若空间的一点与直线a（或b）确定的平面与另一条直线b（或a）平行，则过点与a相交的直线必在这个平面内，它不可能再与另一条直线相交，所以D不对，故选C.例3三个平面两两相交得三条交线，若有两条相交，则第三条必过交点；若有两条平行，则第三条必与之平行.已知：anB=a,an=b,Ha=c.求证：要么a、b、c三线共点，要么abc.证明：如图一，设aQb=A,.anB=a.a匚a